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3.1.1《方程的根与函数的零点》课件(新人教A版必修1)


3.1.1方程的根与函数的零点
等价关系 判断函数零点或相 应方程的根的存在性 例题分析 课堂练习 小结 布置作业

思考:一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的根与二次函数 y=ax2+bx+c(a≠0)的图象有什么关系?

方程 函数 函 数 的 图 象
方程的实数根 函数的图象 与x轴的交点

x2-2x-3=0 x2-2x+1=0 x2-2x+3=0 y= x2-2x-3 y= x2-2x+1 y= x2-2x+3 .
-1

y
2

.
-1 -2

.y
2

. . . 1 .
2

y

.

1

0

1

2

.

.
x
-1

5

3

x
-1

1

0

-3 -4

3 2 1

.

4

.
1

.
2

.

. x1=x2=1 (1,0)

0

3

x

x1=-1,x2=3 (-1,0)、(3,0)

无实数根 无交点

判别式△ = b2-4ac

△>0

△=0

△<0 没有实数根
y

方程ax2 +bx+c=0 两个不相等 有两个相等的 的实数根x1 、x2 实数根x1 = x2 (a≠0)的根
y

函数y= ax2 +bx +c(a≠0)的图象

y
x1 0 x2 x 0 x1

x

0

x

函数的图象 与 x 轴的交点

(x1,0) , (x2,0)

(x1,0)

没有交点

函数零点的定义:

对于函数y=f(x),我们把使f(x)=0的实数x叫做函数 y=f(x)的零点。
等价关系 方程f(x)=0有实数根 函数y=f(x)的图象与x轴有交点 函数y=f(x)有零点

观察二次函数f(x)=x2-2x-3的图象:

.
-2 -1

y

2

.
-1 -2

.

1

0

1

2

.

[-2,1] f(-2)>0 f(1)<0 f(-2)· f(1)<0 (-2,1)x=-1 x2-2x-3=0的一个根
x

3 4

-3 -4

.

[2,4] f(2)<0 f(4)>0 f(2)· f(4)<0 (2,4)x=3 x2-2x-3=0的另一个根

观察对数函数f(x)=lgx的图象:
y
1

[0.5 , 1.5] f(0.5)<0 f(1.5)>0 f(0.5)· f(1.5)<0 (0.5 , 1.5) x=1 lgx=0的一个根.

.
0
1

.

.

2

x

y

.
a

0

.

b

x

根存在定理 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是连续不断的 一条曲线,并且有f(a)· f(b)<0,那么,函数y=f(x)在区 间(a,b) 内有零点,即存c∈(a,b),使得f(c)=0,这个c也 就是方程f(x)=0的根。
注:只要满足上述两个条件,就能判断函数在指定 区间内存在零点。
y y

.
a
0

.
b
x

.
a 0

.
b
x

例题1 求函数f(x)=lnx+2x-6的零点个数。 解:用计算器或计算机作出x、f(x)的对应值表(表3-1) 和图象(例1)
x
1 2 3 4 5 6 7 8 9

f(x) -4 -1.3069 1.0986 3.3863 5.6094 7.7918 9.9459 12.0794 14.1972

由表3-1和图3.1—3可知 y f(2)<0,f(3)>0, 即f(2)· f(3)<0,14 12 说明这个函数在区间(2,3)内 10 8 有零点。 6 4 由于函数f(x)在定义域 2 (0,+∞)内是增函数,所以 0 它仅有一个零点。 -2
-4 -6

. .3 ..
4

.

.

.

.
5 6 7 8 9 10

1

2

x

.

练习:
1.利用函数图象判断下列方程有没有根,有几个根: (1)-x2+3x+5=0; (2)2x(x-2)=-3; (3) x2 =4x-4;

(4)5 x2 +2x=3 x2 +5.
2.利用函数的图象,指出下列函数零点所在的大致区间: (1)f(x)= -x3-3x+5; (2)f(x)=2x ·ln(x-2)-3; (3)f(x)=ex-1+4x-4;

(4)f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x.

(1) -x2+3x+5=0 1(1)解:令f(x)=-x2+3x+5, 作出函数f(x)的图象,如下: 它与x轴有两个交点,所以 方程-x2+3x+5=0有两个不 相等的实数根。
y
8 6

4
2

.
.
1 2

-2 -1

0

.
3 4

x

.

.

(2) 2x(x-2)=-3 1(2)解:2x(x-2)=-3可化为 2x2-4x+3=0,令f(x)= 2x2-4x +3 , 作出函数f(x)的图象,如下: 它与x轴没有交点,所以方程 2x(x-2)=-3无实数根。
-1

y
5

.4
3 2 1

. . .
2 3

.

0

1

x

(3) x2 =4x-4 1(3)解:x2 =4x-4可化为x2-4x +4=0,令f(x)= x2-4x+4,作出 函数f(x)的图象,如下: 它与x轴只有一个交点,所以 方程x2 =4x-4有两个相等的实 数根。
-1

y

.
.
3 2 1

6 5 4

.
.

0

1

2

.

3

4

x

(4) 5 x2 +2x=3 x2 +5 1(4)解:5x2 +2x=3x2 +5可化为 2x2 +2x-5=0,令f(x)=2x2+ 2x-5 , 作出函数f(x)的图象, 如下: 它与x轴有两个交点,所以 方程5x2 +2x=3x2 +5有两个不 相等的实数根。
.
-4 -3 -2 -1

y
4 3 2 1

.
-1

.

0

1

.2

3

x

-2 -3 -4 -5 -6

.

2(1) f(x)= -x3-3x+5 2(1)解:作出图象练习2(1),如 下:因为f(1)=1>0,f(1.5)=-2.875<0,
.
y

所以f(x)= -x3-3x+5在区间(1, 1.5) 上有零点。又因为f(x)是(-∞,+∞) 上的减函数,所以在区间(1, 1.5)上有 且只有一个零点。

.5 4 .
3 2 1

.
1 2 3

0
-1

x

.

思考:能否不画图像,就判断出以上 一元二次方程有没有根,有几个根?
(1) -x2+3x+5=0

解:方程即为x2-3x-5=0,因为判别式△ >0,所以方程有两个不相等的实数根
(2) 2x(x-2)=-3

解:2x(x-2)=-3可化为2x2-4x+3=0, 因为判别式△<0,所以方程没有实数根

练习:第(3)、第(4)题

2(2) f(x)=2x ·ln(x-2)-3 2(2)解:作出函数的图象练习2(2)如 下: 因为f(3)=-3<0,f(4)≈2.545>0,所以f(x)= 2x ·ln(x-2)-3在区间(3,4)上有零点。又因为 f(x) =2x ·ln(x-2)-3是(2,+∞)上的增函数, 所以在区间(3,4)上有且只有一个零点。
y
2 1 0
-1

. .
2 3 4 5

1

x

-2 -3

. .

2(3) f(x)=ex-1+4x-4 2(3)解:作出函数的图象练习2(3),y 2 如下: 因为f(0)≈-3.63<0,f(1) =1>0,所以f(x)= ex-1+4x-4 在区间(0,1)上有零点。又因 为f(x) = ex-1+4x-4是(-∞ , +∞)上的增函数,所以在 区间(0,1)上有且只有一个零 点。
1
-2 -1

.
.
1 2 3 4

0
-1 -2 -3

x

.

.
-4

2(4) f(x)=3(x+2)(x-3)(x+4)+x 2(4)解:作出函数的图象练习2(4)如 下: 因为f(-4)=-4<0,f(- 3)=15>0, f(-2)=-2<0,f(2)=-70<0, f(3)=3>0, 所以f(x)= 3(x+2)(x - 3)(x+4)+x 在区间 (-4,-3 )、 (-3,-2,)、 (2,3 )上各有 y 一个零点。 40
-5

. -2 20 -4 .-3 . -1 0
-20 -40

. .
3

1

2

4

5

x

.

.

.
-60 . . .

-80

小结与思考
函数零点的定义 等价关系 函数的零点或相应方程的 根的存在性以及个数的判断

布置作业:
P92 习题3.1 第2题


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