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【广东省2013-2014学年高二寒假作业数学(四) Word版解析


广东省2013-2014学年高二寒假作业(四)数学
一、选择题 1.已知直线 A. 2 .已知函数 ( ) A.12 B.13 与曲线 B. 与 在点 C. 轴切于 C.15 处的切线互相垂直,则 D. 点 , 且极小值为 D.16 ) ,则 为( )

3.若 f ( x) ? ?

1 2 x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,则 b 的取值范围是( 2
B. (??, ?1] C. [?1, ??) D. (??, ?1) )

A. (?1, ??)

4.若函数 f ( x) ? x3 ? 3x ? a 有 3 个不同的零点,则实数 a 的取值范围是 ( A. ? ?2, 2 ? B.

??2, 2?

C. ? ??, ?1?

D. ?1, ?? ?

5. 设 f(x)、g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,f′ (x)· g(x)+f(x)· g′ (x)>0, 且 f(-3)· g(-3)=0,则不等式 f(x)· g(x)<0 的解集是( ) A.(-3,0)∪(3,+∞) B.(-3,0)∪ (0,3) C.(-∞,-3)∪(3,+∞) Ks5u D.(-∞,-3)∪(0,3) 6.设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f /(x),且函数 y = (1?x) f /(x)的图像如图所示,则下列结论 中一定成立的是 y

· ?2

O

· 1

· 2

x

A.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B.函数 f(x)有极大值 f(?2)和极小值 f(1) C.函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(?2) D.函数 f(x)有极大值 f(?2)和极小值 f(2) 7.已知某生产厂家的年利润 y (单位:万元)与年产量 x (单位:万件)的函数关系式为

1 y ? ? x 3 ? 81x ? 234 ,则使该生产厂家获得最大年利润的年产量为( 3
A.7 万件 C.11 万件
3 2

).

B.9 万件 D.13 万件

8.若 a>0,b>0,且函数 f ( x) ? 4 x ? ax ? 2bx ? 2 在 x=1 处有极值,则 ab 的最大值等

于(

) A.2 B. 9 C.6 D.3 二、填空题 9.已知关于 x 的方程 的三个实根分别为一个椭圆,一个抛物线,一个

双曲线的离心率,则 10.若函数 f ( x) ?

的取值范围________

ax2 ? 1 的单调增区间为(0,+∞),则实数 a 的取值范围是________. x

11. 某观测站 D 的正北 6 海里和正西 2 海里处分别有海岛 A 、B , 现在 A 、B 连线的中点 E 处有一艘渔船因故障抛锚.若在 D 的正东 3 海里 C 处的轮船接到观测站 D 的通知后,立即 启航沿直线距离前去营救,则该艘轮船行驶的路程为 海里. 12.已知,对任意实数 x,不等式 e x ? x ? m, 恒成立,则 m 的取值范围是 13.函数 f ( x) ? x ? 。

4 x ? (0,??) , 的最小值为 x
_

14.若函数 f(x)=x3-3bx+b 在区间(0,1)内有极小值,则 b 应满足的条件是 三、解答题 15 .已知函数 , (1)求 (2)设 为 ,设曲线 的导函数,满足 在与 .

轴交点处的切线为

的单调区间. , ,求函数 在 上的最大值;

Ks5u

16. (本小题满分 14 分)已知函数 底数) , (Ⅰ)设曲线 在 处的切线与直线



.(其中 为自然对数的

垂直,求 的值;

(Ⅱ)若对于任意实数 ≥0, (Ⅲ)当 处的切线与 时,是否存在实数 轴垂直?若存在,求出

恒成立,试确定实数 的取值范围; ,使曲线 C: 的值;若不存在,请说明理由. 在点

17. (14 分)已知函数 (1)当 (2)函数 时,求函数 在 的单调区间;

上是减函数,求实数 a 的取值范围.

Ks5u

18.(本小题满分 12 分) 已知函数 极值点。 (1)求 的值; 的零点的集合为{0,1},且 是 f(x)的一个

(2)试讨论过点 P(m,0)与曲线 y=f(x)相切的直线的条数。

19. (本小题满分 14 分) 已知函数 (Ⅰ)求函数 (Ⅱ)若直线 过点 ( Ⅲ ) 设 函 数 值.( ) 的极值点; 且与曲线 相切,求直线 的方程; 求 函 数 在 上 的 最 小

Ks5u

20. (本小题满分 12 分) 经市场调查,某旅游城市在过去的一个月内(以 游人数 (万人)近似地满足 . (Ⅰ)求该城市的旅游日收益 (万元)与时间 的函数关系式; =4+ 天计) ,第 天 ,而人均消费 的旅 (元)近似地满足

(Ⅱ)求该城市旅游日收益的最小值.

Ks5u

广东省2013-2014学年高二寒假作业(四)数学
一、选择题 1.D 【解析】∵ 的结论知: 2.C 【解析】根据题意由于函数 何意义可知,同时极小值为-4,那么可知有 与 轴切于 点,根据导数的几 ,∴ ,∴ = ,∴ 曲线 ,故选 D 在点 处的切线斜率为 3,由两直线垂直

Ks5u 故可知 p+q=15,选 C. 3.B 【解析】 f ( x) ? ?

1 2 b x ? b ln( x ? 2)在(-1,+?)上是减函数,即 f ?( x) ? ? x ? ?0在 2 x?2

(?1, ??) 上横成立,即 b ? x( x ? 2) ? ( x ? 1)2 ?1, 所以 b ? ?1 .
4.A 【解析】由函数 f(x)=x3-3x+a 有三个不同的零点, 则函数 f(x)有两个极值点,极小值小于 0,极大值大于 0; 由 f′ (x)=3x2-3=3(x+1) (x-1)=0,解得 x1=1,x2=-1, 所以函数 f(x)的两个极,x∈ (-∞,-1) ,f′ (x)>0,x∈ (-1,1) ,f′ (x)<0, x∈ (1,+∞) ,f′ (x)>0, ∴ 函数的极小值 f(1)=a-2 和极大值 f(-1)=a+2. 因为函数 f(x)=x3-3x+a 有三个不同的零点, 所以 a+2>0,a-2<0,解之,得-2<a<2.故实数 a 的取值范围是 A

5.D 【解析】设 F(x)=f (x)g(x) ,当 x<0 时,∵ F′ (x)=f′ (x)g(x)+f (x)g′ (x)>0.∴ F (x)在当 x<0 时为增函数. ∵F(-x)=f (-x)g (-x)=-f (x)?g (x)=-F(x) . 故 F(x)为(-∞,0)∪ (0,+∞)上的奇函数. ∴F(x)在(0,∞)上亦为增函数. 已知 f(-3)· g(-3)=0,必有 F(-3)=F(3)=0. 构造如图的 F(x)的图象,

可知 F(x)<0 的解集为 x∈ (-∞,-3)∪ (0,3) . 6.D 【解析】由 y = (1?x) f /(x)的图像得当

1 ? x ? 2或 ? 2 ? x ? 1时,f?(x)<0;x ? ?2或x ? 2时,f?(x)>0;
据此可知函数 f(x)有极大值 f(?2)和极小值 f(2). 7.B 【解析】因为 y ? ?

1 3 x ? 81x ? 234 ,所以 y? ? ? x2 ? 81, 令 y? ? ? x2 ? 81 ? 0, 3

x ? 0,? x ? 9. 根据实际意义,所以使该生产厂家获得最大年利润的年产量为 9 万件.
8.B 【解析】求出导函数,利用函数在极值点处的导数值为 0 得到 a,b 满足的条件;利用基本 不等式求出 ab 的最值,即∵f′ (x)=12x2-2ax-2b,又因为在 x=1 处有极值,f ’(1)=0,故有 a+b=6,∵a>0,b>0,∴ab≤( 于 9 ,选 B 二、填空题

a?b 2 ) =9,当且仅当 a=b=3 时取等号,所以 ab 的最大值等 2

9. 【解析】 设 1,即有: 由抛物线的离心率为 1, 知方程 有 有一个根为

故 依题意,知方程 有一个大于 0 小于 1 的根与一个大于 1

的根. 借助二次函数的图象特征知:

在平面直角坐标系

所表示的平面

是图中的阴影部分,其中 A 点坐标为(-2,1)



的范围可转化为求区域内

的点与原点的连线所在直线的斜率的取值范围. 由图形可知:

从而

的取值

范围是 10. ?0. ? ?? 【解析】因为函数 f ( x) ?

等于零,可知实数 a 的取值范围是 ?0. ? ?? 11.5

ax2 ? 1 的单调增区间为(0,+∞),则导函数在给定区间上恒大于 x
,故答案为

?0. ? ??



【解析】由题意知 Rt ?ABD, AB ? 2 10, BE ? 10, BC ? 5, cos ?ABD ? 所以 CE ? ( 10)2 ? 52 ? 2 ? 5 ? 10 ? 12. (??,1)

2 1 ? , 2 10 10

1 ?5 10

x x 【解析】因为对任意实数 x,不等式 e ? x ? m, 恒成立,那么分离参数可知 m< e ? x 恒成

立,只要求解函数 y= ex ? x 的最小值即可,运用导数可知函数的 最小值为 1,那么可知参 数 m 的取值范围是 (??,1) 13.4 【解析】本试题主要是考查了函数的最值的运用。可以运用导数的思想判定单调性得到。 因为函数 f ( x) ? x ? ,故答案为

(??,1)

4 , x ? (0,??) ,那么 x

4 x 2 ? 4 (x ? 2)(x ? 2) f '(x) ? 1 ? 2 ? ? x x2 x2 ? f '(x) ? 0, x ? 2, 或x ? ?2 f '(x) ? 0, ?2 ? x ? 0, 0 ? x ? 2
可知在(0,2)递减,在(2,+ ? )上递增,因此可知当 x=2 函数取得极小值 f(2)=4,即为最小值为 4.故答案为 4. 解决该试题的关键是求解导数,判定单调性,易错点就是直接运用均值不等式求解最值,不 考虑等号是否能取到。 14. (0,1) 【解析】解:由题意得f′ (x)=3x2-3b, 令f′ (x)=0,则x=± b Ks5u 又∵ 函数f(x)=x3-3bx+b在区间(0,1)内有极小值, ∴ 0< b <1,∴ b∈ (0,1) ,故答案为(0,1) . 三、解答题 15. (1) (2) 【解析】 (1) 函数 直线 即 的图像关于直线 与 轴的交点为 ,且 , 对称,则 , ,解得 , , . ,且 . ,

则 故

. ,所以 f(x)在 R 上单调递增. ……4 分

(2)

其图像如图所示.当 根据图像得:

时,



(ⅰ )当

时,

最大值为



(ⅱ )当

时,

最大值为



(ⅲ )当 16. (1) =-1; (2) 在点 处的切线与

时,

最大值为 ; (3)不存在实数



……10 分 ,使曲线 C:

轴垂直. Ks5u , …1 分 , 在 处的切线 的斜率为 …2 ,

【解析】 (Ⅰ ) 分 又直线 ∴ ( )

的斜率为 =-1,∴ =-1.



………………………3 分 ……………………5 分

(Ⅱ )∵ 当 ≥0 时, 可为任意实数; 又当 >0 时,

恒成立,∴先考虑 =0,此时, ………………………6 分 恒成立,则 恒成立, …………7 分







,则





(0,1)时, 当 ∈

>0,

(1,+∞)时, 在(0,1)上单调递增,当 ∈ 取得极大值,

<0, , ………9 分

在(1,

+∞)上单调递减,故当 =1 时, ∴要使 ≥0,

恒成立, >- ,∴实数 的取值范围为 ,

. …10 分

(Ⅲ )依题意,曲线 C 的方程为





,则



设 当 ,

,则 ,故 在

, 上的最小值为 ,…………………12 分

所以

≥0,又

,∴

>0,

而若曲线 C: 分 所以,不存在实数 直.…14 分 17. (1)在区间(0, 为增函数.(2) 【解析】 (1)

在点

处的切线与

轴垂直,则

=0,矛盾。 …13

,使曲线 C:

在点

处的切线与

轴垂

) , (1,+∞)上函数

为减函数;在区间(

,1)上函数

…………1 分

……………………………4 分 函数 的定义域为(0,+∞) ,在区间(0, ,1)上 f ′ (x)>0. 函数 ) , (1,+∞)上 f ′ (x)<0. 函数 为增函数. ……………6 分 ,在 x∈ (2,4)上恒 为

减函数;在区间( (2)函数 成立.

在(2,4)上是减函数,则 …………7 分

………………10 分

…………………12 分 实数 a 的取值范围 18. (1) ; (2)当 …………………………14 分 或 时, ,方程① 有两等根 或 ,此

时,过点



与曲线

相切的直线有两条;

当 一条; 当 或

时,

,方程① 无解,此时过点

与曲线

相切的直线仅有

时,

, 方程① 有两个不同的实根, 此时过点

与曲线

相切的直线有三条. 【解析】 (Ⅰ )函数 的解可以为 ∴ 或 ,或 . 的零点的集合为 . ,则方程

① 若

,则

.

当 数 ∴ ② 若 当

,或

时,

,函数

为增函数;当



,函

为减函数; , 为函数的极值点.与题意不符. ,则 ,或 为减函数; 时, ,函数 为增函数;当 , ,函数





为函数的极值点. ,即 ,故 ,∴ …6 分 ,

综上,函数 而

(Ⅱ )设过点

的直线与曲线

切于点



由(Ⅰ )知

,∴ 曲线

在点

处的切线方程为





满足此方程,故

,又



,∴

.

,或

…① ,关于

的方程

的判别式

Ks5u 当



时,

,方程① 有两等根



,此时,过点



与曲线

相切的直线有两条;

当 一条; 当 或

时,

,方程① 无解,此时过点

与曲线

相切的直线仅有

时,

, 方程① 有两个不同的实根, 此时过点 …12 分 ) 的极小值点,极大值点不存在. (Ⅱ

与曲线

相切的直线有三条. 19.(Ⅰ ) (Ⅲ ) 当 当 是函数 时, 时,

的最小值为 0;当 1<a<2 时, 的最小值为 >0 ………1 分 <0

的最小值为



【解析】 (Ⅰ ) 而 >0 lnx+1>0



<0

0< <

所以



上单调递减,在

上单调递增 .

…………3 分

所以

是函数

的极小值点,极大值点不存在.

…………………4 分

(Ⅱ )设切点坐标为 所以切线 的方程为 又切线 过点 解得 (Ⅲ ) >0 增. 当 即 时, >

,则

切线的斜率为 …………5 分

,所以有 所以直线 的方程为 , 则 所以 在 ………6 分 <0 上单调递减,在 <0 0< < 上单调递

………………8 分 在 上单调递增,所以 ……9 分 在 上的最小值为

当 1< 在 当 所以 综上,当 当

<e,即 1<a<2 时, 上的最小值为 即 在 时,



上单调递减,在 ………11 分

上单调递增.



上单调递减, ……12 分 的最小值为 ;

上的最小值为 时, 的最小值为 0;当 1<a<2 时,

时,

的最小值为

………14 分

20.(Ⅰ )

=

) 441 万元。 ;(Ⅱ

【解析】 (Ⅰ )解:

………………4 分

=

…………………………6

(Ⅱ )当



(t=5 时取最小值)…9 分



,因为 ,

递减, ……11 分 ……12 分

所以 t=30 时,W(t)有最小值 W(30)= 所以

时,W(t)的最小值为 441 万元

Ks5u



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