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2015年高考全国新课标2卷理科数学试题


2015 年 普通高等学校招生全国统一考试

理科数学
注意事项: 1. 本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。答卷前,考生务必将自己的姓名,准考证号填写在 答题卡。 2. 回答第Ⅰ卷时,选出每个小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动,用橡皮 擦干净后,再选涂其它答案标号.写在本试卷上无效。 3. 回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4. 考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. (1) 已知集合 A={-2,-1,0,2} ,B={x|(x-1) (x+2)<0} ,则 A∩ B= (A) {-1,0} (B) {0,1} (C) {-1,0,1} (2) 若 a 为实数且(2+ai) (a-2i)=-4i,则 a= (A)-1 (B)0 (C)1 (D)2 (D) {0,1,2}

(3) 根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫年排放量(单位:万吨)柱形图,以下结论不正确的是.
2 700 2 600 2 500 2 400 2 300 2 200 2 100 2 000 1 900 2004年 2005年 2006年 2007年 2008年 2009年 2010年 2011年 2012年2013年

(A) 逐年比较,2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著. (B) 2007 年我国治理二氧化硫排放显现成效. (C) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势. (D) 2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关. (4)等比数列{an}满足 a1=3,a1+ a3+ a5=21,则 a3+ a5+ a7 =

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(A)21

(B)42

(C)63

(D)84

(5)设函数{an}=,则(-2)+= (A)3 (B)6 (C)9 (D)12 右图,

(6)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如 则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 (A)

1 8

(B)

1 7

(C)

1 6

(D)

1 5


(7)过三点(1,3) , (4,2) , (1,-7)的圆交于 y 轴于 M、N 两点,

MN =
(A)2 6 (B)8 (C)4 6 (D)10

(8)右边程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”.执行该程序框图,若 输入 a,b 分别为 14,18,则输出的 a= (A)0 (B)2 (C)4 (D)14

开始
输入 a,b

否 是

a? b
输出 a



a>b



a=a-b

b=b-a

结束

(9)已知 A,B 是球 O 的球面上两点,∠AOB=,C 为该球面上的动点,若三棱锥 O-ABC 体积的最大值为 36, 则球 O 的表面积为 A.36π B.64π C.144π D.256π
D P C

X A O B

(10).如图,长方形 ABCD 的边 AB=2,BC=1,O 是 AB 的中点,点 P 沿着边 BC,CD 与 DA 运动,∠BOP=x。将

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动点 P 到 A,B 两点距离之和表示为 x 的函数 f(x) ,则 f(x)的图像大致为
y y y y

2

2

2

2

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

? 4

? 2

3? 4

x

?

(A)

(B)

(C)

(D)

(11)已知,为双曲线的左,右顶点,点在上,?为等腰三角形,且顶角为 120°,则的离心率为 (A ) (B)2 (C) (D) (12)设函数是奇函数的导函数, ,当 x>0 时,<0,则使得 f (x) >0 成立的 x 的取值范围是 (A ) (B) (C ) (D)

第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题,第 13 题到第 21 题为必考题 ,每个试题考生都必须做答。第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求作答. 二、填空题本大题共四个小题,每小题 5 分。 (13)设向量 a,b 不平行,向量与平行,则实数= ; (14)若 x,y 满足约束条件,则的最大值为____________ ; (15) (a ? x)(1 ? x)
4

的展开式中 x 的奇数次幂项的系数之和为 32,则 α=__________;

(16)设 Sn 是数列{an}的前项和,且 a1 ? ?1, an?1 ? sn sn?1 ,则=____________________. 三.解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (17).(本小题满分 12 分) ?ABC 中,D 是 BC 上的点,AD 平分∠ BAC,?ABD 是?ADC 面积的 2 倍。 ( Ⅰ) 求

sin B ; sin C

(Ⅱ) 若 AD=1,DC=

2 ,求 BD 和 AC 的长. 2

(18) (本小题满分 12 分) 某公司为了解用户对其产品的满意度,从 A,B 两地区分别随机调查了 20 个用户,得到用户对产品的满 意度评分如下: A 地区:62 73 81 92 95 85 74 64 53 76 78 86 95 66 97 78 88 82 76 89 B 地区:73 83 62 51 91 46 53 73 64 82

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93 48 65 81 74 56 54 76 65 79 (Ⅰ )根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图,并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及 分散程度(不要求计算出具体值,得出结论即可) ;

A地区 4 5 6 7 8 9

B地区

(Ⅱ )根据用户满意度评分,将用户的满意度从低到高分为三个等级: 满意度评分 满意度等级 低于 70 分 不满意 70 分到 89 分 满意 不低于 90 分 非常满意

记事件 C: “A 地区用户的满意度等级高于 B 地区用户的满意度等级”, 假设两地区用户的评价结果相互独立, 根据所给数据,以事件发生的频率作为相应事件发生的概率,求 C 的概率。

(19) .(本小题满分 12 分) 如图,长方体 ABCD-A1B1C1D1 中 AB=16,BC=10,AA1=8,点 E,F 分别在 A1B1,D1C1 上,A1E=D1F=4, 过点 E,F 的平面与此长方体的面相交,交线围成一个正方形

D1 A1 E

F B1

C1

D A
(Ⅰ )在图中画出这个正方形(不必说出画法和理由)

C B

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(Ⅱ )求直线 AF 与平面所成角的正弦值

(20). (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C: ,直线不过原点 O 且不平行于坐标轴,l 与 C 有两个交点 A,B,线段 AB 的中点为 M. (Ⅰ ) 证明:直线 OM 的斜率与的斜率的乘积为定值; (Ⅱ )若过点(),延长线段 OM 与 C 交于点 P,四边形 OAPB 能否平行四边行?若能,求此时的斜率,若不 能,说明理由.

(21). (本小题满分 12 分) 设函数 f(x)=emx+x2-mx. (Ⅰ )证明:f(x)在(-∞,0)单调递减,在(0,+∞)单调递增; (Ⅱ )若对于任意 x 1, x2∈ [-1,1],都有|f(x1)- f(x2)|≤e-1,求 m 的取值范围

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请考生在 22、23、24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号。 (22) (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,为等腰三角形内一点,圆 O 与的底边交于、两点与底边上的高交于点,且与、分别相切于、两 点.

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A

G E B M O N F

C

D

(Ⅰ).证明:平行于

(Ⅱ). 若等于圆的半径,且==

,求四边形的面积。

(23).(本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系中,曲线其中,在以 O 为极点,x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线,曲线 2. (Ⅰ).求与交点的直角坐标 (Ⅱ).若与相交于点 A,与相交于点 B,求|AB|的最大值 (24) (本小题满分 10 分)选修 4-5 不等式选讲 设、 、 、均为正数,且+=+,证明: (Ⅰ) 若>,则 a ? b ? c ? d ; ( Ⅱ)

a ? b ? c ? d 是 | a ? b |?| c ? d | 的充要条件.

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