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2012牙林一中数学四模试题理


牙克石林业一中 2011---2012 学年高三年级第四次模拟考试

数学试卷( 数学试卷(理)
命题时间:2012.2 命题人:陈海忠

一.选择题(12 × 5 分=60 分) 选择题(
1.已知 z 是纯虚数, A. 2 i

z+2 是实数(其中 i 为虚数单位) ,则 z = 1? i
B. i
2

C. ? i

D. ?2 i

2.已知 p: x + 1 ≤ 4 ,q: x < 5 x ? 6 ,则 p 是 q 成立的 A.必要不充分条件 C.充要条件 B.充分不必要条件 D.既不充分又不必要条件

3.已知向量 p = ( 2, ?3) , q = ( x, 6 ) ,且 p // q ,则 p + q 的值为 A. 5 4.函数 y = B. 13 C. 5 D. 13

x 在区间 (1, +∞ ) 上 ln x
B.是增函数 C.有极小值 D.有极大值

A.是减函数

?x ? y + 2 ≤ 0 y ? 5.设变量 x, y 满足约束条件 ? x + y ? 7 ≤ 0 ,则 的最大值为( x ?x ≥ 1 ?
A.



9 5

B. 3

C. 4

D. 6

6. 已知随机变量 x 服从正态分布 N ( ? , σ 2 ) ,且 P ( ? ? 2σ < x ≤ ? + 2σ ) =0.9544,

P( ? ? σ < x ≤ ? + σ ) =0.6826,若 ? =4, σ =1,则 P(5<x<6)=(
A.0.1358 B.0.1359 C.0.2716 D.0.2718

)

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7.已知直线 l 、 m ,平面 α、β ,则下列命题中假命题是 A.若 α // β , l ? α ,则 l // β C.若 l // α , m ? α ,则 l // m D.若 α ⊥ β , α ∩ β = l , m ? α , m ⊥ l ,则 m ⊥ β 8.阅读右图的程序框图. 若输入 n = 5 , 则输出 k 的值为. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 B.若 α // β , l ⊥ α ,则 l ⊥ β 开始 输入 n

9. 若函数 y = 2 sin( 2 x + ? ) 的图象过点 ( 对称轴方程可能是 A. x =

π
6

k =0 n = 3n + 1

,1) ,则它的一条 5π 12
k=k+1 否

π
12

B. x =

π
6

C. x =

π
3

D. x =

10. 设 f (x ) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 当 x < 0 时 , f ′(x) > 0 , 且

n > 150?
是 输出 k ,n

1 f (? ) = 0 ,则不等式 f (x) < 0的解集为( ) 2 1 1 A. {x x < ? } B. {x 0 < x < } 2 2
C. {x x < ?

结束

1 1 或0 < x < } 2 2

D. ? x | ?

? ?

1 1 ≤ x ≤ 0或 x ≥ 2 2

}


11. 等差数列 {an } 中,a10 < 0 ,a11 > 0 ,且 | a10 |<| a11 | , Sn 为其前 n 项之和,则( A. S1 , S 2 ,L , S10 都小于零, S11 , S12 ,L 都大于零 B. S1 , S 2 ,L , S5 都小于零, S6 , S7 ,L 都大于零 C. S1 , S 2 ,L , S19 都小于零, S 20 , S 21 ,L 都大于零 D. S1 , S 2 ,L , S 20 都小于零, S 21 , S 22 ,L 都大于零

12. 已 知 F1 、 F2 是 椭 圆 C :
→ →

x2 y 2 + =1 的 左 右 焦 点 , P 是 C 上 一 点 , a2 b2


3 | PF1 | ? | PF2 |= 4b 2 ,则 C 的离心率的取值范围是(

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A. (0, ]

1 2

B. (0,

3 ] 2

C. [

3 ,1) 2

D. [ ,1)

1 2

二.填空题(4 × 5 分=20 分) 填空题(
13.在二项式 (2 x ? ) 的展开式中,若第 5 项是常数项,则 n = _______. (用数字作答)
n

1 x

? x 2 x ∈ [0,1] e ? 14. 设 f ( x ) = ? 1 ,则 ∫ f ( x) dx = _____. 0 ? x x ∈ (1, e] ?
15. 如图, 设 A、B、C、D 为球 O 上四点,若 AB、AC、AD 两两互相垂直,且

D O A .
?

C B

AB = AC = 6, AD = 2 ,则 AD 两点间的球面距离
an =


16. 已 知 数 列 {an } 满 足 a1 = 2 , a n +1 = 3a n + 2( n ∈ N ) , 则 该 数 列 的 通 项 公 式

三.解答题(共 70 分) 解答题(
17.( 17.(本小题满分 12 分) 已 知 函 f ( x ) = sin(ω x + ? ) (ω > 0,| ? |< π ) 的 部 分 图 象 如 图 所 示: (1)求 ω , ? 的值; (2)设 g( x ) = 2 2 f ( ) f ( ?

x 2

x π π ) ? 1 ,当 x ∈ [0, ] 时,求函数 2 8 2

g ( x) 的值域.
18. (本小题满分 12 分)

2 ,甲、乙、 5 3 3 丙三人都能通过测试的概率是 ,甲、乙、丙三人都不能通过测试的概率是 ,且乙 20 40
甲、乙、丙三人分别独立的进行某项技能测试,已知甲能通过测试的概率是 通过测试的概率比丙大. (Ⅰ)求乙、丙两人各自通过测试的概率分别是多少; (Ⅱ)求测试结束后通过的人数 ξ 的数学期望 Eξ .

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19. (本 19. 本小题满分 12 分) ( 如图,已知 AB ⊥ 平面 ACD , DE ⊥ 平面 ACD ,△ ACD 为等边三角形,

B E

AD = DE = 2 AB , F 为 CD 的中点.
(1) 求证: AF // 平面 BCE ; (2) 求证:平面 BCE ⊥ 平面 CDE ; (3) 求直线 BF 和平面 BCE 所成角的正弦值. 20. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 E : C F

A

D

x2 y 2 2 + 2 = 1 (a > b > 0) 的左、 右焦点分别为 F1、F2, 离心率 e = , 2 2 a b

点 D (0,1) 在且椭圆 E 上, (Ⅰ)求椭圆 E 的方程; (Ⅱ)设过点 F2 且不与坐标轴垂直的直线交椭圆 E 于 A、B 两点,线段 AB 的垂直平分 线与 x 轴交于点 G (t , 0) ,求点 G 横坐标的取值范围. (Ⅲ)试用 t 表示 ?GAB 的面积,并求 ?GAB 面积的最大值 21.(本小题满分 21.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) = x 4 + ax3 + 2 x 2 + b ( x ∈ R ) ,其中 a, b ∈ R . (1)当 a = ?

10 时,讨论函数 f ( x ) 的单调性; 3

(2)若函数 f ( x ) 仅在 x = 0 处有极值,求 a 的取值范围; (3)若对于任意的 a ∈ [ ?2, 2] ,不等式 f ( x ) ≤ 1 在 [ ?1,1] 上恒成立,求 b 的取值范围.

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考生可在下列三题中任选一题作答,多选者按先做题评分。 22. (本小题满分 10 分)注:考生可在下列三题中任选一题作答,多选者按先做题评分。 (1). 几何证明选讲 如图,AB 是⊙O 的直径,弦 BD、CA 的延长线相交于点 E,EF 垂直 BA 的延长线于点 F. 求证: (1) ∠DEA = ∠DFA ; (2)AB =BE?BD-AE?AC. (2).坐标系与参数方程 坐标系与参数方程 已 知 直 线 l 的 极 坐 标 方 程 是
2

E D

ρ cos θ + ρ sin θ ? 1 = 0 .以极点为平面直角坐标系 F
A

的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,在曲 线C :?

O

B

? x = ?1 + cos θ (θ 为参数) 上求一点,使它到直线 l 的距离最 ? y = sin θ
C

小,并求出该点坐标和最小距离. (3).不等式选讲 不等式选讲 已知 a, b, c 均为正实数,且 a + b + c = 1 . 求 4a + 1 + 4b + 1 + 4c + 1 的最大值.

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