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嘉定区2016年高三数学文科一模试卷


2015 学年嘉定区高三年级第一次质量调研

数学试卷(文)
考生注意: 1.答题前,务必在答题纸上将姓名、学校、班级等信息填写清楚,并贴好条形码. 2.解答试卷必须在答题纸规定的相应位置书写,超出答题纸规定位置或写在试卷、草稿纸 上的答案一律不予评分. 3.本试卷共有 23 道试题,满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一.填空题(本大题满分 56 分)本大题共有 14 题,考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对 4 分,否则一律得零分. 1. lim

n2 ? 1 ? ____________. n ? ? 2n 2 ? n ? 2

2 2. 设集合 A ? {x x ? 2 x ? 0 , x ? R} ,B ? ? x

? x ?1 ? 则 A ? B ? __________. ? 0 , x ? R? , ? x ?1 ?

x 3.若函数 f ( x) ? a ( a ? 0 且 a ? 1 )的反函数的图像过点 (3 , ? 1) ,则 a ? _________.

4.已知一组数据 6 , 7 , 8 , 9 , m 的平均数是 8 ,则这组数据的方差是_________. 5.在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, M 为棱 A 1B1 的中点,则异面直线 AM 与 B 1C 所成的 角的大小为__________________(结果用反三角函数值表示) . 6.若圆锥的底面周长为 2? ,侧面积也为 2? ,则该圆锥的体积为______________. 7.已知

sin ? 2

8.某程序框图如图所示,则该程序运行后 输出的 S 值是_____________.

cos? ? 0 ,则 sin 2? ? ____________. 开始 1 k ? 1 ,S ? 0
k ? 2015
是 否

S ?S?

1 k (k ? 1)

输出 S

k ? k ?1

结束

2 2 9.过点 P(1 , 2) 的直线与圆 x ? y ? 4 相切,且与直线 ax ? y ? 1 ? 0 垂直,则实数 a 的值

为___________. 10.从 3 名男同学, 2 名女同学中任选 2 人参加知识竞赛,则选到的 2 名同学中至少有 1 名

男同学的概率是____________. 11.设 PA ? (k , 12) , PB ? (4 , 5) , PC ? (10 , k ) ,则 k ? _________时,点 A , B , C 共线.
1 2 n ?1 12.已知 n ? N ,若 2Cn ? 22 Cn ? ? ? 2n ?1Cn ? 2n ? 80 ,则 n ? _______.
*

13.设数列 {an } 满足 a1 ? 2 , an ?1 ? 1 ? __________.

1 ,记数列前 n 项的积为 P n ,则 P 2016 的值为 an

14.对于函数 y ? f ( x) ,若存在定义域 D 内某个区间 [a , b] ,使得 y ? f ( x) 在 [a , b] 上的 值域也是 [a , b] ,则称函数 y ? f ( x) 在定义域 D 上封闭.如果函数 f ( x) ? ?

4x 在 1? | x |

R 上封闭,那么 b ? a ? _____________.
二.选择题(本大题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题有且仅有一个正确答案,考生应在 答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,每题选对得 5 分,否则一律得零分. 15.“函数 f ( x) ? sin( x ? ? ) 为偶函数”是“ ? ? A.充分不必要条件 C.充分必要条件

?
2

”的(



B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

16.下列四个命题: ①任意两条直线都可以确定一个平面; ②若两个平面有 3 个不同的公共点,则这两个平面重合; ③直线 a , b , c ,若 a 与 b 共面, b 与 c 共面,则 a 与 c 共面; ④若直线 l 上有一点在平面 ? 外,则 l 在平面 ? 外. 其中错误命题的个数是( ) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 17.若椭圆 x ? my ? 1 的焦距为 2 ,则 m 的值是(
2 2

) D. 4

A.

1 2

B. 1

C. 2

18.已知等比数列 {an } 中,各项都是正数,且 3a1 , 于( A. 6 ) B. 7 C. 8

1 a ? a9 a3 , 2 a2 成等差数列,则 8 等 2 a6 ? a7
D. 9

三.解答题(本大题满分 74 分)本大题共有 5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的 规定区域内写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 6 分. 如图①,有一个长方体形状的敞口玻璃容器,底面是边长为 20 cm 的正方形,高为 30 cm ,内有 20 cm 深的溶液.现将此容器倾斜一定角度 ? (图②) ,且倾斜时底面的一条 棱始终在桌面上(图①、②均为容器的纵截面) . (1)要使倾斜后容器内的溶液不会溢出,角 ? 的最大值是多少;
3 (2) 现需要倒出不少于 3000 cm 的溶液, 当 ? ? 60? 时, 能实现要求吗?请说明理由.

?
① ②

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7 分. 已知 x ? R ,设 m ? (2 co sx , sin x ? co sx) , n ? ( 3 sin x , sin x ? cos x) ,记函数

?

?

? ? f ( x) ? m ? n .
(1)求函数 f ( x) 的最小正周期和单调递增区间; (2)设△ ABC 的角 A , B , C 所对的边分别为 a , b , c ,若 f (C ) ? 2 , c ? 3 ,

a ? b ? 3 ,求△ ABC 的面积 S .

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 设函数 f ( x) ? k ? a ? a
x ?x

( a ? 0 且 a ? 1 )是奇函数.

(1)求常数 k 的值; ( 2 ) 设 a ? 1 , 试 判 断 函 数 y ? f ( x) 在 R 上 的 单 调 性 , 并 解 关 于 x 的 不 等 式

f ( x2 ) ? f (2 x ? 1) ? 0 .

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分. 已知抛物线 x2 ? 2 py ,准线方程为 y ? 1 ? 0 ,直线 l 过定点 T (0 , t ) ( t ? 0 )且与抛 物线交于 A 、 B 两点, O 为坐标原点. (1)求抛物线的方程; (2) OA ? OB 是否为定值,若是,求出这个定值;若不是,请说明理由; (3)当 t ? 1 时,设 AT ? ? ? TB ,记 | AB |? f (? ) ,求 f (? ) 的解析式.

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分. 设复数 zn ? xn ? i ? yn ,其中 xn yn ? R , n ? N , i 为虚数单位, zn ?1 ? (1 ? i) ? zn ,
*

z1 ? 3 ? 4i ,复数 zn 在复平面上对应的点为 Z n .
(1)求复数 z2 , z 3 , z4 的值;
* (2)证明:当 n ? 4k ? 1 ( k ? N )时, OZn ∥ OZ1 ;

(3)求数列 {xn ? yn } 的前 100 项之和.

2015 学年嘉定区高三年级第一次质量调研 数学试卷(文)参考答案及评分标准
一.填空题(每题 4 分,满分 56 分) 1.

1 2

2. {x ? 1 ? x ? 0 , x ? R}(或 [ ?1 , 0) )

3.

1 3

4. 2

5. arccos

10 5

6. 10.

3 ? 3

7.

4 5

8.

2015 2016

3 4 12. 4
9.

9 10 13. 1

11. ? 2 或 11 14. 6

二.选择题(每题 5 分,满分 20 分) 15.B 16.C 17.A

18.D

三.解答题(共 5 题,满分 74 分)答案中的分数为分步累积分数 19.本题 12 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 6 分. C E D B D F B C

?
③ A

60 ?
A

④ (1)如图③,当倾斜至上液面经过点 B 时,容器内溶液恰好不会溢出, 此时 ? 最大. ………………………………………………………………(2 分) 解法一:此时,梯形 ABED 的面积等于 20 ? 400( cm ) ,
2 2

…………(3 分)

因为 ?CBE ? ? ,所以 DE ? 30 ? 20 tan ? , S ABED ? 即

1 ( DE ? AB ) ? AD , 2

1 ? (60 ? 20 tan ? ) ? 20 ? 400 ,解得 tan ? ? 1 , ? ? 45? . ………………(5 分) 2 所以,要使倾斜后容器内的溶液不会溢出, ? 的最大值是 45 ? . ……………(6 分) 解法二:此时,△ BEC 的面积等于图①中没有液体部分的面积,
即 S?BEC ? 200( cm ) ,
2

………………………………………………(3 分)

因为 ?CBE ? ? ,所以 S ?BEC ?

解得 tan ? ? 1 , ? ? 45? . …………………………………………(5 分) 所以,要使倾斜后容器内的溶液不会溢出, ? 的最大值是 45 ? . …………(6 分)

1 1 ? BC ? CE ? ? BC 2 ? tan ? ,即 200 tan ? ? 200 , 2 2

(2)如图④,当 ? ? 60? 时,设上液面为 BF ,因为 ?CBD ? arctan 所以点 F 在线段 AD 上,

3 ? 60? , 2

…………………………………………(1 分)

此时 ?ABF ? 30? , AF ? AB ? tan30? ? 10 3 ,

S?ABF ?

1 ? AB ? AF ? 150 3 ( cm2 ) , 2

…………………………(3 分)
3

剩余溶液的体积为 150 3 ? 20 ? 3000 3 ( cm ) , …………………(4 分) 由题意,原来溶液的体积为 8000 cm , 因为 8000? 3000 3 ? 3000,所以倒出的溶液不满 3000 cm . ……(5 分)
3 3 所以,要倒出不少于 3000 cm 的溶液,当 ? ? 60? 时,不能实现要求.…(6 分) 3

20.本题 14 分,第 1 小题 7 分,第 2 小题 7 分. (1) f ( x) ? m ? n ? 2 3 sin x cos x ? sin 2 x ? cos2 x ? 3 sin 2x ? cos2x

? ?

?? ? ? 2 sin ? 2 x ? ? . 6? ?
所以 f ( x) 的最小正周期是 T ? ? . 由 2k? ?

……………………………………(3 分)

………………………(4 分) ……………………(6 分)

?
2

? 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,k ?Z ,

得函数 f ( x) 的单调递增区间是 ?k? ?

? ?

?
6

, k? ?

??
3? ?

(k ?Z ) . ……(7 分)

(2)由 f (C ) ? 2 ,得 sin? 2C ? 因为 0 ? C ? ? ,所以 ? 所以 2C ?

? ?

??

? ?1, 6?

…………………………(1 分)

?
6

? 2C ?

2 2

?
6

?

?
6

?

?
2

,C ?

?
3

11? , 6
………………………………(3 分)

在△ ABC 中,由余弦定理 c ? a ? b ? 2abcosC ,
2

…………(4 分) ………………(5 分)

2 2 2 得 3 ? a ? b ? ab ? (a ? b) ? 3ab,即 ab ? 2 ,

所以△ ABC 的面积 S ?

1 1 3 3 absin C ? ? 2 ? ? . …………(7 分) 2 2 2 2

21.本题 14 分,第 1 小题 6 分,第 2 小题 8 分. ( 1 ) 解 法 一 : 函 数 f ( x) ? k ? a x ? a? x 的 定 义 域 为 R , 因 为 f ( x) 是 奇 函 数 , 所 以

f (0) ? k ? 1 ? 0 , k ? 1 .…………………………………………………………(3 分)
当 k ? 1 时, f ( x) ? a x ? a ? x , f (? x) ? a? x ? a x ? ? f ( x) , f ( x) 是奇函数. 所以,所求 k 的值为 1 . …………………………………………………………(6 分)

解法二:函数 f ( x) ? k ? a x ? a? x 的定义域为 R , 由题意,对任意 x ? R , f (? x) ? ? f ( x) , 即k ?a
?x

…………………………………(2 分)

? a x ? a ? x ? k ? a x , (k ? 1)(a x ? a? x ) ? 0 , ………………………(4 分)
?x

因为 a ? a
x

? 0 ,所以, k ? 1 . ……………………………………………(6 分)

(2)由(1) , f ( x) ? a x ? a ? x ,任取 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2 ,

1 ? ? ) ? (a x2 ? a ? x2 ) ? (a x1 ? a x2 )?1 ? x1 ? x2 ? , ? a ? 1 x x 因为 a ? 1 , x1 ? x2 ,所以 a 1 ? a 2 ? 0 ,又 1 ? x1 ? x 2 ? 0 ,所以 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 , a 即 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ,所以函数 f ( x) 在 R 上是单调递增函数. ………………(4 分)
则 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? (a 1 ? a
x ? x1

(注:也可以这样解答: a ? 1 , y ? a 在 R 上是增函数, y ? a
x

?x

?1? ? ? ? 在 R 上是减函 ?a?

x

数,则 y ? ?a ? x 在 R 上是增函数,所以 f ( x) ? a x ? a ? x 在 R 上是增函数. ) 由 f ( x2 ) ? f (2 x ? 1) ? 0 ,得 f ( x2 ) ? ? f (2 x ? 1) ,即 f ( x 2 ) ? f (1 ? 2 x) , ……(6 分) 所以 x ? 1 ? 2 x ,即 x ? 2 x ? 1 ? 0 ,解得 x ? (?1 ? 2 , ? 1 ? 2 ) . …………(8 分)
2 2

22.本题 16 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 6 分. (1)由题意, ?

p ? ?1, p ? 2 , ………………………………………………(2 分) 2

故抛物线方程为 x2 ? 4 y . …………………………………………………………(4 分) (2)设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,直线 l : y ? kx ? t ,则

? y ? kx ? t , ? x1 ? x2 ? 4k , ? x 2 ? 4kx ? 4t ? 0 ? ? ? 2 ? x1 x2 ? ?4t . ?x ? 4 y

…………………………(2 分)

于是, OA ? OB ? x1x2 ? y1 y2 ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? kt( x1 ? x2 ) ? t 2 ? t ? 4t ,
2 2

……(4 分)

因为点 T (0 , t ) 是定点,所以 t 是定值,所以 OA ? OB 是定值,此定值为 t ? 4t .…(6 分)

(3) T (0 , 1) ,设 B? ? x0 ,

? ?

2 2 ? ? ? x0 x0 ? ? TB ? x , ? 1? ,则 0 ? ? ?, 4? 4 ? ?

2 2 ? ? x0 x0 ? A ( ? ? x , 1 ? ? ? ? ? ), ,故 AT ? ?TB ? ? ? x , ? ? ? ? 0 ? 0 ? 4 4 ? ?

………………(2 分)

2 ? ? 4 x0 2 2 2 2 A ? ? 因为点 在抛物线 x ? 4 y 上,所以 ? x0 ? 4?1 ? ? ? ? ? ,得 x0 ? .……(4 分) ? ? 4? ?

又 T 为抛物线的焦点,故 f (? ) ?| AB |? y A ? yB ? 2 ? ? ?1 ? ? ? ? ?

? ?

2 2 ? x0 x0 ? ? ?2 4? ? 4

???

1

?

? 2 ,即 f (? ) ? ? ?

1

?

? 2(? ? 0) .

………………………………(6 分)

23.本题 18 分,第 1 小题 4 分,第 2 小题 6 分,第 3 小题 8 分. (1) z2 ? (1 ? i)(3 ? 4i) ? ?1 ? 7i , z3 ? ?8 ? 6i , z4 ? ?14 ? 2i .…………(4 分) (算错一个扣 1 分,即算对一个得 2 分,算对两个得 3 分) (2)由已知 zn?1 ? (1 ? i) ? zn ,得 zn ? (1 ? i)n ?1 ? z1 , 当 n ? 4k ? 1 时, (1 ? i)n ?1 ? (1 ? i)4k ? (?4)k , 令 ? ? (?4) ,则 zn ? ? ? z1 ,
k

………………(1 分) ………………………(3 分)

即则存在非零实数 ? ? (?4) ( k ? N ) ,使得 OZn ? ?OZ1 .
k
*

???? ?

???? ?

…………(5 分)

所以,当 n ? 4k ? 1 ( k ? N )时, OZn ∥ OZ1 .
*

……………………(6 分) …………(2 分)

(3)因为 zn ? 4 ? (1 ? i) zn ? ?4zn ,故 xn ? 4 ? ?4 xn , yn ? 4 ? ?4 yn ,
4

所以 xn ? 4 yn ? 4 ? 16xn yn ,

…………………………………………………………(3 分) …………………………(4 分)

又 x1 y1 ? 12 , x2 y2 ? ?7 , x3 y3 ? ?48 , x4 y4 ? 28 ,

x1 y1 ? x2 y2 ? x3 y3 ? ? ? x100 y100 ? ( x1 y1 ? x2 y2 ? x3 y3 ? x4 y4 ) ? ( x5 y5 ? x6 y6 ? x7 y7 ? x8 y8 ) ? ? ? ( x97 y97 ? x98 y98 ? x99 y99 ? x100 y100 )
1 ? 1625 ? 1 ? 2100 , ……………………………………(7 分) 1 ? 16 100 所以数列 {xn yn } 的前 100 项之和为 1 ? 2 . ……………………………………(8 分) ? (12 ? 7 ? 48 ? 28) ?


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