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3.4基本不等式(一)


浙江省丽水中学教师教学设计
年级
课题内容 课程标准 考试说明 教学 资源 分析

高一

科目____

数学

__

_

主备教师____叶玄送

_

备课组长审核

毛美生
时间 2010.5.1

3.4 基本不等式 应用数形结合思想理解基本不等式,并从不同角度探索基本不等式的证明过程。 能利用基本不等式求最大(小)值.

教材分析

1.基本不等式的证明学生比较容易理解, 学生难理解的是“当且仅当a=b时取?=?号”的真正数学内涵, 所谓“当且仅当”就是“充分必要”. 2.教学重点是定理及其应用,难点是利用定理求函数的最值问题,进而解决一些实际问题.

教辅资源 知识与技 能 教学 目标 分析 过程与方 法 情感态度 与价值观 重点 分析 难点 分析 具体细化 内容和确 定依据

课程标准、考试说明、教师用书、网上资料 1.理解两个实数的平方和不小于它们之积的 2 倍的不等式的证明; 2.理解两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数的证明以及它的几何解释. 本节学习是学生对不等式认知的一次飞跃。要善于引导学生从数和形两方面深入地探究不等式的证明,从而进一步突破难点。变式练习 的设计可加深学生对定理的理解,并为以后实际问题的研究奠定基础。两个定理的证明要注重严密性,老师要帮助学生分析每一步的理 论依据,培养学生良好的数学品质. 培养学生举一反三的逻辑推理能力,并通过不等式的几何解释,丰富学生数形结合的想象力 两个不等式的证明和区别 理解“当且仅当 a=b 时取等号”的数学内涵 先让学生观察常见的图形,通过面积的直观比较抽象出基本不等式。从生活中实际问题还原出数学本质,可积极调动地学生的学习热 情。定理的证明要留给学生充分的思考空间,让他们自主探究,通过类比得到答案. 直角板、圆规、投影仪(多媒体教室) 个性化设计与改进

主要教学方法

(一)新课导入

1、设置情境 (投影出图 3.4-1)同学们,这是北京召开的第 24 届国际数学家大会的会标,大家想一想,你能通过这个 简单的风车造型中得到一些相等和不等关系吗? 提问 1:我们把“风车”造型抽象成图 3.4-2.在正方形 ABCD 中有 4 个全等的直角三角形.设直角三角形 的长为 a 、 b ,那么正方形的边长为多少?面积为多少呢? 教 学 过 程 生答: a 2 ? b 2 , a ? b
2 2

提问 2:那 4 个直角三角形的面积和呢? 生答: 2ab 提问 3 :好,根据观察 4 个直角三角形的面积和正方形的面积,我们可得容易得到一个不等式,

a 2 ? b 2 ? 2ab 。什么时候这两部分面积相等呢?
2 2 生答: 当直角三角形变成等腰直角三角形, 即 a ? b 时, 正方形 EFGH 变成一个点, 这时有 a ? b ? 2ab

2、新课讲授
2 2 (1) (板书)一般地,对于任意实数 a 、 b ,我们有 a ? b ? 2ab ,当且仅当 a ? b 时,等号成立。

提问 4:你能给出它的证明吗?(学生尝试证明后口答,老师板书) 证明: a 2 ? b 2 ? 2ab ? (a ? b )2 ,当a ? b时, (a ? b )2 ? 0,当a ? b时, (a ? b )2 ? 0, 所以

a 2 ? b 2 ? 2ab

2 2 注意强调 当且仅当 a ? b 时, a ? b ? 2ab

(2)特别地,如果 a ? 0,b ? 0, 用 a和 b 分别代替a、b , 可得a ? b ? 2 ab ,也可写成

a ?b (a ? 0, b ? 0) ,引导学生利用不等式的性质推导(板书,请学生上台板演): 2 a ?b ? ab (a ? 0, b ? 0) 要证: ① 2 a ?b ? 即证 ② a ?b ? ?0 要证②,只要证 ③ ab ?

要证③,只要证

(

-

)

2

?0



显然, ④是成立的,当且仅当 a ? b 时, ④的等号成立 (3)观察图形 3.4-3,得到不等式①的几何解释 几何意义:半径不小于半弦 (4) 比较两个重要不等式的联系和区别 (5)变式练习: 证明不等式

a ? b a 2 ? b2 例1.已知 a ? 0, b ? 0, 试比较 , ab , , 的大小。 1 1 2 2 ? a b 2

变式: . 已知a ? 0, b ? 0, c ? 0, 求证: a(b 2 ? c 2 ) ? b(a 2 ? c 2 ) ? c(a 2 ? b 2 ) ? 6abc.
例 2: (1)用篱笆围成一个面积为 100m 的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用篱笆最短。最短 的篱笆是多少? 结论 1.两个正数积为定值,则和有最小值 (2)用一段长为 36m 的篱笆围成一个矩形菜园, 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时, 菜园的面积最大, 最大面积是多少? 结论 2.两个正数和为定值,则积有最大值 已知 x 、 y 都是正数, ① 如果积 xy 是定值P,那么当x=y时,和x+y有最小值2 p ② 如果和 x ? y 是定值S,那么当x=y时,积xy有最大值 S 3、 课堂练习 1.已知 x ? 0, y ? 0 , (1).若 xy=36,则 x+y 的最小值是____,此时 x ? _________, y ? _________ .
2

1 4

2

(2).若 x+y=18,则 xy 的最大值是____,此时 x ? _________, y ? _________ . (3).若 x+2y=4,则 xy 的最大值是____,此时此时 x ? _________, y ? _________ .

1 的最小值为 ,此时 x= x 1 若 x ? 0, 求x ? 的最大值 x 1 3.当 x ? ?1 时, x ? 的值最小值? 最小值是多少? x ?1 9 ( x ? 5)的最小值 . 4. 求函数 f ( x ) ? 4 x ? x ?5
2. 当 x ? 0 时, x ? 4、 归纳总结 比较两个重要不等式的联系和区别 (第二课时) 复习 1.两个基本不等式:



a 2 ? b 2 ? 2ab , a ? b ? 2 ab (a ? 0, b ? 0)
推出: ab ? (

a ? b 2 a 2 ? b2 ) ? 2 2
1 2 s ; 4

2.最值定理:若 x、y 皆为正数,则 (1)当 x+y 的值是常数 S 时,当且仅当 x=y 时,xy 有最大值

(2)当 xy 的值是常数 P 时,当且仅当 x=y 时, x+y 有最小值 2 p . 注意:①各项皆为正数; 一正 ②和为定值或积为定值; 二定 ③注意等号成立的条件. 三相等 练习:

1. 已知a ? 0, b ? 0, a ? b ? 8, 则ab的最 ____值为 ____.

2. 已知a ? 0, b ? 0, a ? 2b ? 8, 则ab的最 ____值为 ____. 3. 已知0 ? a ? 1, 则a(1 ? a)的最 ____值为 ____.
4.已知0 ? a ? 1 , 则a (1 ? 2a )的最 ____ 值为 ____ . 2

1 5.已知0 ? a ? , 则2a (1 ? 3a )的最 ____ 值为 ____ . 3

6. 已知a ? 0, b ? 0, ab ? 9, 则a ? b的最 ____值为 ____.

7. 已知ab ? 9, 则a 2 ? b 2的最 ____值为 ____. 8. 已知ab ? 9, 则a 2 ? 2b 2的最 ____值为 ____.
9. 已知a ? 0, b ? 0, ab ? 9, 则a ? 2b的最 ____值为 ____.
8 10.已知 x ? 3, 则x ? 的最 ____ 值为 ____ . x 8 11.函数 y ? x 2 ? 2 的最 ____ 值为 ____ . x 8 12.已知 x ? 1, 则函数 y ? x ? 的最 ____ 值为 ____ . x ?1 8 13.函数 y ? x 2 ? 2 的最 ____ 值为 ____ . x ?4

x2 ? 4 14.已知 x ? 0, 则函数 y ? 的最 ____值为 ____. x
15.已知 x ? 0, 则函数 y ? x 的最 ____ 值为 ____ . x ?1
2

16.已知 x ? ?1, 则函数 y ?

x 2 ? 2x ? 3 的最 ____值为 ____. x ?1

17.已知 x ? ?1, 则函数 y ?
18.已知 x ? ?1, 则函数 y ?
(第三课时) 复习回顾:

x 2 ? 3x ? 3 的最 ____值为 ____. x ?1
x ?1 的最 ____ 值为 ____ . x ? 3x ? 6
2

a 2 ? b2 ?a ?b? ab ? ? ? ? 2 ? 2 ?
练习见 ppt 例 1:已知 x ? 0, y ? 0,

2

1 9 ? ? 1, 求x ? y的最小值 x y 1 1 ? 的最小值 x y

变式:已知x ? 0, y ? 0,2x ? y ? 1, 求

例 2.某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池,其容积为 4800m3,深为 3m, 如果池底每平方米的造价为 150 元,池壁每平方米的的造价为 120 元,怎样 设计水池能使总造价最低?最低总造价是多少? 练习: 1.一份印刷品,要求排版面积(矩形)为 432 平方厘米。它的左、右两边 都留有 4 厘米的空白,上、下底部都留 3 厘米的空白(如图) 。问长宽各设 计成多少厘米时,用纸最省?并求出此时纸的面积。 2.P101 习题 3.4 B 组 第 1 题

(六)板书设计

教 学 反 思


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