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【优化方案】2016年高考数学二轮复习 第一部分专题二 三角函数与平面向量 第3讲 平面向量课件 理


专题二

三角函数与平面向量

第3讲

平面向量

专题二

三角函数与平面向量

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高考对平面向量的考查主要有三个方面: (1)平面向量的基本定理及基本运算,即向量的有关概念, 加、 减法的几何意义,线性表示以及坐标运算等; (2)平面向量的数量积的基本运算及其应用,这也是历年高考 命题的热点; (3)向量的工具性作用,在三角函数、不等式、解析几何解答 题中用来描述题目的条件和结论.

1.必记概念与定理 (1)平面向量中的四个基本概念 ①零向量模的大小为 0, 方向是任意的, 它与任意非零向量都 共线,记为 0; ②长度等于 1 个单位长度的向量叫单位向量,与 a 同向的单 a 位向量为 ; |a| ③方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量 ); ④向量的投影: |b|cos〈 a, b〉叫做向量 b 在向量 a 方向上的 投影.

(2)平面向量的两个重要定理 ①向量共线定理:向量 a(a≠ 0)与 b 共线当且仅当存在唯一一 个实数 λ,使 b= λa; ②平面向量基本定理:如果 e1, e2 是同一平面内的两个不共 线向量, 那么对这一平面内的任一向量 a, 有且只有一对实数 λ1,λ 2,使 a= λ1e1+ λ2e2,其中 e1, e2 是一组基底.

2.活用性质与结论 (1)平面向量的三个性质 ①若 a=(x, y),则 |a|= a· a = x2+ y2; ②若 A(x1, y1), B(x2, y2), → 则 |AB|= ( x2-x1) 2+( y2- y1)2; ③若 a=(x1, y1),b=(x2, y2), θ 为 a 与 b 的夹角, x1x2+ y1y2 a· b 则 cos θ = = 2 2 2 2 . |a||b| x1+ y1 x2+ y2

(2)平面向量的两个充要条件 若两个非零向量 a= (x1, y1), b= (x2, y2),则 ① a∥ b? a= λb?x1y2-x2y1= 0; ② a⊥ b? a· b=0?x1x2+ y1y2= 0. (3)三点共线的判定 → → → → → 三个点 A, B, C 共线?AB,AC共线;向量PA,PB,PC中 → → → 三终点 A, B, C 共线?存在实数 α, β 使得PA= αPB+ β PC, 且 α+ β= 1.

3.辨明易错易混点 (1)若 a= 0,则 a· b= 0,但由 a· b=0,不能得到 a= 0 或 b=0, 因为 a⊥b,a· b= 0. (2)两向量夹角的范围为 [0,π ],向量的夹角为锐角与向量的 数量积大于 0 不等价.

考点一

平面向量的概念及线性运算

[命题角度] 1.平面向量的概念与表示. 2.向量的线性运算及其几何意义. 3.平面向量的基本定理. 4.共线向量的坐标表示及其运算.

(1)(2015· 高考全国卷Ⅰ )设 D 为△ ABC 所在平面内一 → → 点,BC=3CD ,则 ( A ) 1→ 4→ → A.AD =- AB+ AC 3 3 → 1→ 4→ B.AD = AB- AC 3 3 → 4→ 1→ C.AD = AB+ AC 3 3 → 4→ 1→ D.AD = AB- AC 3 3 (2)平面内给定三个向量 a=(3, 2), b= (- 1, 2), c=(4, 1). 若 16 - (a+kc)∥ (2b- a),则 k= ________ 13 .

[思路点拨]

→ → (1)以向量AB,AC为基底,利用向量的加减运算

和平面向量基本定理求解. (2)利用向量的坐标运算和向量共线定理求解. 4 → → → → 1→ → 1 → → [解析 ] (1)AD = AC+CD =AC+ BC= AC+ (AC-AB)= 3 3 3

1→ 4→ → 1→ AC- AB=- AB+ AC. 3 3 3 (2)因为(a+ kc)∥(2b-a), 又 a+ kc= (3+4k, 2+ k),2b- a= (- 5,2), 所以 2×(3+ 4k)- (- 5)× (2+k)= 0, 16 所以 k=- . 13

方法归纳 平面向量的线性运算应注意三点 (1)三角形法则和平行四边形法则的运用条件. (2)证明三点共线问题,可用向量共线来解决,但应注意向量 共线与三点共线的区别与联系, 当两向量共线且有公共点时, 才能得出三点共线. → → → (3)OA= λOB+ μOC(λ,μ 为实数),若 A、 B、 C 三点共线, 则 λ+ μ= 1.

→ → 1.已知 a、b 是不共线的向量,AB= λa+b,AC=a+ μb(λ、 μ∈ R),当 A、B、C 三点共线时,λ 的取值不可能为( B ) A. 1 C.-1 B.0 D. 2

→ → 解析:由AB=λa+b,AC= a+ μb(λ、μ∈ R)及 A、B、C 三点 → → 共线得,AB=tAC,所以 λa+ b= t(a+ μb)=ta+ tμb,即
? ?λ= t, ? 所以 λμ=1,故 λ≠ 0. ?1= tμ, ?

2.若向量 α, β 是一组基底,向量 γ=xα+ yβ(x, y∈ R),则 称 (x, y)为向量 γ 在基底 α, β 下的坐标,现已知向量 a 在基 底 p= (1,- 1),q=(2, 1)下的坐标为 (- 2,2),则向量 a 在 另一组基底 m=(-1,1), n=(1, 2)下的坐标为 ( D ) A. (2,0) C. (- 2, 0) B.(0,-2) D. (0,2)

解析:因为 a 在基底 p, q 下的坐标为(-2,2),即 a=- 2p + 2q=(2,4),令 a=xm+ yn,则 a=(-x+ y,x+2y)=(2,
? ? ?- x+ y= 2, ?x=0, 4),所以? 解得? 所以 a 在基底 m,n 下的 ? ? ?x+2y=4, ?y= 2.

坐标为(0,2).

→ 3. (2015· 洛阳市统考 )已知 P 是△ ABC 所在平面内一点, 若AP 3→ 2→ = BC- BA,则△ PBC 与△ ABC 的面积的比为 ( A ) 4 3 1 A. 3 2 C. 3 1 B. 2 3 D. 4

解析:如图,以 B 为原点, BC 所在直线 为 x 轴,建立平面直角坐标系,设 A(xA, → 3→ 2 yA), P(xP, yP), C(xC, 0),AP= BC- 4 3 3 2 3 → BA,即(xP- xA,yP- yA)= (xC,0)- (xA,yA),故 xP- xA= 4 3 4 S△ PBC 1 2 2 1 xC- xA, yP- yA= 0- yA, yP= yA,故 = . 3 3 3 S△ ABC 3

考点二

平面向量的数量积

[命题角度] 1.直接利用数量积运算公式进行运算. 2.求向量的夹角、模或判断向量的垂直关系.

2 2 (1)(2015· 高考重庆卷)若非零向量 a, b 满足 |a|= |b|, 3 且 (a-b)⊥ (3a+2b),则 a 与 b 的夹角为 ( A ) π A. 4 3π C. 4 π B. 2 D. π

(2)(2015· 高考天津卷)在等腰梯形 ABCD 中,已知 AB∥ DC, AB= 2, BC= 1,∠ ABC= 60° .点 E 和 F 分别在线段 BC 和 29 2 1 → → → → → → DC 上, 且BE= BC, DF= DC, 则AE· AF的值为________ . 18 3 6

[思路点拨]

(1)根据两向量垂直和向量数量积的公式求解.

(2)本题可先取基底并表示向量, 再利用数量积的概念运算. 也 可结合图形建立平面直角坐标系,利用平面向量数量积的坐 标运算求解.

[解析 ]

(1)由(a- b)⊥(3a+2b), 得(a- b)· (3a+2b)= 0, 即 3a2
2

2 2 - a· b- 2b = 0.又因为|a|= |b|,设〈a,b〉= θ,即 3|a|2 3 8 2 2 2 - |a|· |b|·cos θ -2|b|2=0,所以 |b|2- |b| ·cos θ -2|b|2 3 3 π 2 = 0.所以 cos θ = .又因为 0≤θ≤π ,所以 θ= . 2 4

(2)法一:由题意可知 CD=1,AD= BC → 1→ → → = 1,又因为DF= DC,AB= 2DC,所 6 1→ → → → 以DF= AB,在△ ADF 中,AF=AD 12 → → 1 → → → → → +DF= AD + AB, 在梯形 ABCD 中, BC=BA+AD +DC= 12 1→ → → → 1→ → → → -AB+ AD + AB=- AB+ AD , 在△ ABE 中, AE=AB+BE 2 2 → 2→ → 2 ? 1→ → ? 2→ 2 → =AB+ BC=AB+ · -2AB+ AD = AB+ AD ,所以 3 3 ? ? 3 3 → → ?2 → 2 → ? ? 1 → → ? 1 → 2 13 → → AE· AF= 3AB+3AD · 12AB+AD = AB + AB· AD + ? ? ? ? 18 18 2→2 1 13 1 2 29 2 2 AD = × 2 + × 2× 1× + × 1 = . 3 18 18 2 3 18

法二:以 AB 所在直线为 x 轴, A 为原点建立如图所示的坐标 系. 由于 AB= 2,BC= 1,∠ ABC= 60°,所以 CD= 1,等腰梯形 3 1 3? ?3 3? ? ABCD 的高为 , 所以 A(0, 0), B(2, 0), D , , C , 2 ?2 2 ? ?2, 2 ? → ? 1 → 2→ → 3? → 所以BC= - , ,DC= (1,0),又因为BE= BC,DF= 3 ? 2 2? 1→ → → 5 3 2 3 DC,所以 E? , ?, F? , ?,因此AE·AF= 6 ?3 3 ? ?3 2 ? 3 3 10 1 29 3 ? ?2 3? 5 2 ?5 · = × + × = + = . 2 9 2 18 ?3, 3 ? ?3, 2 ? 3 3 3

1. (2015· 高考福建卷)设 a=(1, 2),b=(1, 1), c= a+ kb.若 b⊥ c,则实数 k 的值等于 ( A ) A.- 5 C. 3
3 1× (2+ k)= 0,解得 k=- . 2

3 2

5 B.- 3 3 D. 2

解析:c= a+kb= (1+k,2+k),又 b⊥ c,所以 1×(1+ k)+

→ → → 2.已知△ ABC 中, |BC|= 10,AB· AC=- 16, D 为边 BC → 的中点,则 |AD |等于( D ) A. 6 C. 4 B.5 D. 3

→ 1 → → → → → → 解析: 由题知AD = (AB+AC), AB· AC=- 16, 所以|AB|· |AC 2 →2 →2 →2 → |cos∠ BAC=-16.在△ ABC 中,|BC| =|AB| +|AC| - 2|AB → → 2 →2 → 2 →2 2 ||AC|cos∠ BAC,所以 10 = |AB| + |AC| + 32,|AB| +|AC| = 1 → 2 1 →2 →2 → → 68,所以 |AD | = (AB +AC +2AB·AC)= (68-32)= 9,所 4 4 → 以 |AD |= 3.

→ 2→ → 1→ → → → 3. 若本例 (2)中“BE= BC, DF= DC” 变为“BE=λBC, DF 3 6 29 1 → → → 18 = DC” ,其他条件不变,则AE·AF的最小值为________ . 9λ

解析:在等腰梯形 ABCD 中, 由 AB∥ DC, AB= 2, BC=1, ∠ ABC= 60°,可得 AD= DC = 1. 3 3 建立平面直角坐标系如图所示, 则 A(0, 0), B(2, 0), C? , ?, ?2 2 ? 1 3 D? , ?, ?2 2 ?

→ ?3 3 1 3 BC= , ?- (2, 0)=?- , ?, ?2 2 ? ? 2 2? → 3 3 1 3 DC=? , ?- ? , ?= (1, 0). ?2 2 ? ?2 2 ? → → 1 3 1 3 因为BE= λBC=?- λ, λ ?,所以 E?2- λ, λ ?. ? 2 2 ? ? 2 2 ? 1 → ? 1 → 1 1 3? ? ? , 0 因为DF= DC= 9λ ,所以 F + , . 9λ ?2 9λ 2 ? ? ? → → ? 1 3? 3 ? ?1 1 所以AE·AF= 2- λ, λ · + , ? 2 2 ? ?2 9λ 2 ?

1 ??1 1 ? 3 17 2 1 ? = 2-2λ ?2+9λ ?+ λ = + + λ ? ? 4 18 9λ 2 17 ≥ +2 18 2 1 29 ·λ= . 9λ 2 18

2 1 2 当且仅当 = λ ,即λ = 时取等号,符合题意. 3 9λ 2 29 → → 所以AE·AF的最小值为 . 18

方法归纳 (1)涉及数量积和模的计算问题,通常有两种求解思路: ①直接利用数量积的定义; ②建立坐标系,通过坐标运算求解. (2)在利用数量积的定义计算时,要善于将相关向量分解为图 形中模、夹角和已知的向量进行计算.

考点三

平面向量与三角函数的综合

[命题角度] 平面向量作为工具,还常与三角函数、解三角形、不等式、 解析几何等知识结合,常以解答题形式出现.

已知函数 f(x)= 2cos2x+ 2 3sin xcos x(x∈ R). π? ? (1)当 x∈ 0, 时,求函数 f(x)的单调递增区间; ? 2? (2)设△ ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c,且 c= 3,f(C)= 2,若向量 m= (1,sin A)与向量 n= (2,sin B)共线, 求 a, b 的值.

[思路点拨]

(1)化简函数 f(x),利用三角函数的单调性求解.

(2)利用 f(C)=2,求出角 C 的值,由向量 m 与向量 n 共线, 与正余弦定理,得边 a,b 的方程组,进而求解.

[解 ]

(1)f(x)= 2cos2x+ 3sin 2x= cos 2x+ 3sin 2x+ 1=

π π π π? ? 2sin 2x+ + 1, 令- + 2kπ ≤ 2x+ ≤ + 2kπ , k∈ Z, 2 6 2 6? ? π π π? ? 解得 kπ - ≤ x≤ kπ + , k∈ Z,因为 x∈ 0, , 3 6 ? 2? π? ? 所以 f(x)的单调递增区间为 0, . 6? ? π? ? (2)由 f(C)= 2sin 2C+ + 1=2, 6? ? π? 1 ? 得 sin 2C+ = , 6? 2 ?

π ?π 13π ? π 5 而 C∈ (0,π ),所以 2C+ ∈ , ,所以 2C+ = 6 ?6 6 6 6 ? π π ,解得 C= . 3 sin A 因为向量 m= (1,sin A)与向量 n= (2,sin B)共线,所以 sin B 1 = . 2 a 1 由正弦定理得 = ,① b 2 π 2 2 2 由余弦定理得 c =a + b - 2abcos , 3 即 a2+ b2-ab= 9.② 联立①②,解得 a= 3, b= 2 3.

方法归纳 破解平面向量与“三角”交汇题的关键:一是巧“化简” ,即 活用诱导公式、同角三角函数的基本关系式、倍角公式、辅 助角公式等对三角函数进行化简;二是会“转化” ,把向量共 线、向量垂直形式出现的条件还其本来面目,转化为“对应 坐标乘积之间的关系” ;三是活用“两定理” ,有关解三角形 的关键是正确分析边角关系, 由于边与角可谓形影不离的 “好 姐妹” ,在正、余弦定理的帮助下,边角互化,即可妙解三角 形.

3? ? sin x , (2015· 青岛模拟 )已知向量 a= 4 ?, b=(cos x,-1). ? (1)当 a∥ b 时,求 cos2x- sin 2x 的值; (2)设函数 f(x)= 2(a+ b)· b,已知在△ ABC 中,内角 A, B, C 6 的对边分别为 a,b,c,若 a= 3,b= 2,sin B= ,求 f(x) 3 π ?? ? π ? ? ? x∈ 0, + 4cos 2A+ 的取值范围. 3 6 ?? ? ?? ?

3 3 解:(1)因为 a∥ b,所以 cos x+ sin x= 0,所以 tan x=- . 4 4
2 cos x- 2sin xcos x 1-2tan x 8 2 所以 cos x- sin 2x= = 2 2 2 = . sin x+ cos x 1+ tan x 5

π? 3 ? (2)f(x)= 2(a+ b)· b= 2sin 2x+ + , 4? 2 ? π a b 2 由正弦定理 = ,可得 sin A= ,所以 A= . 2 4 sin A sin B π? π? 1 ? ? 所以 f(x)+4cos 2A+ = 2sin 2x+ - , 6? 4? 2 ? ?

π ?π 11π ? π? ? 因为 x∈ 0, ,所以 2x+ ∈ , . 4 3? 12 ? ? ?4 π? 3 1 ? 所以 -1≤f(x)+4cos 2A+ ≤ 2- . 2 2 6? ? 3 1? ? 故所求范围为 . ? 2 -1, 2-2?


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