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2013年浙江省温州市高三第一次适应性测试数学(文科)试题及答案


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2013 年温州市高三第一次适应性测试 数学(文科)试题
考试时间 120 分钟. 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上.

2013.2

本试题卷分选择题和非选择题两部分.全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 3 至 4 页.满分 150 分,

选择题部分(共 50 分)
注意事项: 1.答题前,考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题纸上. 2.每小题选出答案后,用 2B 铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡皮擦 干净后,再选涂其它答案标号.不能答在试题卷上. 参考公式: 如果事件 A, B 互斥,那么

棱柱的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A, B 相互独立,那么

V ? Sh
其中 S 表示棱柱的底面积, h 表示棱柱的高 棱锥的体积公式

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是

p ,那么

1 V ? Sh 3
其中 S 表示棱锥的底面积, h 表示棱锥的高 棱台的体积公式

n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
Pn (k ) ? C p (1 ? p)
k n k n?k

,(k ? 0,1, 2,?, n)

球的表面积公式
S ? 4? R 2

V ?

1 h( S1 ? S1S 2 ? S 2 ) 3

其中 S1、S2 分别表示棱台的上、下底面积,

球的体积公式

h 表示棱台的高

V ?

4 3 其中 R 表示球的半径 ?R 3

选择题部分(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题 目要求. 1.设全集 U ? ?1, 2,3, 4,5? , A ? ?1,2? B ? ?2,3, 4? 则 (CU A) ? B ? ( A. ?3, 4? B. ?3,4,5? C. ?2,3,4,5? ▲ )

D. ?1,2,3,4?

2.已知 i 是虚数单位,则 A. 1 ? i

2 ?( ▲ ) 1? i B. 1 ? i C. 2 ? 2i

D. 2 ? 2i

3.把函数 f ( x) ? sin 2 x 的图象向左平移 A. y ? sin(2 x ? C. y ? cos 2 x

? 个单位,所得图像的解析式是( ▲ ) 4

?
4

)

B. y ? sin(2 x ? D. y ? ? cos 2 x

?
4

)

第 1 页 共 9 页

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4.设 a, b ? R ,则“ a ? 1 且 b ? 1 ”是“ ab ? 1 ”的( ▲ ) A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

5.某四面体的三视图都为直角三角形,如图所示,则该四面体的体积 是( ▲ ) A. 4
2 2

B. 8

C. 16

D. 24

x y 6.已知椭圆 2 ? ? 1 的一个焦点与抛物线 y 2 ? 8x 的焦点重合,则该椭圆的离心率为( ▲ ) a 12
A.

第5题

1 4

B.

1 2

C.

3 2
2

D.

3 4

7. a , b 分别是投掷两次骰子所得的数字, 记 则方程 x ? ax ? 2b ? 0 有两个不同实根的概率为 ( ▲ ) A.

5 18

B.

1 4

C.

3 10

D.

9 10

8.在 ?ABC 中, ?A ? 120 ? , AB ? AC ? ?1 ,则 | BC | 的最小值是( ▲ ) A. 2 9.设函数 f ( x) ? ? A. 27 B. 2 C. 6 ,那么 f (2013) ? ( C. 3 D. 6 ▲ ) D. 1

??? ??? ? ?

??? ?

? x3 ?

0? x?5

? f ( x ? 5) x ? 5 ?
B. 9

10.若实数 a, b, c 满足 loga 2 ? logb 2 ? logc 2 ,则下列关系中不可能成立的是( ▲ ) ..... A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? b ? a D. a ? c ? b

非选择题部分(共 100 分)
注意事项:1.用黑色字迹的签字笔或钢笔将答案写在答题纸上,不能答在试题卷上. 2.在答题纸上作图,可先使用 2B 铅笔,确定后必须使用黑色字迹的签字笔或钢笔描黑.

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.某校举行 2013 年元旦汇演,九位评委为某班的节目打出 的分数(百分 制)如右茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最 低分后,所剩数据的 中位数为
第 11 题

12.若向量 a ? (1,2), b ? (2,1) ,那么 (a ? b)? ? a
2 2

?

?





? ? ?



. ▲ .

13.按右图所示的程序框图运算,若输入 x ? 20 ,则输出的 k = 14.已知双曲线

x y ? ? 1 的焦点为 F1 、 F2 ,点 M 在双曲线上且 5 4 MF1 ? MF2 ,则点 M 到 x 轴的距离为 ▲ .
第 2 页 共 9 页 第 13 题

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15.正方体 ABCD ? A B1C1D1 中,二面角 C1 ? A1B ? D 的余弦值 1 为 ▲ .

16.若变量 x, y 满足不等式 ? 为 ▲ .

? x ? y ?1 ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的最小值 ? y ?1

17.方程 ( x ?1) ? sin ? x ? 1 在 (?1,3) 上有四个不同的根 x1 , x2 , x3 , x4 , 则 x1 ? x2 ? x3 ? x4 ? ▲ .

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 18. (本题满分 14 分) 已知 a , b , c 分别是 ?ABC 的三个内角 A , B , C 的对边,且满足 2a sin B ? 3b ? 0 . (Ⅰ )求角 A 的大小;

π (Ⅱ )当 A 为锐角时,求函数 y ? 3sin B ? sin( C ? ) 的值域. 6

19.(本题满分 14 分)
2 已知 {an } 是递增的等差数列, a1 ? 2,a2 ? a4 ? 8 . ..

(Ⅰ )求数列 {an } 的通项公式; (Ⅱ )若 bn ? an ? 2 n ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Sn .
a

第 3 页 共 9 页

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20.(本题满分 14 分) 如图,已知平面 QBC 与直线 PA 均垂直于 Rt ?ABC 所在平面,且 PA ? AB ? AC , (Ⅰ)求证: PA / / 平面 QBC ; (Ⅱ)若 PQ ? 平面QBC ,求 CQ 与平面 PBC 所成角的正弦值.

P Q

C B

A

21.(本题满分 15 分) 已知函数 f ( x) ? ax2 ? e x (a ? R) , f ?( x ) 是 f ( x ) 的导函数( e 为自然对数的底数) (Ⅰ )解关于 x 的不等式: f ( x) ? f ?( x) ; (Ⅱ )若 f (x ) 有两个极值点 x1 , x2 ,求实数 a 的取值范围.

第 4 页 共 9 页

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22.(本题满分 15 分) 已知点 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) 是抛物线 y 2 ? 4 x 上相异两点,且满足 x1 ? x2 ? 2 . (Ⅰ )若 AB 的中垂线经过点 P(0, 2) ,求直线 AB 的方程; (Ⅱ )若 AB 的中垂线交 x 轴于点 M ,求 ?AMB 的面积的最大值及此时直线 AB 的方程.

第 5 页 共 9 页

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2013 年温州市高三第一次适应性测试 数学(文科)试题参考答案
目要求. 题号 答案

2013.2

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题 1 C 2 A 3 C 4 A 5 B 6 B 7 B 8 C 9 A 10 A

二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分 11.85 三、解答题: 18. )解: 2a sin B ? 3b ? 0 由正弦定理, (Ⅰ 得: 2sin A ? sin B ? 3 sin B , sin B ? 0 ????????3 分 得: sin A ? 所以, A ? 12. 1 13.3 14.

4 3

15.

1 3

16. 5

17. 4

2? ??????????7 分 3 3 ? 2 ?B ? C ? ? (Ⅱ ? A ? ) 3 3 2? 得: 0 ? B ? ??????????9 分 3 ? ? ? y ? 3 sin B ? sin(C ? ) ? 3 sin B ? sin( ? B) 6 2

?

3 , 2

??????????5 分

或A?

? 3 sin B ? cos B ? 2sin( B ? ) ??????12 分 6 2? ? ? 5? ? 1 ? B ? (0, ), B ? ? ( , ),? sin( B ? ) ? ( ,1] 3 6 6 6 6 2
所以,所求函数的值域为 (1, 2] 19. )解:设等差数列的公差为 d , d ? 0 (Ⅰ ??????14 分

?

(2 ? d )2 ? 2 ? 3d ? 8, d 2 ? d ? 6 ? (d ? 3)(d ? 2) ? 0 ,???3 分
得: d ? 2 代入: an ? a1 ? (n ?1)? ? 2 ? (n ?1) ? 2 ? 2n , d 得: an ? 2n (Ⅱ bn ? an ? 2 )
an

??????5 分

??????7 分

? 2n ? 2

2n 2

??????9 分

Sn ? b1 ? b2 ? ... ? bn ? (2 ? 2 ) ? (4 ? 24 ) ? ... ? (2n ? 22n )
? (2 ? 4 ? 6 ? ... ? 2n) ? (22 ? 24 ? ... ? 22n ) ???11 分 (2 ? 2n) ? n 4 ? (1 ? 4n ) ? ? 2 1? 4 n ?1 4 ?4 ? n(n ? 1) ? ??????14 分 3

第 6 页 共 9 页

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(等差、等比数列前 n 项求和每算对一个得 2 分) 20.解法 (Ⅰ )证明:过点 Q 作 QD ? BC 于点 D , ∵平面 QBC ⊥平面 ABC ,∴ QD ? 平面 ABC ??2 分 又∵ PA ⊥平面 ABC ∴ QD ∥ PA , 又∵ QD ? 平面 QBC ∴ PA ∥平面 QBC (Ⅱ )∵ PQ ? 平面 QBC ∴ ?PQB ? ?PQC ? 90? ,又∵ PB ? PC, PQ ? PQ ∴ ?PQB ? ?PQC ∴ BQ ? CQ ??????8 分 ∴点 D 是 BC 的中点,连结 AD ,则 AD ? BC ∴ AD ? 平面 QBC ∴ PQ ∥ AD , AD ? QD ∴四边形 PADQ 是矩形 设 PA ? AB ? AC ? 2a 得: PQ ? AD ? 2a , PD ? 6a 又∵ BC ? PA, BC ? PQ ,∴ BC ? 平面PADQ , 从而 平面PBC ? 平面PADQ ,过 Q 作 QH ? PD 于点 H ,则: QH ? 平面PBC ∴ ?QCH 是 CQ 与平面 PBC 所成角 ??????????????????12 分 ??????10 分 ??????6 分 ??????2 分

2 ? 2a 2 3 ? a , CQ ? BQ ? 6a 3 6 QH 2 3 1 2 sin ?QCH ? ? ? ? CQ 3 3 6
∴ QH ? ∴ CQ 与平面 PBC 所成角的正弦值为 21.解: (Ⅰ) f ( x) ? 2ax ? e ,
' x

2 ??????????14 分 3
??????????2 分 ??????????4 分 ??????????5 分 ??????????6 分 ??????????7 分

f ( x) ? f ' ( x) ? ax( x ? 2) ? 0
当 a ? 0 时,无解;

? ? 当 a ? 0 时,解集为 ?x | 0 ? x ? 2?
' x

当 a ? 0 时,解集为 x | x ? 0或x ? 2 ;

(Ⅱ)方法一:若 f ( x ) 有两个极值点 x1 , x2 ,则 x1 , x2 是方程 f ?( x) ? 0 的两个根

f ( x) ? 2ax ? e ? 0 ,显然 x ? 0 ,得: 2a ?
令 h( x ) ?

ex ' ( x ? 1)e x , h ( x) ? , x x2

ex x

???????????9 分 ??????????11 分 ??????????12 分

若 x ? 0 时, h( x) 单调递减且 h( x) ? 0 ,

若 x ? 0 时,当 0 ? x ? 1 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 (0,1) 上递减, 当 x ? 1 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 (1, ??) 上递增, h( x)min ? h(1) ? e ??14 分

第 7 页 共 9 页

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要使 f (x ) 有两个极值点,需满足 2a ? 得: 2a ? e ,即: a ?

ex 在 (0, ??) 上有两个不同解, x
??????????15 分

e 2

法二:设 g ( x) ? f '( x) ? 2ax ? e x , 则 x1 , x2 是方程 g ( x) ? 0 的两个根,则 g '( x) ? 2a ? ex , 若 a ? 0 时,由 g '( x) ? 0 ,得 x ? ln 2 a , 当 x ? (??,ln 2a) 时, g '( x) ? 0 , g ( x) 单调递增, 当 x ? (ln 2a, ??) 时, g ' ( x) ? 0 g ( x) 单调递减 ??????????13 分 ??????????15 分 ??????????9 分 若 a ? 0 时, g '( x) ? 0 恒成立, g ( x) 单调递减,方程 g ( x) ? 0 不可能有两个根??11 分

e ? gmax ( x) ? g (ln 2a) ? 2a ln 2a ? 2a ? 0 ,得 a ? 2
22.方法一 解: (I)当 AB 垂直于 x 轴时,显然不符合题意, 所以可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? b ,代入方程 y 2 ? 4 x 得:

k 2 x2 ? (2kb ? 4) x ? b2 ? 0 4 ? 2kb ?2 ∴ x1 ? x2 ? k2 2 得: b ? ? k k
∴直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) ?

????????????2 分

2 k 2 k
??????????4 分

∵ AB 中点的横坐标为 1,∴ AB 中点的坐标为 (1, ) ∴ AB 的中垂线方程为 y ? ?

1 2 1 3 ( x ? 1) ? ? ? x ? k k k k 3 3 ∵ AB 的中垂线经过点 P(0, 2) ,故 ? 2 ,得 k ? ?????????6 分 k 2 3 1 ∴直线 AB 的方程为 y ? x ? ?????????7 分 2 6 1 3 (Ⅱ)由(I)可知 AB 的中垂线方程为 y ? ? x ? ,∴ M 点的坐标为 (3, 0) ????8 分 k k 2 2 因为直线 AB 的方程为 k x ? ky ? 2 ? k ? 0
∴ M 到直线 AB 的距离 d ?

| 3k 2 ? 2 ? k 2 | k4 ? k2

2 k 2 ?1 ? |k|

???????10 分

?k 2 x ? ky ? 2 ? k 2 ? 0 k2 2 y ? ky ? 2 ? k 2 ? 0 , 由? 得, 2 4 ? y ? 4x 4 8 ? 2k 2 y1 ? y2 ? , y1 ? y2 ? k k2
| AB |? 1 ? 1 4 1 ? k 2 k 2 ?1 | y1 ? y2 |? k2 k2
??????????12 分

第 8 页 共 9 页

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∴ S?AMB ? 4(1 ?

1 1 ) 1? 2 , 2 k k

设 1?

1 ? t ,则 0 ? t ? 1 , k2
6 3

S ? 4t (2 ? t 2 ) ? ?4t 3 ? 8t , S ' ? ?12t 2 ? 8 ,由 S ' ? 0 ,得 t ?
S ? ?4t 3 ? 8t 在 (0,

6 6 6 时, S 有最大值 ) 上递增,在 ( ,1) 上递减,当 t ? 3 3 3 16 6 得: k ? ? 3 时, S max ? 9 直线 AB 方程为 3x ? 3 y ?1 ? 0 ?????15 分
(本题若运用基本不等式解决,也同样给分) 法二: (Ⅰ)当 AB 垂直于 x 轴时,显然不符合题意, 当 AB 不垂直于 x 轴时,根据题意设 AB 的中点为 Q(1, t ) ,

y2 ? y1 y ?y 2 ? 22 12 ? x2 ? x1 y2 y1 t ? 4 4 由 P 、 Q 两点得 AB 中垂线的斜率为 k ? t ? 2 , 2 4 由 (t ? 2) ? ? ?1 ,得 t ? t 3 3 1 ∴直线 AB 的方程为 y ? x ? 2 6 2 (Ⅱ)由(Ⅰ)知直线 AB 的方程为 y ? t ? ( x ? 1) t t AB 中垂线方程为 y ? t ? ? ( x ? 1) ,中垂线交 x 轴于点 M (3,0) 2 t2 ? 4 点 M 到直线 AB 的距离为 d ? ? t2 ? 4 2 t ?4 2 ? ? y ? t ? ( x ? 1) 2 2 2 由? 得: 4 x ? 8x ? (t ? 2) ? 0 t ? y2 ? 4x ?
则 k AB ?

????2 分

??????4 分 ??????6 分 ??????7 分 ??????8 分

??????10 分

x1 ? x2 ? 2, x1 x2 ?

(t 2 ? 2)2 4

1 1 | AB | ?d ? (t 2 ? 4) 2 (4 ? t 2 ) 2 2 2 2 16 3 16 6 ? (t 2 ? 4)(t 2 ? 4)(8 ? 2t 2 ) ? ( ) ? 4 4 3 9 4 16 6 2 当 t ? 时, S 有最大值 ,此时直线 AB 方程为 3x ? 3 y ?1 ? 0 3 9 ?S ?

???15 分

第 9 页 共 9 页


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