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2013年浙江省高考理科数学试题(一模)


绝密★考试结束前

2013 学年第一学期高三年级第一次摸底考试试题

数学(理科)
本试题卷分选择题和非选择题两部分。全卷共 4 页,选择题部分 1 至 2 页,非选择题部分 2 至 4 页, 满分 150 分,考试时间 120 分钟。请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上。

选择题部分(共 50 分)
一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四项中,只有一项是符合 题目要求的。 (1)已知全集 U ? R ,集合 A ? ? x f ? x ? ?

? ? ? ?

x ?3 ? ? 2 ? , B ? x x ? 7 x ? 10 ? 0 ,则 ?R ? A ? B ? ? 7?x ? ?

?

?

(A) ? ??,3? ? ? 5, ?? ? (C) ? ??,3? ? ?5, ?? ? (2)已知 i 为虚数单位, m?R , z ? (A) 1 (B) 2

(B) ? ??,3? ? ?5, ?? ? (D) ? ??,3? ? ? 5, ?? ?

2 ? m?i , z 是 z 的共轭复数,若 z ? z ? 0 ,则 m ? 1? i
(C) ?1 (D) ?2

(3)函数 f ? x ? ? sin ? 2 x ? ? ? ? ? ?

? ?

??

? 向左平移 个单位后得到一个奇函数,则函数 f ? x ? 在区 2? 6

?

间 ?0,

? ?? 上的最小值为 ? 2? ? 3 2
(B) ?

(A) ?

1 2

(C)

1 2

(D)

3 2

(4)已知 a, b, c ?R ,则“ (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件

a?b ? ? 4,5? ”是“ 2a ? 3b ? 6c ”的 c
(B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件

(5)已知 m n 是两条不同的直线, ?,?,? 是三个不同的平面,下列说法错误的是 , .. (A)若 m n 是两条异面直线,则直线 m n 夹角的取值范围是 ? 0, , , (B)若面 ? //面 ? ,面 ? ? 面 ? ? m ,面 ? ? 面 ? ? n ,则 m // n

? ?? ? 2? ?

第 1 页 共 1 页

(C)若 m 不垂直于面 ? ,则 m 不可能垂直于面 ? 内的无数条直线 (D)若面 ? ? 面 ? ? m , m // n ,且 n ? 面 ? , n ? 面 ? ,则 n //面 ? ,且 n //面 ?

? x ? 0, y ? 0 ? (6)在约束条件 ? x ? y ? s 下,当 3 ? s ? 5 时,目标函数 z ? 3x ? 2 y 的最大值的取值范围是 ?2 x ? y ? 4 ?
(A) ? 6,15? (B) ? 7,15? (C) ? 6,8? (D) ? 7,8?

(7)已知在 ?ABC 中, AB ? 1 , AC ? 3 .若 O 是该三角形内的一点,满足 OA ? OB ? AB ? 0 ,

?

??? ??? ??? ? ? ?

?

?

??? ? ???? ???? ??? ? OB ? OC ,则 AO ? BC ?
(A)

5 2

(B) 3

(C) 4

(D)

9 2

(8)定义在 ? 0,

? ?? ? 上的函数 f ? x ? , f ' ? x ? 是它的导函数,且恒有 f ? x ? ? f ' ? x ? ? tan x 成立,则 ? 2?
(B) f ?1? ? 2 f ?

(A) 3 f ?

?? ? ?? ? ?? 2f ? ? ?4? ?3? ?? ? ?? ? ?? f ? ? ?6? ?4?

?? ? ? sin1 ?6?

(C) 2 f ?

(D) 3 f ?

?? ? ?? ? ?? f ? ? ?6? ?3?

(9)三个顶点均在椭圆上的三角形称为椭圆的内接三角形, 已知点 A 是椭圆的一个短轴端点, 如果 以 A 为直角顶点的椭圆内接等要直角三角形有且仅有三个,则椭圆的离心率取值范围是 (A) ? 0,

? ? ?

2? ? 2 ? ?

(B) ?

? 2 6? ? 2 , 3 ? ? ? ?

(C) ?

? 2 ? ? 2 ,1? ? ? ?

(D) ?

? 6 ? ? 3 ,1? ? ? ?

(10)在平面直角坐标系中,如果不同两点 A ? a , b ? , B ? ? a, ?b ? 都在函数 y ? h ? x ? 的图象上,那 么称 ? A, B ? 为函数 h ? x ? 的一组“友好点” ? A, B ? 与 ? B, A? 看成一组) ( .已知定义在 ? 0, ?? ? 上的函 数 f ? x ? 满足 f ? x ? 2 ? ?

2 f ? x ? ,且当 x ? ? 0, 2? 时, f ? x ? ? sin

?
2

x.

则函数 g ? x ? ? ?

? f ? x? , 0 ? x ? 8 ? ?? ? x , ?8 ? x ? 0 ?

的“友好点”的组数为

(A) 4

(B) 5

(C) 6

(D) 7

第 2 页 共 2 页

非选择题部分(共 100 分)
二、填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分。 (11) 已知函数 f ? x ? ? ax3 ?

1 1 2 记 . 某 x 在 x ? ?1 处取得极大值, g ? x ? ? f '? x? 2

程序框图如下图所示,若输出的结果 S ? 断条件是 ▲ .
2

2012 ,则判断框可以填入的关于 n 的判 2013

(12)已知 ? , ? 为锐角,且 3sin ? ? 2sin ? ? 1 , 3sin 2? ? 2sin 2? ? 0 ,则
2

tan ?? ? 2 ? ? ?





(13) 已知一个棱长为 2 的正方体, 被一个平面所截得的的立体图形的三视图如 右图所示,该几何体的体积是
2 (14)已知展开式 x ? x ? 6





?

? ?? x
3

2

? x ? 6 ? ? a0 ? a1 x ? a2 x 2 ? ??? ? a12 x12 ,
3

则 a1 ? a5 ? a9 ?





(15)袋中有大小、形状完全相同的 m 个红球和 n 个白球,其中 m, n 满足:

m ? n ? 1且 m ? n ? 15 , m, n ? N* .已知从袋中任取 2 个球,取出的 2 个球是
同色的概率等于取出的 2 个球是异色的概率. 现从袋中任取 2 个球, 设取到红球 的个数为 ? ,则 ? 的期望 E? ? (16)双曲线 坐标为 ▲ ▲ .

x2 y 2 ? ? 1 的右支上一点 P 到左焦点 F1 与到右焦点 F2 的距离之比为 3 : 2 ,则 P 点的 4 3


?m 1 ? x 2 , x ? ? ?1,1? ? (17)已知以 T ? 4 为周期的函数 f ? x ? ? ? , 其中 m ? 0 . 若方程 4 f ? x ? ? x 恰 ?1 ? x ? 2 , x ? ?1,3? ?
好有 7 个实数解,则 m 的取值范围为 ▲ . 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. (18) (本题满分 14 分) 在一个特定时段内, 以点 E 为中心的 7 海里以内海域被设为警戒水域. E 正北 55 海里处有一雷达 点 观测站 A .某时刻测得一艘匀速直线行驶的船只位于点 A 北偏东 45 ? 且与点 A 相距 40 2 海里的位 置 B ,经过 40 分钟又测得该船已行驶到点 A 北偏东 45? ? ? ? 其中 sin ? ? ?

? ?

? 26 ,0? ? ? ? 90? ? 且与 ? 26 ?

点 A 相距 10 13 海里的位置 C . (Ⅰ)求该船的行驶速度(单位:海里/小时) ;
第 3 页 共 3 页

(Ⅱ)若该船不改变航行的方向继续行驶,判断它是否会进入警戒水域,并说明理由. (19)(本题满分 14 分)

?2a n ? 1, n为偶数 ? 2 ? 已知数列 ?an ? 满足: a1 ? 1 , an ? ? , n ? 2,3, 4, ??? . 1 ? ? 2a n ?1 , n为奇数 ?2 ? 2
(Ⅰ)求 a3 , a4 , a5 的值; (Ⅱ)设 bn ? a2 n ?1 ? 1, n ? 1, 2,3, ??? .求证:数列 ?bn ? 为等比数列,并求出其通项公式; (III)对于任意的 m ? 2 , m?N ,在数列 ?an ? 中是否存在连续的 2m 项构成等差数列?若存在,
*

写出这 2m 项,并证明这 2m 项构成等差数列;若不存在,请说明理由. (20) (本题满分 15 分) 如图,在四边形 ABCD 中, AB ? AD ? 4 , BC ? CD ? 7 ,点 E 为 线段 AD 上的一点.沿线段 EC 翻折到 PAC (点 D 与点 P 重合) ,使得 平面 PAC ? 平面 ABCE ,连接 PA , PB . (Ⅰ)证明: BD ? 平面 PAC ; (Ⅱ) ?BAD ? 若 的大小. (21)(本题满分 15 分) 已知椭圆的中心 E 在坐标原点,焦点在坐标轴上,且经过 A ? ?2, 0 ? , B ? 2, 0 ? , C ? 1, (Ⅰ)求椭圆 E 的标准方程; (Ⅱ) 若椭圆 E 的左、 右焦点分别为 F 、H , 过点 H 的直线 l : x ? my ? 1 ? 0 与椭圆 E 交于 M 、N 两点,则 ?FMN 的内切圆是否存在最大值?若存在,求出这个最大值及直线 l 的方程;若不存在, 请说明理由. (22) (本题满分 14 分) 函数 f ? x ? 是定义在 ? ?1,1? 上的偶函数,当 x ? ? ?1, 0? 时, f ? x ? ?

?
3

, 且点 E 为线段 AD 的中点, 求二面角 P ? AB ? C

? 3? ? 三点. ? 2?

1 a ? x ,其中 a ?R . 2x e e

(Ⅰ)求函数 f ? x ? 在 ? 0,1? 上的函数解析式,并求出 f ? x ? 的最大值; (Ⅱ)当 a ? 0 , x ? ? 0,1? 时,函数 g ? x ? ? ?

? x2 3? ? x ? 2 ? ? ?e 2 x ? f ? x ? ? ,若 g ? x ? 的图象恒在直 ? a ?? ? a

线 y ? e 的上方,求实数 a 的取值范围(其中 e 为自然对数的底数, e ? 2.71828 ??? ) .

请将本试卷所有题目答在答题卷相应的位置上
第 4 页 共 4 页


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