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江苏省启东中学2014届高三数学考前指导苏教版


江苏省启东中学高三数学考前辅导材料
第一篇《文理公共部分》 一.填空题: 《集合问题》 1.集合 A={ x |-1≤x≤2,x∈Z }, B ? {x | log2 ( x ? 1) ? 2} 则 A 错误!未找到引用源。= .

2. 已知集合 A ? x x2 ? x ≤ 0, x ? R ,设函数 f ( x) ? 2? x ? a ( x ? A )的值域为 B ,若 B ? A ,则实数 a 的 取值范围是 《复数问题》
1 ? 2i ,则 | z | ? . 3 ? 4i 2.已知 i 是虚数单位,复数 z 的共轭复数为 ? . z ,若 2z ? ? z ? 3 ? 4 i ,则 z 的虚部为 《统计问题》 1.某班有学生 48 人,现用系统抽样的方法,抽取一个容量为 4 的样本,已知座位号分别为 6,30,42 的 同学都在样本中,那么样本中还有一位同学的座位号应该是 .

?

?

. ]

1 已知 i 是虚数单位,复数 z ?

1 2.已知一组正数 x1,x2,x3,x4 的方差为 s 2 ? ( x12 ? x22 ? x32 ? x42 ? 16) ,则数据 x1,x2,x3,x4 的平均数 4 为 .

《常用逻辑用语问题》
2 1.若“ x ? 1 ”是 “ x ? a ”的必要不充分条件,则 a 的最大值为

.

2. 若 命 题 “ ?x ? R, x2 ? (a ?1) x ? 1 ? 0 ” 是 假 命 题 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 . 《概率问题》 1. 4 名学生 A,B,C,D 平均分乘两辆车,则“A,B 两人恰好在同一辆车”的 概率为_______. 2. 在[0,1]中随机地取两个数 a,b,则恰有 a ? b ? 0.5 的概率为 . 《流程图问题》 1.执行如右图所示的程序框图,若输出的 b 的值为 31,则图中判断 框内①处应填的整数为 .

2. 下面求 2 ? 5 ? 8 ? 11 ? ? ? 2012 的值的伪代码中,正整数 m 的值可以 为 . I←2 S←0 While I<m S←S+I I←I+3 End While Print S End

《双曲线,抛物线与椭圆问题》

x2 y 2 3 1.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的离心率 e ? ,A、B 分别是椭圆的左、右顶点,P 是椭圆上不同于 a b 2

1

A、B 的一点,直线 PA、PB 的倾斜角分别为 ? 、 ? ,则

cos(? ? ? ) 的值为__________. cos(? ? ? )

2 2.已知椭圆 C: x ? y 2 ? 1 ,点 M1, M 2 ,?, M5 为其长轴 AB 的 6 等分点,分别过这五点作斜率为 k (k ? 0) 的 2

一组平行线,交椭圆 C 于 P ,则直线 AP 这 10 条直线的斜率乘积为 1, P 2 , ?, P 10 1, AP 2 , ?, AP 10 《函数问题》 1. 函数 y ?
1 ? 2ln x 的单调减区间为 x





2. 已知函数 f ? x ? ? ? .

? x2 ? 2 x, x ? 0
2 ? x ? 2 x, x ? 0

,若 f (?a) ? f ? a ? ? 2 f (1) ,则实数 a 的取值范围是

bx ? c 1 2 (a,b,c ? R ,a ? 0)是奇函数,若 f(x)的最小值为 ? ,且 f(1) ? , 2 2 5 ax ? 1 则 b 的取值范围是 .

3. 已知函数 f ( x) ?

《切线问题》 1.已知 f(x)=错误!未找到引用源。 过 A(1,m)可作曲线的三条切线,则 m 的取值范围是 2.设曲线 y ? ? ax ? 1? e x 在点 A( x0,y1 ) 处的切线为 l1 ,曲线 y ?

.

1? x 在点 B( x0,y2 ) ex


处的切线为 l2 .若存在 x0 ? ?0, ? ,使得 l1 ? l2 ,则实数 a 的取值范围是 2

? 3? ? ?

《数列问题》 1.数列{an}满足错误!未找到引用源。=1,错误!未找到引用源。 记错误!未找到引用源。 若错误!未 找到引用源。对任意错误!未找到引用源。恒成立,则正整数 m 的最小值是 .
2 2 2. 设 S n 是各项均为非零实数的等差数列 ?an ? 的前 n 项和,且满足条件 a1 ? a10 ? 4 ,则 S 9 的最大值



.

《三角问题》
b c 1.在△ABC 中,设 AD 为 BC 边上的高,且 AD ? BC,b,c 分别表示角 B,C 所对的边长,则 ? 的取值范 c b

围是____________. 2. 在△ABC 中,b ? 2c,设角 A 的平分线长为 m,m ? kc,则 k 的取值范围是______. 《立体几何》 1.圆锥的侧面展开图是圆心角为 3π ,面积为 2 3π 的扇形,则圆锥的体积是______. 2.如图,在三棱锥 P ? ABC 中,∠CAB ? 90?,PA ? PB,D 为 AB 中点,PD ⊥平面 ABC,PD ? AB ? 2,AC ? 1.点 M 是棱 PB 上的一个动点,△MAC 周 长的最小值 .

P

M A D B
2

C

《向量问题》 1.设 O 是 ?ABC 外接圆的圆心, AO ? xAB ? yAC ,且 AB ? 6 , AC ? 8 ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ? ???? 4 x ? y ? 2 ,则 AB ? AC ?

. .

b ? 2, 若向量 c 满足 c ? (a ? b) ? a ? b ,则 c 的最大值是 2.设 a ? 1,

0 3.如图,直线 l1 , l2 交于点 A ,点 B 、 C 在直线 l1 , l2 上,已知 ?CAB=45 , AB ? 2 ,设 CD ? ? AB ,点

??? ?

??? ?

P 为直线 l2 上的一个动点,当 ? =
最小值为 3 错误!未找到引用源。.

时, 2 PB ? PD 的 l2 C P A B l1 D

??? ?

??? ?

《直线与圆问题》

1.已知直线 x ? y ? m ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 4 交于不同的两点 A , B ,O 是坐标原点,若圆周上存在一点 C, 使得 ?ABC 为等边三角形,则实数 m 的值为________. 2.如果直线错误!未找到引用源。和函数错误!未找到引用源。+1(错误!未找到引用源。的图像恒过一 定点,且该定点始终落在圆错误!未找到引用源。=错误!未找到引用源。的内部或圆上,那么错误!未 找到引用源。的取值范围是 . 《离心率问题》 1 . 已 知 双 曲 线 的 左 、 右 焦 点 分 别 为 F1 、 F2 , 且 双 曲 线 上 存 在 异 于 顶 点 的 一 点 P , 满 足

?PF1 F 2 ?PF F tan ? 3 tan 2 1 ,则该双曲线离心率为 2 2

.

2 y2 2.已知椭圆 C: x 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 , F2 ,点 P 为椭圆 C 上的任意一 a b

点,若以 F1 , F2 , P 三点为顶点的等腰三角形一定不可能为钝角三角形,则椭圆 C 的离心率的 取值范围是 《不等式问题等杂题》 .
2

y 1 xz -4yz 1.已知 xy-z=0,且 0< < ,则 2 2 的最大值为__________.错误!未找到引用源。 z 2 x z +16y2
2.已知实数 a、b、c 满足条件 0≤a+c-2b≤1,且 2 +2 ≤2
a b
1+c

2 -2 ,则 c 的取值范围是_________. 2

a

b

3

3.已知 A,B,C 是平面上任意三点,BC=a,CA=b,AB=c,则 y= 二.解答题 《三角函数与平面向量问题》 1.在 ?ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c, (1)判断 ?ABC 的形状; (2)若

b a+b c

c

+ 的最小值是



?
3

?C ?

?
2

,且

b sin 2C . ? a ? b sin A ? sin 2C

BA ? BC ? 2 ,求 BA? BC 的取值范围.

2.在 ?ABC 中,三个内角分别为 A, B, C ,且 cos( A ? (1)若 cosC ?

?
3

) ? 2 cos A .

? 4 6 , BC ? 3 ,求 AC . (2)若 B ? (0, ) ,且 cos( A ? B ) ? ,求 sin B . 3 5 3

《立体几何问题》 1.如图,在斜三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧面 A1ACC1 是边长为 2 的菱形,∠A1AC=60 .在面 ABC 中,AB=2 3,
o

BC=4,M 为 BC 的中点,过 A1,B1,M 三点的平面交 AC 于点 N.
平面 A1B1MN⊥平面 A1ACC1.

(1)求证:N 为 AC 中点; A1

(2)

B1

C1

A B 2.如图,六面体 ABCDE 中,面 DBC⊥面 ABC,AE⊥面 ABC. (1)求证:AE //面 DBC;(2)若 AB⊥BC,BD⊥CD,求证:AD⊥DC. E M

N C

D

《应用性问题》

A

C

B 1. 汽车从刹车开始到完全静止所用的时间叫做刹车时间;所经过的距离叫做刹车距离。某 型汽车的刹车距离 s(单位米)与时间 t(单位秒)的关系为 s ? 5t 3 ? k ? t 2 ? t ? 10 ,其中 k 是一 个与汽车的速度以及路面状况等情况有关的量. (1)当 k=8 时,且刹车时间少于 1 秒,求汽车刹车距离;
4

(2)要使汽车的刹车时间不小于 1 秒钟,且不超过 2 秒钟,求 k 的取值范围.

2.如图,摄影爱好者 S 在某公园 A 处,发现正前方 B 处有一立柱,测得立柱顶端 O 的仰角和立柱底部 B 的 π 俯角均为 .设 S 的眼睛距地面的距离按 3米. 6 (1) 求摄影者到立柱的水平距离和立柱的高度; (2) 立柱的顶端有一长 2 米的彩杆 MN 绕其中点 O 在 S 与立柱所在的平面内旋转.摄影者有一视角范围 为 π 的镜头,在彩杆转动的任意时刻,摄影者是否都可以将彩杆全部 3
M O N S

摄入画面?说明理由.

B

A

《解析几何问题》 1.如图, 过椭圆 L 的左顶点 A(?3, 0) 和下顶点 B 且斜率均为 k 的两直线 l1 , l2 分别交椭圆于 C , D , 又 l1 交 y 轴于 M , l2 交 x 轴于 N ,且 CD 与 MN 相交于点 P .当 k = 3 时, ? ABM 是直角三角形.(1)求椭圆 L 的标准方程;(2) ①证明:存在实数 ? ,使得 AM ? ? OP ; |OP|的取值范围. C A O 2.在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C 经过 A(0, 2) , O(0,0) , D(t ,0)(t ? 0) 三点, M 是线段 其中 AD 上的动点,l1 , l2 是过点 B(1, 0) 且互相垂直的两条直线, y 轴于点 E , l2 交圆 C 于 P 、 Q 两点. (1)若 t ? PQ ? 6 ,求直线 l2 的方程; (2)若 t 是使 AM ? 2BM 恒成立的最小正整数,求 ?EPQ 的面积的最小值. B P N x M D

???? ?

??? ?

y

②求

l1 交

5

《函数与导数问题》 1. 已知函数

f ( x) ? ex ? 2x , g ( x) ? x 2 ? m ( m ? R ) (Ⅰ)对于函数 y ? f ( x) 中的任意实数 x,在

y ? g ( x) 上 总 存 在 实 数

x0

, 使 得 g ( x0 ) ? f ( x) 成 立 , 求 实 数 (1)求函数

m 的取值范围.(Ⅱ)设函数

h(x) ? af (x) ? g(x) ,当 a 在区间 [1,2] 内变化时,
(2)若函数 y ? h ( x )

y ? h?( x) x ?[0, ln 2] 的取值范围;

x ?[0,3] 有零点,求实数 m 的最大值.

2. 巳知函数 f ( x) ? x2 ? 2ax ? 2a ln x , g ( x) ? ln 2 x ? 2a 2 ,其中 x ? 0, a ? R . (1)若 x ? 1 是函数 f ( x) 的极值点,求 a 的值; (2)若 f ( x) 在区间 (2, ??) 上单调递增,求 a 的取值范围; 1 (3)记 F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ,求证: F ( x) ? . 2

(x + ) ? ax ,其中 a ? R 且 a ? 0 .(1)讨论 f ( x) 的单调性; 3.已知函数 f ( x ) ? ln
(2) 若 f ( x ) ? ax 恒成立,求实数 a 范围; (3)若 f ( x) ? 0 存在两个异号实根 x1 , x2 ,求证: x1 ? x2 ? 0

1 a

4.已知函数 f ( x) ? ke , g ( x) ?
x

1 ln x ,其中 k ? 0 .若函数 f ( x), g ( x) 在它们的图象与坐标轴交点处的切 k

线互相平行. (1)求 k 的值; (2)是否存在直线 l ,使得 l 同时是函数 f ( x), g ( x) 的切线?说明理由 . (3)若直线 x ? a (a ? 0) 与 f ( x) 、 g ( x) 的图象分别交于 A 、 B 两点,直线 y ? b(b ? 0) 与 h( x) 的图象
6

有两个不同的交点 C 、 D .记以 A 、 B 、 C 、 D 为顶点的凸四边形面积为 S ,求证: S ? 2 .

《数列问题》
2 1.已知各项均为正数的数列 {an } 满足: a 2 )an an?1 ,其中 n ? N . n?1 ? tan ? (t ? 1
*

(1)若 a2-a1=8,a3=a,且数列{an}是唯一的.①求 a 的 值; ②设数列 {bn } 满足 bn ?

nan ,是否存在正整数 m,n(1<m<n),使得 b1 ,bm ,bn 成 4(2n ? 1)2n

等比数列?若存

在,求出所有的 m,n 的值;若不存在,请说明理由. (2)若 a2k+a2k-1+?+ak+1-(ak+ak-1+?+a1)=8,k ? N*,求 a2k+1+a2k+2+?+a3k 的最小值.

2.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a2=6,3Sn=(n+1)an+n(n+1). (1)求 a1,a3; (2)求数列{an}的通项公式; (3)已知数列{bn}的通项公式是 bn= an,cn=bn+1-bn,试判断数列{cn}是否是单调数列,并证明对任意 的正整数 n,都有 1<cn≤ 6- 2.

2. 现有 4 人去旅游,旅游地点有 A、B 两个地方可以选择。但 4 人都不知道去哪里玩,于是决定通过掷一 枚质地均匀的骰子决定自己去哪里玩,掷出能被 3 整除的数时去 A 地,掷出其他的则去 B 地; (1)求这 4 个人中恰好有 1 个人去 B 地的概率; (2)求这 4 个人中去 A 地的人数大于去 B 地的人数的概率;
7

(3) 用 X,Y 分别表示这 4 个人中去 A、 B 两地的人数, 记 ? ? X ? Y .求随机变量 ? 的分布列与数学期望 E? .

5.《极坐标与参数方程》 1.已知曲线 C1 的参数方程是 ?

? x ? cos ? ( ? 为参数) ,以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极 ? y ? 2sin ?

坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? ?2cos ? .(Ⅰ)写出 C1 的极坐标方程和 C2 的直角坐标方程; (Ⅱ)已 知点 M 1 、 M 2 的极坐标分别是 (1, ? ) 、 ( 2,

?
2

) ,直线 M1M 2 与曲线 C2 相交于 P 、 Q 两点,射线 OP 与曲线

C1 相交于点 A ,射线 OQ 与曲线 C1 相交于点 B ,求

1 1 ? 的值. 2 | OA | | OB |2

江苏省启东中学 2014 届高三数学考前辅导材料 第一篇《文理公共部分》答案 一.填空题: 《集合问题》 1. 错误!未找到引用源。 ; 2. 错误!未找到引用源。 《复数问题》 1.错误!未找到引用源。 ; 2. 4 《统计问题》 1. 18 ; 2. 2 《常用逻辑用语问题》 1.-1-; ; ; 2.错误!未找到引用源。 《概率问题》 3. 错误!未找到引用源。 ; 《流程图问题》 1. 4; 2. 2013,2014,2015.

2.错误!未找到引用源。

《双曲线,抛物线与椭圆问题》 1.

3 ; 5

2.错误!未找到引用源。

《函数问题》 1. (0,错误!未找到引用源。);2. 《切线问题》 1. (-3,-2) ;2. [ 1, 《数列问题》
8

??1,1? ;3.

(错误!未找到引用源。

3 ] 2

1. 10;

2. 2 41

《三角问题》 1. 错误!未找到引用源。 ;2. (0,错误!未找到引用源。 《立体几何》 1. 错误!未找到引用源。 ; 2. 错误!未找到引用源。

《向量问题》 1. 9; 2. 2 5 ; 《直线与圆问题》 1. ? 2 ; 2. [错误!未找到引用源。 3. 1 或-5

《离心率问题》 1. 2 2. [ 2 ? 1, 2 ] . 2 《不等式问题等杂题》 1 5- 17 1.错误!未找到引用源。 ;2.[- , ];3. 4 2 二.解答题 《三角函数与平面向量问题》 1.解: (1)由 1 2- 2

b sin 2C ? ,得 b sin A ? b sin 2C ? a sin 2C ? b sin 2C , a ? b sin A ? sin 2C 即 b sin A ? a sin 2C , 由正弦定理得 sin A sin B ? sin A sin 2C ,-----------------------------3 分

? sin A ? 0 ,? sin B ? sin 2C , sin ? A ? C ? ? sin 2C ,
因为在三角形中,所以 A ? C ? 2C 或 A ? C ? 2C ? ? ,

,?A ? C ? B 3 2 ? ?ABC 为等腰三角形.-----------------------------------------------------7 分
又? (2)取 AC 中点 D, 连 BD ,则 BA ? BC ? 2BD .? BA ? BC ? 2 ,? BD ? 1

?

?C ?

?

? A ? C,? BD ? AC ,? BA ? BC ?
? BA ? BC ?

1 sin C

1 1 1 ------10 分 ? cos B ? ? ?? cos 2C ? ? 2 sin C ? 2 sin C sin 2 C sin C
, 令 sin C ? x (

?

?
3

?C ?

?
2

1 3 ? x ? 1) , y ? 2 x ? x 2

∵ y? ? 2 ?

1 ? 3 ? 1 ? 0 ,∴ y ? 2 x ? 在 ? ,1? 2 ? 上是增函数, x x ? 2 ? ?
9

?

3 ? BA? BC ? 1 --------------------------------------------------------14 分 3

2.解:因为 cos( A ? 为

?
3

) ? 2 cos A ,得 cos A cos


?
3


? sin A sin


?
3

? 2 cos A ,即 sin A ? 3 cos A ,因
, 所 以

A ? ?0, ? ?



c

o A ?s 0



t

A a ?n 3

A?

?
3



--------------------------------------------------------------3 分 (1)因为 sin C ? cos C ? 1 , cosC ?
2 2

6 3 , C ? ?0, ? ? ,所以 sin C ? 3 3 3 6 1 3 3 2? 3 , ? ? ? ? 2 3 2 3 6

又 sin B ? sin( A ? C ) ? sin A cosC ? cos A sin C ? 由正弦定理知:

AC BC ? ,即 AC ? 1 ? 6 。------------------7 分 sin B sin A

(2)因为 B ? (0, 所以 sin( A ? B) ?

?
3

) ,所以 A ? B ?

?

? ?? ? B ? ? 0, ? , sin 2 ( A ? B) ? cos2 ( A ? B) ? 1 , 3 ? 3?

3 ,---------------------------------------10 分 5

所以 sin B ? sin ? A ? ? A ? B ?? ? sin A cos(A ? B) ? cos A sin( A ? B) ? 《立体几何问题》 1.解 (1)由题意,平面 ABC//平面 A1B1C1,

4 3 ?3 .—14 分。 10

平 面 A1B1M 与 平 面 ABC 交 于 直 线 MN , 与 平 面 A1B1C1 交 于 直 线 A1B1 , 所 以 MN//

A1B1.--------------------------------------------------------------------------------------3
分 因为 AB// A1B1,所以 MN//AB,所以 =

CN CM .-------------------------5 分 AN BM

因为 M 为 AB 的中点,所以 =1,所以 N 为 AC 中点.------------7 分 (2)因为四边形 A1ACC1 是边长为 2 的菱形,∠A1AC=60 . 定 理 得
o

CN AN

在三角形 A1AN 中,AN=1,AA1=2,由余弦

A1N =

3 ,



A1A = AN + A1N , 从 而 可 得 ∠ A1NA = 90o , 即 A1N ⊥
2 2 2 o

2

2

2

AC.-----------------------------------------------------9 分
在三角形 ABC 中, AB=2, AC=2 3, BC=4, 则 BC =AB +AC , 从而可得∠BAC=90 , 即 AB⊥AC. ---------10 分 又 MN//AB,则 AC⊥MN. 因为 MN∩A1N=N,MN ?面 A1B1MN,A1N?面 A1B1MN, 所以 AC⊥平面 A1B1MN.-------------------------------------------12 分 又 AC?平面 A1ACC1,所以平面 A1B1MN⊥平面 A1ACC1.-----------------------14 分 2.证明 (1)过点 D 作 DO⊥BC,O 为垂足. 因为面 DBC⊥面 ABC,又面 DBC∩面 ABC=BC,DO ?面 DBC, 所以 DO⊥面 ABC.----------------------------------------5 分

10

又 AE ⊥ 面 ABC , 则 AE//DO .

? 又 AE /

面 DBC , DO ? 面 DBC , 故 AE // 面

DBC.--------------------------------------------------------7 分
(2)由(1)知 DO⊥面 ABC,AB?面 ABC,所以 DO⊥AB.---------9 分 又 AB⊥BC,且 DO∩BC=O,DO,BC?平面 DBC,则 AB⊥面 DBC. 因为 DC ?面 DBC,所以 AB⊥DC.--------------------------12 分 又 BD⊥CD,AB∩DB=B,AB,DB?面 ABD,则 DC⊥面 ABD. 又 AD? 面 ABD,故可得 AD⊥DC.---------------------------14 分 《应用性问题》 1. 解:解: (1)当 k ? 8 时, s ? 5t 3 ? 8t 2 ? t ? 10 , 这时汽车的瞬时速度为 V= s ' ? 15t 2 ? 16t ? 1 ,-----------------------1 分 1 令 s ' ? 0 ,解得 t ? 1 (舍)或 t ? ,---------------------------------3 分 15 当t ?

22 1 时, s ? 10 , 15 675
22 米.-----------------------------------6 分 675

所以汽车的刹车距离是 10

(2)汽车的瞬时速度为 v ? s ' ,所以 v ? 15t 2 ? 2kt ? 1 汽车静止时 v ? 0 , 故问题转化为 15t 2 ? 2kt ? 1 ? 0 在 ?1, 2? 内有解----------------------7 分
1 1 15t 2 ? 1 1 ,当且仅当 15t ? , t ? 时取等号, ? 15t ? ,因为 15t+ 错误!未找到引用源。 t 15 t t 1 1 ? ?1, 2? ,? 记 f (t ) ? 15t ? , ---------------------8 分因为 t ? 15 t 1 1 f ' (t ) ? 15 ? 2 ,? t ? [1, 2] ,? f ' (t ) ? 15 ? 2 ? 0 ,? f (t ) 单调递增,----10 分 t t

又 2k ?

? 61? ? 61? ? 61? ? f (t ) ? ?16, ? , 2k ? ?16, ? ,即 k ? ?8, ? ,--------------------13 分 2? 2? ? ? ? 4?
故 k 的取值范围为 k ? ?8,

? 61? ---------------------------------------------------14 分 ? 4? ?

2. 解 (1) 作 SC 垂直 OB 于 C,则∠CSB=30°,∠ASB=60°. 又 SA = 3 , 故 在 Rt △ SAB 中 , 可 求 得 BA = 3 , 即 摄 影 者 到 立 柱 的 水 平 距 离 为 3 米.--------------------------------------------3 分 由 SC=3,∠CSO=30°,在 Rt△SCO 中,可求得 OC= 3.---------5 分 因为 BC=SA= 3,故 OB=2 3,即立柱高为 2 3米.---------------------7 分 (2) 方法一:连结 SM,SN,设 ON=a,OM=b.在△SON 和△SOM 中, (2 3) +1-b (2 3) +1-a 2 2 =- ,得 a +b =26.-----------------9 分 2·2 3·1 2·2 3·1
2 2 2 2

cos∠MSN=

a2+b2-22 11 22 11 1 = ≥ 2 = > .---------------------12 分 2ab ab a +b2 13 2
11

π 又∠MSN∈(0,π ), 则∠MSN< .------------------------------13 分 3 故摄影者可以将彩杆全部摄入画面.------------------------------14 分 11 方法二提示:设∠MOS=θ ,建立 cos∠MSN 关于 θ 的关系式,求出 cos∠MSN 最小值为 ,从而得到∠ 13

MSN< .
π 2 2 2 2 方法三提示:假设∠MSN= ,设 ON=a,OM=b,联立 a +b =26 和 a +b -ab=4 消元,判断方程是否 3 有解. 方法四提示:计算过 S 点作圆 O(1 为半径)的两切线夹角大于 60 .也可合理建系. 《解析几何问题》
o

π 3

x2 ? y 2 ? 1;???4 分 1. 解:(1) 9
0 , 3) k , (2) ①证明: 由 (1) 可设直线 l1 , l2 的方程分别为 y ? k ( x ? 3) 和 y ? kx -1 , 其中 k ≠0, 则M(

? y ? k ( x ? 3) 1 ? N ( , 0) 由 ? x 2 消去 x 得 (1+9k 2 ) x2 ? 54k 2 x+81k 2 ? 9 ? 0 以上方程必有一根 ?3 , 由韦达定理 2 k ? ? y ?1 ? 9
6k 3 ? 27 k 2 3 ? 27 k 2 可得另一根为 故点 C 的坐标为( , ), 2 2 1 + 9k 2 1+ 9k 1+ 9k
???6 分

? y ? kx - 1 18k ? 由 ? x2 消去 x 得 (1+ 9k 2 ) x2 ?18k 2 x ? 0 ,解得一根为 , 2 1 + 9k 2 ? ? y ?1 ?9
故点 D 的坐标为(

18k 9k 2 ? 1 , ),????????????8 分 1 + 9 k 2 1+ 9 k 2

由 l1 与 l2 平行得 MP ? tMN , CP ? tCD ,然后,进行坐标运算,即可得出点

????

???? ? ??? ?

??? ?

3k ? ? 3 P 的坐标为 ? , ? ,??? ??? ??? ??????10 分 ? 1 ? 3k 1 ? 3k ?
而 AM ? ? 3,3k ? , OP ? ? ∴存在实数 ? = ②由 OP ? ?

???? ?

???? ? ? ??? ? ? 3 1 ??? 3k ? AM ? OP ,∴ , ? 1 ? 3k ? 1 ? 3k 1 ? 3k ?
??? ??????12 分

???? ? ??? ? 1 ,使得 AM ? ? OP 3k ? 1

??? ?

3k ? ? 3 , ? 法一:由消参得点 P 的轨迹方程为 x ? 3 y ? 3 ? 0 ,所以 | OP | 的最小值 ? 1 ? 3k 1 ? 3k ?



3 10 ;??????16 分 10
12

1 12 1 3 1? k 2 法二:得 | OP | ? ,令 t ? 1 ? 3k ,则 | OP | = 10( ) ? 2( ) ? 1 其中 ? 0,1 ∴ | OP | 的最小 t t t |1 ? 3k |
值为

3 10 . 10

--------16 分

2.解: (1)由题意可知,圆 C 的直径为 AD,所以,圆 C 方程为: ( x ? 3)2 ? ( y ?1)2 ? 10 . 设 l 2 方程为: y ? k ( x ? 1) ,则 (2k ? 1) ? 32 ? 10 ,解得 2
2

? 0 时,直线 l1 与 y 轴无交点,不合,舍去. 4 所以, k ? 此时直线 l 2 的方程为 4 x ? 3 y ? 4 ? 0 .-------------6 分 3 x y (2)设 M ( x, y) ,由点 M 在线段 AD 上,得 ? ? 1,即 2 x ? ty ? 2t ? 0 . t 2
当k

1? k

k1 ? 0 , k2 ?

4 , 3

20 . 9 4 2 2 2 20 依题意知,线段 AD 与圆 ( x ? ) ? ( y ? ) ? 至多有一个公共点, 3 3 9 8 8 | ? t| 2 5 16 ? 10 3 16 ? 10 3 故 3 3 ? ,解得 t ? 或t ? . 3 11 11 4 ? t2
2 2 由 AM≤2BM,得 ( x ? ) ? ( y ? ) ?

4 3

2 3

因 为 t 是 使 AM≤2BM 恒 成 立 的 最 小 正 整 数 , 所 以 , t=4 . 所 以 , 圆 C 方 程 为 : ---------------10 分 ( x ? 2) ? ( y ?1)2 ? 5 ①当直线 l 2 : x ? 1 时,直线 l1 的方程为 y ? 0 ,此时, S? EPQ ? 2 ;---------12 分
2

②当直线 l 2 的斜率存在时,设 l 2 的方程为: y ? k ( x ? 1) ( k 则 l1 的方程为: y 又
PQ ? 2 5 ? ( | k ? 1| 1? k
2

?0) ,
1? 1 . k2


1 1 ? ? ( x ? 1) ,点 E (0, ) .所以, BE ? k k
C 到


)2 ? 2



l2







|k ? 1? k2

1

, .

|

4k 2 ? 2k ? 4 1? k2

S? EPQ ?

1 1 1 4k 2 ? 2k ? 4 4k 2 ? 2k ? 4 4 2 15 BE ? PQ ? 1? 2 ? 2 ? ? ? ?4 ? 2 2 2 k 1? k k2 k2 k 2



因 为

15 ?2 所 以 , 2

( S? EPQ )min ?

15 .----------------------------------------------------------16 分 2

《函数与导数问题》 1. 解: (Ⅰ)原命题 ? [ g ( x)]min ? [ f ( x )]min ,先求函数 y ? f ( x) 的最小值 f ?( x) ? e x ? 2 ? 0 ,得 x ? ln 2 .当 x ? ln 2 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? ln 2 时, f ?( x) ? 0 ,故当 x ? ln 2 时, y ? f ( x) 取得极(最) 小值,其最小值为 2 ? 2 ln 2 ;而函数 y ? g ( x) 的最小值为 m,故当 m ? 2 ? 2 ln 2 时,结论成立 ---------------------------------5 分 (Ⅱ) (1) :由 h( x) ? a(e
x

? 2 x) ? x 2 ? m ,可得 h?( x) ? a (e x ? 2) ? 2 x ,把 y ? h?( x) 这个函数看成

是关于 a 的一次函数, (1)当 x ?[0, ln 2] 时, e x ? 2 ? 0 ,因为 a ?[1,2] ,故 h?( x) 的值在区间

[2(e x ? 2) ? 2x, (e x ? 2) ? 2x] 上变化,令 M ( x) ? 2(e x ? 2) ? 2 x , x ?[0, ln 2] ,则
13

M ?( x) ? 2e x ? 2 ? 0 , M ( x) 在 x ?[0, ln 2] 为增函数,故 h?( x) 在 x ?[0, ln 2] 最小值为 M (0) ? ?2 ,
x 又令 N ( x) ? (e ? 2) ? 2 x ,同样可求得 N ( x) 在 x ?[0, ln 2] 的最大值 N (0) ? ?1 ,所以函数

y ? h?( x) 在 x ?[0, ln 2] 的值域为[-2,-1]-------------------------8 分
x (Ⅱ) (2)当 x ?[0, ln 2] 时, N ( x) ? (e ? 2) ? 2 x 的最大值 N (0) ? ?1 ,故对任意 a ?[1,2] , h( x) 在

x ?[0, ln 2] 均为单调递减函数,所以函数 h( x) max ? h(0) ? a ? m
当 x ?[ln 2,3] 时,因为 ex ? 2 ? 0 , a ?[1,2] ,故 h?( x) 的值在区间 [(e x ? 2) ? 2 x,2(e x ? 2) ? 2 x] 上变化, 此时,对于函数 M ( x) ,存在 x0 ? [ln 2,3] , M ( x) 在 x ? [ln 2, x0 ] 单调递减,在 x ? [ x0 ,3] 单调递增,所
3 以 , h( x) 在 x ?[ln 2,3] 的 最 大 值 为 h(3) ? a (e ? 6) ? 9 ? m , 因 为

a ?[1,2]



h(3) ? h(0) ? a(e3 ? 7) ? 9 ? 0 ,所以 h(3) ? h(0) ,故 h( x) 的最大值是 h(3) ? a(e3 ? 6) ? 9 ? m ,又因为

a ?[1,2] ,故当函数 y ? h( x ) 有零点时,实数 m 的最大值是 m ? 2(e3 ? 6) ? 9 ? 2e3 ? 21.-------16 分
2.解:(1)由 f ( x) ? x 2 ? 2ax ? 2a ln x ,得 f ?( x ) ? 2 x ? 2a ?

2a 2 x 2 ? 2ax ? 2a ? ( x ? 0) , x x
a? 1 2,

∵ x ? 1 是函数 f ( x) 的极值点,

? ∴ f (1) ? 2 ? 2a ? 2a ? 0 ,解得
a? 1 2 .-------------------------5 分

经检验 x ? 1 为函数 f ( x) 的极值点,所以 (2)∵ f ( x) 在区间 (2, ??) 上单调递增,

f ?( x ) ?


2 x 2 ? 2ax ? 2a ?0 x 在区间 (2, ??) 上恒成立,

a?


x2 x ? 1 对区间 (2, ??) 恒成立,

2 x( x ? 1) ? x 2 x 2 ? 2 x x2 ? M ( x ) ? ? M ( x) ? 2 ( x ? 1) ( x ? 1)2 x ? 1 令 ,则
? 当 x ? (2, ??) 时, M ( x ) ? 0 ,有

M ( x) ?

x2 4 ? M (2) ? x ?1 3,

4 ( ??, ] 3 .--------------------------------------------------10 分 ∴ a 的取值范围为
(3) 解法 1: F ( x) ? x ? 2ax ? 2a ln x ? ln x ? 2a
2 2
2

2

x 2 ? ln 2 x ? 2[a ? ( x ? ln x )a ? ] 2 ,
14

P(a ) ? a 2 ? ( x ? ln x )a ?


x 2 ? ln 2 x 2 ,

P( a ) ? ( a ?


x ? ln x 2 x ? ln x 2 x 2 ? ln 2 x ) ?( ) ? 2 2 2 x ? ln x 2 ( x ? ln x )2 ( x ? ln x ) 2 ) ? ? 2 4 4
Q?( x ) ? 1 ? 1 x ?1 ? x x ,

? (a ?

令 Q( x) ? x ? ln x ,则

显然 Q ( x ) 在 (0,1] 上单调递减,在 [1, ??) 上单调递增,

Q( x)min ? Q(1) ? 1 ,则 则
F ( x) ? 2 ?


P(a ) ?

1 4,

1 1 ? 4 2 .--------------------------------------------------------16 分
2 2 2

解法 2: F ( x) ? f ( x) ? g ( x) ? x ? 2ax ? 2a ln x ? ln x ? 2a

? ( x ? a)2 ? (ln x ? a)2
则 F ( x ) 表示 y ? ln x 上一点 ( x,ln x) 与直线

y ? x 上一点 ( a , a ) 距离的平方.

由 y ? ln x 得

y? ?

1 1 y? ? ?1 x ?1, x0 x ,让 ,解得 0

∴直线 y ? x ? 1 与 y ? ln x 的图象相切于点 (1,0) ,

(另解:令 N ( x) ? x ? 1 ? ln x ,则

N ?( x ) ? 1 ?

1 x,

可得 y ? N ( x) 在 (0,1] 上单调递减,在 [1, ??) 上单调递增, 故

N ( x)min ? N (1) ? 0 ,则 x ? x ? 1 ? ln x ,

直线 y ? x ? 1 与 y ? ln x 的图象相切于点 (1,0) ) ,

2 y ? x 的距离为 2 , 点(1,0)到直线 F ( x) ? ( x ? a )2 ? (ln x ? a )2 ? (


2 2 1 ) ? 2 2
15

1 ( ? ,?? ) 3. 解:(1) f ( x ) 错误!未找到引用源。的定义域为 a .其导数

f ' ( x) =

1 x+ 1 a

- a= -

a2 x ax + 1

①当错误!未找到引用源。时, f ( x ) 在错误!未找到引用源。上增;②当错误!未找到引用源。时, 错误!

(未找到引用源。在

1 , 0) a 上增;在 (0,+∞)上减. --------------------------------6 分

(2)当错误!未找到引用源。时, 则 x 取适当的数能使 f ( x) ? ax ,比如取 x ? e ?

1 , a

能使 f (e ? ) ? 1 ? a (e ? ) ? 2 ? ae ? 0 ? ae ? 1 ? a (e ? ) , 所以错误!未找到引用源。不合题意 当错误!未找到引用源。时,令 h( x) ? 2ax ? ln( x ? ) , 问题化为求 h( x) ? 0 恒成立时 a 的取值范围.

1 a

1 a

1 a

1 a

1 ) 1 1 1 ' 2 a ) 上 , h' ( x) ? 0 错 误 ! 未 找 到 引 用 源 。 ; 在 由 于 h (x )? 2 a? ? ? 在 (- , 1 1 a 2a x? x? a a 1 1 1 ( ? ,?? ) 上, h' ( x) ? 0 错误!未找到引用源。. ? h( x) 的最小值为 h( ? ) ,所以只需 h( ? ) ? 0 即 2a 2a 2a e 1 1 1 2a ? (? ) ? ln(? ? ) ? 0 ,? a ? ------------------------10 分 2 2a 2a a 1 (3)由于 f ( x ) ? 0 存在两个异号根 x1 , x2 ,不妨设 x1 ? 0 ,因为 ? ? x1 ? 0 ,所以 a ? 0 a 1 1 1 构造函数: g ( x) ? f (? x) ? f ( x) ( ? ? x ? 0 )? g ( x) ? ln( ? x) ? ln( x ? ) ? 2ax a a a 2a (x ?
g ' ( x) ?
错误!未找到引用源。

1 x? 1 a

?

1 x? 1 a

? 2a ?

2ax 2 ?0 1 2 x ? 2 a

错误! 未找到引用源。 所以错误! 未找到引用源。 在 (?

1 , 0) 上减.错误! 未找到引用源。 ,则 g ( x1 ) ? g (0) ? 0 a

错误! 未找到引用源。 ,于是错误! 未找到引用源。 ,又 f ( x1 ) ? 0 , f (- x1 ) > 0 = f ( x2 ) ,由 f ( x ) 在 (0, ??) 上为减函数可知错误!未找到引用源。.即错误!未找到引用源。 -------------------------------16 分 4.解: (1) f ( x), g ( x) 与坐标轴的交点分别为 (0, k ), (1, 0) ,

1 1 ln x 得 f ?( x) ? ke x , g ?( x) ? , k kx 1 由题意知 f ?(0) ? g ?(1) ,即 k ? ,又 k ? 0 ,所以 k ? 1 . k
由 f ( x) ? ke , g ( x) ?
x

??2 分

(2)假设存在直线 l 同时是函数 f ( x), g ( x) 的切线,

16

设 l 与 f ( x), g ( x) 分别相切于点 M (m, em ), N (n,ln n) ( n ? 0 ) , 则 l : y ? em ? em ( x ? m) 或表示为 y ? ln n ?

1 ( x ? n) , n

? m 1 ?e ? 则? ,要说明 l 是否存在,只需说明上述方程组是否有解.???4 分 n ?em (1 ? m) ? ln n ? 1 ?
由e ?
m

1 ?m 得 n ? e , 代 入 em (1 ? m) ? ln n ?1 得 em (1 ? m) ? ?m ?1 , 即 em (1? m )? m ? 1 ? 0 ,令 n

m h( m) ? e (1 ? m )? m? , 1

因为 h(1) ? 2 ? 0, h(2) ? ?e2 ? 3 ? 0 , 所以方程 em (1 ? m) ? m ? 1 ? 0 有解, 则方程组有解, 故存在直线 l , 使得 l 同时是函数 f ( x), g ( x) 的切线.
x

??????8 分
x0

x (3) 设 A( x0 , e 0 ) ,B( x0 ,ln x0 ) , 则 AB ? e 0 ? ln x0 , 设 F( x) ? e

? n lx
1 2

0

?) e , ∴ G( x) ? F( x ?

x0

?

1 , x0

∴ G?( x) ? e 0 ?
x

1 ? 0, 2 x0

即 G ( x) 在 (0, ??) 上单调递增,又 G ( ) ?

e ? 2 ? 0, G (1) ? e ? 1 ? 0 ,故

1 1 1 G ( x) 在 (0, ??) 上有唯一零点,设为 t ? ( ,1) ,则 et ? ? 0 ,因此 et ? , t ? ? ln t ,当 x ? (0,t ) 时, 2 t t

F ?( x) ? G( x) ? G(t ) ? 0,∴ F ( x) 在 (0, t ) 上单调递减; 当 x ? (t , ??) 时, F ?( x) ? G( x) ? G(t ) ? 0 ,
∴ F ( x) 在 (t , ??) 上单调递增,因此 F ( x) ? F (t ) ? e ? ln t ? ? t ,
t

1 t

由于 t ? ( ,1) ,∴ F ( x) ? ? t ? 2 ,则 AB ? e 0 ? ln x0 ? 2 .??????14 分
x

1 2
x

1 t

设 C( x1 , e 1 ), D( x2 ,ln x2 ) ,则 e 1 ? ln x2 ,令 e 1 ? ln x2 ? u ,则 x1 ? ln u, x2 ? eu ,
x x
u ∴ CD ? x2 ? x1 ? e ? ln u ? F (u ) ? 2 ,故 S ?

1 1 AB ? CD ? ? 2 ? 2 ? 2 .----16 分 2 2

《数列问题》
2 1.解:(1)∵ a 2 )an an?1 n?1 ? tan ? (t ? 1

∴ (a n?1 ? tan )(an?1 ? an ) ? 0

又? an ? 0

∴ a n?1 ? tan 且 t ? 0 ∴数列 {an } 是以 t 为公比的等比数列

①要使满足条件的数列 {an} 是唯一的,即关 于 a1 和 t 的方程组 ?
8t 2 ? at ? a ? 0 有 唯 一 解 , 由 于

?a1t ? a1 ? 8
2 ?a1t ? a

有唯一正数解即方 程

a>0, 所 以 ? ? a 2 ? 32a ? 0

∴ a ? 32 , 此 时

t ? 2 --------------------------------5 分
17

②由①知 an ? 2n? 2 ,所以 bn ?

m 2 1 n nan n ) ? ? ,若 b1 ,bm ,bn 成等比数列,则 ( , ? n 2m ? 1 3 2n ? 1 4(2n ? 1)2 2n ? 1

可得

3 ? 2m 2 ? 4m ? 1 6 6 ? ? m ?1? 所以 ? 2m2 ? 4m ? 1 ? 0 , 解得:1 ? 又 m ? N* , 且 1<m<n, 所以 m=2, 2 n 2 2 m

此时 n=12. 故当且仅当 m=2,n=12.使得 b1 ,bm ,bn 成等比数列.--------------------------10 分 (2)由 a2k+a2k-1+?+ak+1-(ak+ak-1+?+a1)=8 得

a1 (t k ? 1)(t k ?1 ? t k ?2 ? ? ? 1) ? 8



t ?1

a2k



1



a2k



2



?



8t 2 k 1 1 ? 8(t k ? 1 ? k ? 2) ? 32 当且仅当 t k ? 1 ? k , 即 t ? k 2 ,a1 ? 8(k 2 ? 1) tk ?1 t ?1 t ?1 时,a2k+1+a2k+2+?+a3k 取得最小值 32.----------16 分 2. 解 ( 1 ) 令 n = 1 得 3a1 = 2a1 + 2 , 解 得 a1 = 2 ; 令 n = 3 得 3(8 + a3) = 4a2 + 12 , 解 得 a3 = 12.--------------------------3 分 (2)由已知 3Sn=(n+1)an+n(n+1), ① 3Sn+1=(n+2)an+1+(n+1)(n+2), ② ②-①得 3an+1=(n+2)an+1-(n+1)an+2(n+1), 即(n-1)an+1-(n+1)an+2(n+1)=0, ③ 所以 nan+2-(n+2)an+1+2(n+2)=0, ④ ④-③得 nan+2-(2n+1)an+1+(n+1)an+2=0, 即 n(an+2-an+1)-(n+1)(an+1-an)+2=0, ⑤ 从而(n+1)(an+3-an+2)-(n+2)(an+2-an+1)+2=0, ⑥ ⑥-⑤得(n+1)(an+3-an+2)-2(n+1)(an+2-an+1)+(n+1)(an+1-an)=0, 即(an+3-an+2)-2(an+2-an+1)+(an+1-an)=0, 即(an+3-an+2)-(an+2-an+1)=(an+2-an+1)-(an+1-an), ⑦ 所以数列{an+1-an}是等差数列,首项为 a2-a1=4,公差为(a3-a2)-(a2-a1)=2, 所以 an+1-an=4+2(n-1)=2n+2,即 an-an-1=2n,an-1-an-2=2(n-1),?a3-a2=6,a2-a1=4,a1 = 2 , 相 加 得 an = 2 + 4 + 6 + ? + 2(n - 1) + 2n = n(n + 1).-----------------------------------------------10 分

a3k= a1t 2 k (t k ?1 ? t k ? 2 ? ? ? 1) ?

( 3 ) 数 列 {cn} 是 单 调 递减 数 列 , 证 明 如 下 : 因为 cn = bn+1 - bn = (n+1)(n+2) - n(n+1) = 2 n+1 , n+2+ n 所以 cn+1 =

n+2 ?n + 1 + n+3+ n+1 n+2+ n n+3+ n+1 2n+3 (n+1)(n+3)>n+2+ n(n+2); ? (n+1)(n+3)- n(n+2)>1? (n+1)(n+3)+ n(n+2)
,要证明 cn+1 < cn ,等价于证明 <

2 n+2

n+1

>1; 2 ?2n + 3 > (n+1)(n+3) + n(n+2) , 由 (n+1)(n+3) = (n+2) -1 < n + 2 , n(n+2) = 2 (n+1) -1<n+1, 所以 2n+3> (n+1)(n+3)+ n(n+2), 于是 cn+1<cn, 所以 cn≤c1= 6- 2. 2 n+ 1 2 n+1 下面证明 cn>1? >1? ? 2 n+1> n+2+ n?2(n+1)>2 n(n+2)? n n+2+ n n+2+ n +1> (n+1) -1= n(n+2).-------------------16 分
2

18



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