3986.net
小网站 大容量 大智慧
当前位置:首页 >> 数学 >>

北京市海淀区2016届高三上学期期中数学试卷(文科) Word版含解析


2015-2016 学年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷(文科)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1.已知集合 P={x|x ﹣x≤0},M={0,1,3,4},则集合 P∩M 中元素的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4
2

)

2.下列函数中为偶函数的是( A.y=

)
2

B.y=lg|x| C.y=(x﹣1)

D.y=2

x

3.在△ABC 中,∠A=60°,| A.1 B.﹣1 C.

|=2,|

|=1,则

?

的值为(

)

D.﹣

4.数列{an}的前 n 项和 Sn,若 Sn﹣Sn﹣1=2 ﹣1(n≥2) ,且 S2=3,则 a1 的值为( A.0 B.1 C.3 D.5

n

)

5.已知函数 f(x)=cos x﹣sin x,下列结论中错误的是( A.f(x)=cos2x B.f(x)的最小正周期为 π C.f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.f(x)的值域为

2

2

)

6.“x=0”是“sinx=﹣x”的( A.充分不必要条件

)

B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

7.如图,点 O 为坐标原点,点 A(1,1) ,若函数 y=a (a>0,且 a≠1)及 logbx(b>0,且 b≠1)的图象与线段 OA 分别交于点 M,N,且 M,N 恰好是线段 OA 的两个三等分点,则 a,b 满足( )

x

-1-

A.a<b<1 B.b<a<1 C.b>a>1 D.a>b>1

8.已知函数 f(x)=

,函数 g(x)=ax ﹣x+1,若函数 y=f(x)﹣g(x)恰 ) C. (﹣∞,﹣ )∪(1,+∞) D. (﹣∞,

2

好有 2 个不同零点,则实数 a 的取值范围是( A. (0,+∞) 0)∪(0,1) B. (﹣∞,0)∪(2,+∞)

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.函数 f(x)= 的定义域为__________.

10.若角 α 的终边过点(1,﹣2) ,则 cos(α +

)=__________.

11.若等差数列{an}满足 a1=﹣4,a3+a9=a10﹣a8,则 an=__________.

12.已知向量 =(1,0) ,点 A(4,4) ,点 B 为直线 y=2x 上一个动点.若 坐标为__________.

∥ ,则点 B 的

13.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0) .若 f(x)的图象向左平移 象与 f(x)的图象重合,则 ω 的最小值为__________.

个单位所得的图

-2-

14.对于数列{an},若? m,n∈N (m≠n) ,均有 性质 P(t)

*

(t 为常数) ,则称数列{an}具有

(1)若数列{an}的通项公式为 an=n ,具有性质 P(t) ,则 t 的最大值为__________ (2) 若数列{an}的通项公式为 an=n ﹣ , 具有性质 P (7) , 则实数 a 的取值范围是__________.
2

2

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15. (13 分)已知等比数列{an}的公比 q>0,且 a1=1,4a3=a2a4. (Ⅰ)求公比 q 和 a3 的值;

(Ⅱ)若{an}的前 n 项和为 Sn,求证

<2.

16. (13 分)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求 f( )的值;

sin(2x﹣

)+cos(2x﹣

) .

(Ⅱ)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间.

17. (13 分)如图,在四边形 ABCD 中,AB=8,BC=3,CD=5,∠A= (Ⅰ)求 BD 的长; (Ⅱ)求△BCD 的面积.

,cos∠ADB= .

18. (13 分)已知函数 f(x)= x +x +ax+1. (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(0,1)处切线的斜率为﹣3,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间上单调递增,求 a 的取值范围.
-3-

3

2

19. (14 分)已知数列{an}的各项均不为 0,其前 n 和为 Sn,且满足 a1=a,2Sn=anan+1. (Ⅰ)求 a2 的值; (Ⅱ)求{an}的通项公式; (Ⅲ)若 a=﹣9,求 Sn 的最小值.

20. (14 分)已知 x 为实数,用表示不超过 x 的最大整数,例如=1,=2,=1.对于函数 f(x) , 若存在 m∈R 且 m≠Z,使得 f(m)=f() ,则称函数 f(x)是 Ω 函数. (Ⅰ)判断函数 f(x)=x ﹣ x,g(x)=sinπ x 是否是 Ω 函数; (只需写出结论) (Ⅱ)已知 f(x)=x+ ,请写出 a 的一个值,使得 f(x)为 Ω 函数,并给出证明; (Ⅲ)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期函数,其最小周期为 T.若 f(x)不是 Ω 函数,求 T 的最小值.
2

-4-

2015-2016 学年北京市海淀区高三(上)期中数学试卷(文科)

一、选择题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要 求的一项. 1.已知集合 P={x|x ﹣x≤0},M={0,1,3,4},则集合 P∩M 中元素的个数为( A.1 B.2 C.3 D.4
2

)

【考点】交集及其运算. 【专题】计算题;集合. 【分析】求出 P 中不等式的解集确定出 P,找出 P 与 M 的交集,即可做出判断. 【解答】解:由 P 中不等式变形得:x(x﹣1)≤0, 解得:0≤x≤1,即 P={x|0≤x≤1}, ∵M={0,1,3,4}, ∴P∩M={0,1}, 则集合 P∩M 中元素的个数为 2, 故选:B. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2.下列函数中为偶函数的是( A.y=

)
2

B.y=lg|x| C.y=(x﹣1)

D.y=2

x

【考点】函数奇偶性的判断. 【专题】证明题;对应思想;函数的性质及应用. 【分析】根据奇偶函数的定义,可得结论. 【解答】解:根据奇偶函数的定义,可得 A 是奇函数,B 是偶函数,C,D 非奇非偶. 故选:B. 【点评】本题考查函数的奇偶性,考查学生的计算能力,比较基础.

3.在△ABC 中,∠A=60°,|

|=2,|

|=1,则
-5-

?

的值为(

)

A.1

B.﹣1 C.

D.﹣

【考点】平面向量数量积的运算. 【专题】计算题;对应思想;向量法;平面向量及应用. 【分析】运用数量积公式则 【解答】解:∠A=60°,| 则 ? =| |?| ? =| |?| |=1, |COS60°求解即可.

|=2,|

|COS60°=2×1× =1

故选:A 【点评】本题考察了向量的数量积的运算,属于简单计算题,关键记住公式即可.

4.数列{an}的前 n 项和 Sn,若 Sn﹣Sn﹣1=2 ﹣1(n≥2) ,且 S2=3,则 a1 的值为( A.0 B.1 C.3 D.5

n

)

【考点】数列递推式. 【专题】方程思想;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】Sn﹣Sn﹣1=2 ﹣1(n≥2) ,可得 S2﹣S1=2 ﹣1=3,又 S2=3,代入解出即可得出. 【解答】解:∵Sn﹣Sn﹣1=2 ﹣1(n≥2) , ∴S2﹣S1=2 ﹣1=3, 又 S2=3, ∴S1=0, 则 a1=0. 故选:A. 【点评】本题考查了递推关系的应用,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
2 n n 2

5.已知函数 f(x)=cos x﹣sin x,下列结论中错误的是( A.f(x)=cos2x B.f(x)的最小正周期为 π C.f(x)的图象关于直线 x=0 对称 D.f(x)的值域为
-6-

2

2

)

【考点】二倍角的余弦. 【专题】计算题;数形结合;数形结合法;三角函数的求值. 【分析】由平方差公式及二倍角的余弦函数公式化简函数解析式可得 f(x)=cos2x,利用余 弦函数的图象和性质及余弦函数的周期公式即可得解. 【解答】解:由 f(x)=cos x﹣sin x=(cos x+sin x) (cos x﹣sin x)=cos2x,故 A 正确; 由周期公式可得 f(x)的最小正周期为:T= ,故 B 正确;
4 4 2 2 2 2

由利用余弦函数的图象可知 f(x)=cos2x 为偶函数,故 C 正确; 由余弦函数的性质可得 f(x)=cos2x 的值域为,故 D 错误; 故选:D. 【点评】本题主要考查了平方差公式及二倍角的余弦函数公式,考查了余弦函数的图象和性 质,属于基础题.

6.“x=0”是“sinx=﹣x”的( A.充分不必要条件

)

B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断. 【专题】转化思想;综合法;简易逻辑. 【分析】根据充分必要条件的定义判断即可. 【解答】解:x=0 时:sinx=sin0=0,是充分条件, 而由 sinx=﹣x,即函数 y=sinx 和 y=﹣x, 在同一坐标系内画出函数 y=sinx 与 y=﹣x 的草图, 由图得交点(0,0) 推出 x=0,是必要条件, 故选:C. 【点评】本题考查了充分必要条件,考查函数的交点问题,是一道基础题.

7.如图,点 O 为坐标原点,点 A(1,1) ,若函数 y=a (a>0,且 a≠1)及 logbx(b>0,且 b≠1)的图象与线段 OA 分别交于点 M,N,且 M,N 恰好是线段 OA 的两个三等分点,则 a,b 满足( )
-7-

x

A.a<b<1 B.b<a<1 C.b>a>1 D.a>b>1 【考点】指数函数的图像与性质. 【专题】函数的性质及应用. 【分析】先由图象得到 0<a<1,0<b<1,再根据反函数的定义可以得出 y=a 经过点 M,则 它的反函数 y=logax 也经过点 M,根据对数函数的图象即可得到 a<b. 【解答】解:由图象可知,函数均为减函数,所以 0<a<1,0<b<1, 因为点 O 为坐标原点,点 A(1,1) , 所以直线 OA 为 y=x, 因为 y=a 经过点 M,则它的反函数 y=logax 也经过点 M, 又因为 logbx(b>0,且 b≠1)的图象经过点 N, 根据对数函数的图象和性质, ∴a<b, ∴a<b<1 故选:A. 【点评】本题考查了对数函数和指数函数的图象及性质,以及反函数的概念和性质,属于基 础题.
x x

8.已知函数 f(x)=

,函数 g(x)=ax ﹣x+1,若函数 y=f(x)﹣g(x)恰 ) C. (﹣∞,﹣ )∪(1,+∞) D. (﹣∞,

2

好有 2 个不同零点,则实数 a 的取值范围是( A. (0,+∞) 0)∪(0,1) 【考点】根的存在性及根的个数判断. 【专题】计算题;作图题;函数的性质及应用.
-8-

B. (﹣∞,0)∪(2,+∞)

【分析】化函数 y=f(x)﹣g(x)恰好有 2 个不同零点为函数 f(x)+x﹣1 与函数 y=ax 的图 象有两个不同的交点,从而解得. 【解答】解:∵f(x)﹣(ax ﹣x+1)=0, ∴f(x)+x﹣1=ax ,
2 2

2

而 f(x)+x﹣1=
2



作函数 y=f(x)+x﹣1 与函数 y=ax 的图象如下,

, 结合选项可知, 实数 a 的取值范围是(﹣∞,0)∪(0,1) , 故选:D. 【点评】本题考查了数形结合的思想应用及函数的零点与函数的图象的关系应用.

二、填空题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分.
-9-

9.函数 f(x)=

的定义域为

【点评】本题考查了利用函数的解析式求定义域的应用问题,是基础题目.

10.若角 α 的终边过点(1,﹣2) ,则 cos(α + 【考点】任意角的三角函数的定义. 【专题】转化思想;综合法;三角函数的求值.

)=



【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义、诱导公式,求得 cos(α +

)的值.

【解答】解:角 α 的终边过点(1,﹣2) ,则 cos(α +

)=﹣sinα =﹣

=



故答案为:



【点评】本题主要考查任意角的三角函数的定义,诱导公式的应用,属于基础题.

11.若等差数列{an}满足 a1=﹣4,a3+a9=a10﹣a8,则 an=n﹣5. 【考点】等差数列的通项公式. 【专题】函数思想;待定系数法;等差数列与等比数列. 【分析】由题意可得公差 d 的方程,解方程可得通项公式. 【解答】解:设等差数列{an}公差为 d, ∵a3+a9=a10﹣a8, ∴﹣4+2d﹣4+8d=﹣4+9d﹣(﹣4+7d) , 解得 d=1 ∴an=﹣4+n﹣1=n﹣5 故答案为:n﹣5 【点评】本题考查等差数列的通项公式,求出公差是解决问题的关键,属基础题.

12.已知向量 =(1,0) ,点 A(4,4) ,点 B 为直线 y=2x 上一个动点.若 坐标为(2,4) . 【考点】平面向量共线(平行)的坐标表示. 【专题】方程思想;向量法;平面向量及应用.
- 10 -

∥ ,则点 B 的

【分析】利用向量共线定理的坐标运算性质即可得出. 【解答】解:设 B(x,2x) , ∵ ∥ , =(x﹣4,2x﹣4) .

∴0﹣(2x﹣4)=0, 解得 x=2, ∴B(2,4) , 故答案为: (2,4) . 【点评】本题考查了向量共线定理的坐标运算性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档 题.

13.已知函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0) .若 f(x)的图象向左平移 象与 f(x)的图象重合,则 ω 的最小值为 6.

个单位所得的图

【考点】 由 y=Asin (ω x+φ ) 的部分图象确定其解析式; 正弦函数的图象; 函数 y=Asin (ω x+φ ) 的图象变换. 【专题】应用题;规律型;数形结合法;三角函数的图像与性质. 【分析】由条件利用函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,终边相同的角的特征,求得 ω 的最小值 【解答】解:函数 f(x)=sin(ω x+φ ) (ω >0) , ∵把 f(x)的图象向左平移 ∴φ =+ ∵ω >0, ∴ω 的最小值为:6 故答案为:6 【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ω x+φ )的图象变换规律,终边相同的角,属于基础题 个单位所得的图象为 y=sin=sin(ω x+ +φ ) ,

+φ +2kπ .即 ω =﹣6k,k∈z,

14.对于数列{an},若? m,n∈N (m≠n) ,均有 性质 P(t)
- 11 -

*

(t 为常数) ,则称数列{an}具有

(1)若数列{an}的通项公式为 an=n ,具有性质 P(t) ,则 t 的最大值为 3 (2)若数列{an}的通项公式为 an=n ﹣ ,具有性质 P(7) ,则实数 a 的取值范围是 a≥8. 【考点】数列递推式;全称命题. 【专题】函数思想;归纳法;点列、递归数列与数学归纳法. 【分析】 (1)若数列{an}的通项公式为 an=n ,具有性质 P(t) ,则 t 的最大值为
2 2

2

(2)根据定义

≥7 恒成立,利用参数分离法进行求解即可.
2

【解答】解: (1)若数列{an}的通项公式为 an=n ,具有性质 P(t) ,



=

=m+n,


*

得 m+n≥t,

∵? m,n∈N (m≠n) , ∴当 m+n=1+2 时,t≤3, 则 t 的最大值为 3. (2)若数列{an}的通项公式为 an=n ﹣ ,具有性质 P(7) ,
2



≥7 恒成立,



=

=m+n+

≥7,

即当 m=1,n=2 时,=m+n+ 即 ≥4 则 a≥8. 故答案为:3,a≥8

=1+2+ ≥7,

【点评】本题主要考查递推数列的应用,以及不等式恒成立问题,考查学生的运算和推理能 力.

- 12 -

三、解答题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程. 15. (13 分)已知等比数列{an}的公比 q>0,且 a1=1,4a3=a2a4. (Ⅰ)求公比 q 和 a3 的值;

(Ⅱ)若{an}的前 n 项和为 Sn,求证

<2.

【考点】等比数列的前 n 项和;等比数列的通项公式. 【专题】综合题;方程思想;作差法;等差数列与等比数列. 【分析】 (I)利用等比数列的通项公式即可得出.

(II)作差

﹣2 化简即可得出.

【解答】 (I)解:∵等比数列{an}的公比 q>0,且 a1=1,4a3=a2a4. ∴4q =q , 解得 q=2. ∴a3=4.
2 4

(II)证明:an=2

n﹣1

,Sn=

=2 ﹣1,

n



﹣2=

﹣2=2﹣

﹣2<0,



<2.

【点评】本题考查了等差数列的通项公式的性质及其前 n 项和公式、数列的单调性,考查了 推理能力与计算能力,属于中档题.

16. (13 分)已知函数 f(x)= (Ⅰ)求 f( )的值;

sin(2x﹣

)+cos(2x﹣

) .

(Ⅱ)求函数 f(x)的最小正周期和单调递增区间. 【考点】三角函数中的恒等变换应用;正弦函数的图象. 【专题】计算题;函数思想;方程思想;转化思想;三角函数的图像与性质.

- 13 -

【分析】 (Ⅰ)利用已知表达式,直接求解 f(

)的值;

(Ⅱ)化简函数的表达式,利用函数 f(x)的周期公式求解,通过正弦函数的单调递增区间 求解即可. 【解答】解: (Ⅰ)因为 f(x)= 所以 f( = (Ⅱ)因为 f(x)= 所以 f(x)=2( =2sin(2x﹣ + )= sin(2× = ﹣ = sin(2x﹣ sin(2x﹣ )+cos(2× )+cos(2x﹣ ﹣ ) ) .

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ )+cos(2x﹣ ) . ) )

sin(2x﹣ )

)+ cos(2x﹣

=2sin2x.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 所以周期 T= 令 解得 =π .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,k∈Z. ,k∈Z.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

所以 f(x)的单调递增区间为 ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13 分)

【点评】本题考查三角函数的化简求值,两角和与差的三角函数,三角函数的正确的求法, 得到求解的求法,考查计算能力.

17. (13 分)如图,在四边形 ABCD 中,AB=8,BC=3,CD=5,∠A= (Ⅰ)求 BD 的长; (Ⅱ)求△BCD 的面积.

,cos∠ADB= .

- 14 -

【考点】正弦定理;余弦定理. 【专题】计算题;数形结合;数形结合法;解三角形. 【分析】 (Ⅰ)由已知可求 sin∠ADB 的值,根据正弦定理即可解得 BD 的值. (Ⅱ)根据已知及余弦定理可求 cos∠C=﹣ ,结合范围∠C∈(0,π )可求∠C,利用三角形 面积公式即可得解. 【解答】解: (Ⅰ)在△ABD 中,因为 cos∠ADB= ,∠ADB∈(0,π ) , 所以 sin∠ADB= 根据正弦定理,有 ﹣﹣﹣﹣ 代入 AB=8,∠A= . .﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

解得 BD=7.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

(Ⅱ)在△BCD 中,根据余弦定理 cos∠C= ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 代入 BC=3,CD=5,得 cos∠C=﹣ ,∠C∈(0,π )所以 所以 ﹣﹣﹣﹣﹣(13 分) =

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

【点评】本题主要考查了正弦定理,余弦定理,三角形面积公式的综合应用,考查了余弦函 数的图象和性质,属于中档题.

18. (13 分)已知函数 f(x)= x +x +ax+1. (Ⅰ)若曲线 y=f(x)在点(0,1)处切线的斜率为﹣3,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ)若函数 f(x)在区间上单调递增,求 a 的取值范围. 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 【专题】分类讨论;转化思想;导数的概念及应用;导数的综合应用. 【分析】 (Ⅰ)求得 f(x)的导数,可得切线的斜率,由条件可得 a=﹣3,由导数大于 0,可 得增区间,由导数小于 0,可得减区间;
- 15 -

3

2

(Ⅱ)由题意可得 f′(x)≥0 对 x∈成立,只要 f′(x)=x +2x+a 在上的最小值大于等于 0 即可.求出二次函数的对称轴,讨论区间和对称轴的关系,求得最小值,解不等式即可得到 所求范围. 【解答】解: (Ⅰ)因为 f(0)=1,所以曲线 y=f(x)经过点(0,1) , 又 f′(x)=x +2x+a, 曲线 y=f(x)在点(0,1)处切线的斜率为﹣3, 所以 f′(0)=a=﹣3, 所以 f′(x)=x +2x﹣3. 当 x 变化时,f′(x) ,f(x)的变化情况如下表: x (﹣∞, ﹣3) ﹣3 0 极大值 (﹣3,1) ﹣ 减 1 0 极小值 (1,+∞) + 减
2 2

2

f′(x) + f(x) 增

所以函数 f(x)的单调递增区间为(﹣∞,﹣3) , (1,+∞) , 单调递减区间为(﹣3,1) ; (Ⅱ)因为函数 f(x)在区间上单调递增, 所以 f′(x)≥0 对 x∈成立, 只要 f′(x)=x +2x+a 在上的最小值大于等于 0 即可. 因为函数 f′(x)=x +2x+a≥0 的对称轴为 x=﹣1, 当﹣2≤a≤﹣1 时,f′(x)在上的最小值为 f′(a) , 解 f′(a)=a +3a≥0,得 a≥0 或 a≤﹣3,所以此种情形不成立; 当 a>﹣1 时,f′(x)在上的最小值为 f′(﹣1) , 解 f′(﹣1)=1﹣2+a≥0 得 a≥1,所以 a≥1, 综上,实数 a 的取值范围是 a≥1. 【点评】本题考查导数的运用:求切线的斜率和单调区间、极值和最值,考查不等式恒成立 问题的解法,注意运用分类讨论的思想方法,考查运算能力,属于中档题.
2 2 2

19. (14 分)已知数列{an}的各项均不为 0,其前 n 和为 Sn,且满足 a1=a,2Sn=anan+1. (Ⅰ)求 a2 的值; (Ⅱ)求{an}的通项公式;

- 16 -

(Ⅲ)若 a=﹣9,求 Sn 的最小值. 【考点】数列递推式. 【专题】计算题;分类讨论;数学模型法;等差数列与等比数列. 【分析】 (Ⅰ)由 2Sn=anan+1,可得 2a1=a1a2,又 a1=a≠0,即可得出 a2. (Ⅱ)由 2Sn=anan+1,可得 an+1﹣an﹣1=2,于是数列{a2k﹣1},{a2k}都是公差为 2 的等差数列,即可 得出.

(Ⅲ)当 a=﹣9 时,an= 调性即可得出.

,利用 2Sn=anan+1,可得 Sn,再利用二次函数的单

【解答】解: (Ⅰ)∵2Sn=anan+1,∴2S1=a1a2,即 2a1=a1a2, ∵a1=a≠0,∴a2=2. (Ⅱ)∵2Sn=anan+1,∴当 n≥2 时,2Sn﹣1=an﹣1an, 两式相减得到:2an=an(an+1﹣an﹣1) , ∵an≠0, ∴an+1﹣an﹣1=2, ∴数列{a2k﹣1},{a2k}都是公差为 2 的等差数列, 当 n=2k﹣1 时,an=a1+2(k﹣1)=a+2k﹣2=a+n﹣1, 当 n=2k 时,an=2+2(k﹣1)=2k=n,

∴an= (Ⅲ)当 a=﹣9 时,



an= ∵2Sn=anan+1,



∴Sn=



∴当 n 为奇数时,Sn 的最小值为 S5=﹣15; 当 n 为偶数时,Sn 的最小值为 S4=﹣10, 所以当 n=5 时,Sn 取得最小值为﹣15.
- 17 -

【点评】本题考查了递推关系的应用、等差数列的通项公式、分类讨论方法,考查了推理能 力与计算能力,属于中档题.

20. (14 分)已知 x 为实数,用表示不超过 x 的最大整数,例如=1,=2,=1.对于函数 f(x) , 若存在 m∈R 且 m≠Z,使得 f(m)=f() ,则称函数 f(x)是 Ω 函数. (Ⅰ)判断函数 f(x)=x ﹣ x,g(x)=sinπ x 是否是 Ω 函数; (只需写出结论) (Ⅱ)已知 f(x)=x+ ,请写出 a 的一个值,使得 f(x)为 Ω 函数,并给出证明; (Ⅲ)设函数 f(x)是定义在 R 上的周期函数,其最小周期为 T.若 f(x)不是 Ω 函数,求 T 的最小值. 【考点】函数的周期性;抽象函数及其应用. 【专题】新定义;转化思想;归纳法;函数的性质及应用. 【分析】 (Ⅰ)根据 Ω 函数的定义直接判断函数 f(x)=x ﹣ x,g(x)=sinπ x 是否是 Ω 函 数; (Ⅱ)根据 Ω 函数的定义,分别求 k=1,a= ,进行证明即可; (Ⅲ)根据周期函数的定义,结合 Ω 函数的条件,进行判断和证明即可. 【解答】解: (Ⅰ)f(x)=x ﹣ x 是 Ω 函数,g(x)=sinπ x 不是 Ω 函数;﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ (Ⅱ)法一:取 k=1,a= ∈(1,2) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣ 则令=1,m= = ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 此时 f( )=f()=f(1) 所以 f(x)是 Ω 函数.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 法二:取 k=1,a= ∈(0,1) ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 则令=﹣1,m= ,﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
2 2 2

此时 f(﹣ )=f()=f(﹣1) , 所以 f(x)是 Ω 函数.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣
- 18 -

(说明:这里实际上有两种方案: 方案一:设 k∈N ,取 a∈(k ,k +k) ,
? 2 2

令=k,m= ,则一定有 m﹣= ﹣k=

∈(0,1) ,

且 f(m)=f() ,所以 f(x)是 Ω 函数. ) 方案二:设 k∈N ,取 a∈(k ﹣k,k ) ,
? 2 2

令=﹣k,m=﹣ ,则一定有 m﹣=﹣ ﹣(﹣k)=﹣ 且 f(x)=f() ,所以 f(x)是 Ω 函数. )

∈(0,1) ,

(Ⅲ)T 的最小值为 1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ 因为 f(x)是以 T 为最小正周期的周期函数,所以 f(T)=f(0) . 假设 T<1,则=0,所以 f()=f(0) ,矛盾.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣ ﹣﹣﹣﹣﹣﹣(13 分) 所以必有 T≥1, 而函数 l(x)=x﹣的周期为 1,且显然不是 Ω 函数, 综上,T 的最小值为 1.﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣(14 分) 【点评】本题主要考查与周期函数有关的新定义试题,考查学生的运算和推理能力,综合性 较强,有一定的难度.

- 19 -


推荐相关:

北京市海淀区2016届高三上学期期中考试数学(文)试题 Word版含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市海淀区2016届高三上学期期中考试数学(文)试题 Word版含...


北京市东城区2016届高三上学期期中数学试卷(理科) Word版含解析_数学_高中教育_...(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【专题】计算题;数形结合;数形结合法;...


北京市海淀区中国人民大学附属中学2016届高三上学期期中教学质量检测文数试题 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。北京市海淀区中国人民大学附属中学2016届高三上...


北京市西城区2016届高三一模文科数学试卷 Word版含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京市西城区2016届高三一模文科数学试卷 Word版含解析 ...


2016届海淀高三期中数学文科_高三数学_数学_高中教育_教育专区。1 海淀区高三年级第一学期期中练习 数 学(文科) 2015.11 本试卷共 4 页,150 分。考试时长 ...


北京市海淀区2016届高三学期期中练习数学文试题 Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。海淀区高三年级2015-2016 学年度第二学期期中练习 数学试卷(文科) 2016.4...


北京民大附中2016届高三上学期适应性数学试卷(文科) Word版含解析_高三数学_数学_高中教育_教育专区。北京民大附中2016届高三上学期适应性数学试卷(文科) Word版含...


北京市海淀区2016届高三第二次模拟数学文科试卷 Word版含解析_数学_高中教育_教育专区。北京市海淀区2016届高三第二次模拟数学文科试卷 Word版含解析 ...


北京四中2017届高三上学期期中数学试卷(文科) Word版含答案_数学_高中教育_教育专区。2016-2017 学年北京四中高三(上)期中数学试卷(文科)一、选择题:本大题共 8...


2016年北京海淀高三二模数学(文科)试题及答案(word版)_数学_高中教育_教育专区。北京市海淀区高三年级2015-2016学年度第二学期期末练习数学试卷(文科) 2016. 5 ...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com