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大高考2017版高考数学一轮总复习第9章平面解析几何第4节双曲线及其性质高考AB卷理


【大高考】2017 版高考数学一轮总复习 第 9 章 平面解析几何 第 4 节 双曲线及其性质高考 AB 卷 理

双曲线的定义及标准方程 1.(2016?全国Ⅰ,5)已知方程 为 4,则 n 的取值范围是( A.(-1,3) C.(0,3) 解析 ∵方程

y2 =1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离 m2+n 3m2-n
- ) B.(-1, 3) D.(0, 3)

x2

y2 2 2 2 2 =1 表示双曲线,∴(m +n)?(3m -n)>0,解得-m <n<3m , m2+n 3m2-n

2 2 2 2

x2

由双曲线性质,知 c =(m +n)+(3m -n)=4m (其中 c 是半焦距),∴焦距 2c=2?2|m| =4,解得|m|=1,∴-1<n<3,故选 A. 答案 A 双曲线的几何性质

x2 y2 2.(2016?全国Ⅱ,11)已知 F1,F2 是双曲线 E: 2- 2=1 的左,右焦点,点 M 在 E 上,MF1 a b
1 与 x 轴垂直,sin∠MF2F1= ,则 E 的离心率为( 3 A. 2 C. 3 B. 3 2 )

D.2

2 2 3 F1F2 F1F2 sin M 解析 离心率 e= ,由正弦定理得 e= = = = 2.故选 MF2-MF1 MF2-MF1 sinF1-sin F2 1 1- 3 A. 答案 A 3.(2015?全国Ⅱ,11)已知 A,B 为双曲线 E 的左,右顶点,点 M 在 E 上,△ABM 为等腰三 角形,且顶角为 120°,则 E 的离心率为( A. 5 C. 3 ) B.2 D. 2

1

解析 如图,设双曲线 E 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0),则|AB|=2a,由双曲线的对称 性,可设点 M(x1,y1)在第一象限内,过 M 作 MN⊥x 轴于点 N(x1,0),∵△ABM 为等腰三角 形,且∠ABM=120°,∴|BM|=|AB|=2a,∠MBN=60°,∴y1=|MN|=|BM|sin∠MBN= 2asin 60°= 3a,x1=|OB|+|BN|=a+2acos 60°=2a.将点 M(x1,y1)的坐标代入 2-

x2 y2 a b

x2 a

y2 c 2 2 2=1,可得 a =b ,∴e= = b a

a2+b2 = 2,选 D. a2

答案 D 4.(2015?全国Ⅰ,5)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y =1 上的一点,F1,F2 是 C 的两个焦 2 → → 点,若MF1?MF2<0,则 y0 的取值范围是( A.?- ) B.?-

x2

2

? ?

3 3? , ? 3 3?

? ?

3 3? , ? 6 6?

? 2 2 2 2? C.?- , ? 3 ? ? 3
x2

? 2 3 2 3? D.?- , ? 3 ? ? 3
2

x ? ? -y2=1, 2 2 2 解析 由题意知 M 在双曲线 C: -y =1 上,又在 x +y =3 内部,由? 2 得y 2 2 2 ? ?x +y =3,
=± 3 , 3 3 3 <y0< . 3 3

所以-

答案 A 5.(2014?全国Ⅰ,4)已知 F 为双曲线 C:x -my =3m(m>0)的一个焦点,则点 F 到 C 的一条 渐近线的距离为( A. 3 C. 3m ) B.3 D.3m
2 2

解析 ∵双曲线的方程为 - =1,焦点 F 到一条渐近线的距离为 3. 3m 3 答案 A 6.(2014?大纲全国,9)已知双曲线 C 的离心率为 2,焦点为 F1、F2,点 A 在 C 上.若|F1A|= 2|F2A|,则 cos∠AF2F1=( )
2

x2

y2

A. C.

1 4 2 4

B. D.

1 3 2 3

解析

由双曲线的定义知 |AF1| - |AF2| = 2a ,又 |AF1| = 2|AF2| ,∴ |AF1| = 4a , |AF2| =

2a.∵e= =2,∴c=2a,∴|F1F2|=4a. |AF2| +|F1F2| -|AF1| ∴cos∠AF2F1= 2|AF2|?|F1F2|
2 2 2 2 2 2

c a

(2a) +(4a) -(4a) 1 = = ,故选 A. 2?2a?4a 4 答案 A

x2 y2 7.(2013?大纲全国,21)已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为 F1,F2, a b
离心率为 3,直线 y=2 与 C 的两个交点间的距离为 6. (1)求 a,b; (2)设过 F2 的直线 l 与 C 的左、右两支分别交于 A,B 两点,且|AF1|=|BF1|,证明:|AF2|, |AB|,|BF2|成等比数列. (1)解 由题设知 =3, 即

c a

a2+b2 2 2 =9,故 b =8a . a2
2 2 2

所以 C 的方程为 8x -y =8a . 将 y=2 代入上式,求得 x=± 由题设知,2 1 2

a2+ .

1 2

a2+ = 6,解得 a2=1.

所以 a=1,b=2 2. (2)证明 由(1)知,F1(-3,0),F2(3,0),C 的方程为 8x -y =8.① 由题意可设 l 的方程为 y=k(x-3),|k|<2 2,代入①并化简得(k -8)x -6k x+9k +8 =0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 6k 9k +8 则 x1≤-1,x2≥1,x1+x2= 2 ,x1?x2= 2 . k -8 k -8 于是|AF1|= (x1+3) +y1 = (x1+3) +8x1-8=-(3x1+1),
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3

|BF1|= (x2+3) +y2 = (x2+3) +8x2-8=3x2+1. 由|AF1|=|BF1|得-(3x1+1)=3x2+1, 2 6k 2 4 2 即 x1+x2=- .故 2 =- ,解得 k = , 3 k -8 3 5 19 从而 x1?x2=- . 9 由于|AF2|= (x1-3) +y1 = (x1-3) +8x1-8 =1-3x1,|BF2|= (x2-3) +y2 = (x2-3) +8x2-8=3x2-1, 故|AB|=|AF2|-|BF2|=2-3(x1+x2)=4, |AF2|?|BF2|=3(x1+x2)-9x1x2-1=16. 因而|AF2|?|BF2|=|AB| , 所以|AF2|,|AB|,|BF2|成等比数列.
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

2

2

双曲线的定义及标准方程 1.(2015?福建,3)若双曲线 E: - =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线 E 上, 9 16 且|PF1|=3,则|PF2|等于( A.11 C.5 ) B.9 D.3

x2

y2

解析 由双曲线定义||PF2|-|PF1||=2a,∵|PF1|=3,∴P 在左支上,∵a=3,∴|PF2| -|PF1|=6,∴|PF2|=9,故选 B. 答案 B 2.(2015?安徽,4)下列双曲线中,焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y=±2x 的是( A.x - =1 4 C. -x =1 4
2

)

y2

B. -y =1 4 D.y - =1 4
2

x2

2

y2

2

x2

解析 由双曲线性质知 A、B 项双曲线焦点在 x 轴上,不合题意;C、D 项双曲线焦点均在

y 轴上,但 D 项渐近线为 y=± x,只有 C 符合,故选 C.
答案 C

1 2

4

x y 5 3.(2015?广东,7)已知双曲线 C: 2- 2=1 的离心率 e= ,且其右焦点为 F2(5,0),则双 a b 4
曲线 C 的方程为( A. - =1 4 3 C. - =1 9 16 ) B. - =1 16 9

2

2

x2 y2 x2

x2

y2

y2

D. - =1 3 4

x2 y2

c 5 2 解析 因为所求双曲线的右焦点为 F2(5,0)且离心率为 e= = ,所以 c=5,a=4,b a 4
=c -a =9,所以所求双曲线方程为 - =1,故选 B. 16 9 答案 B 4.(2014?天津, 5)已知双曲线 2- 2=1(a>0, b>0)的一条渐近线平行于直线 l: y=2x+10, 双曲线的一个焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( A. - =1 5 20 3x 3y C. - =1 25 100
2 2 2 2

x2

y2

x2 y2 a b

)

x2

y2

B.

- =1 20 5
2 2

x2

y2

3x 3y D. - =1 100 25

解析 由题意可知,双曲线的其中一条渐近线 y= x 与直线 y=2x+10 平行,所以 =2 且左焦点为(-5,0),所以 a +b =c =25,解得 a =5,b =20,故双曲线方程为 - 5 20 =1.选 A. 答案 A 3 5.(2013?广东,7)已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 F(3,0),离心率等于 ,则 C 的 2 方程是( ) B. - =1 4 5 D. - =1 2 5
2 2 2 2 2

b a

b a

x2

y2

A. - =1 4 5 C. - =1 2 5

x2

y2

x2 y2 x2

x2 y2

y2

3 c 3 2 解析 由曲线 C 的右焦点为 F(3,0),知 c=3.由离心率 e= ,知 = ,则 a=2,故 b 2 a 2 =c -a =9-4=5,所以双曲线 C 的方程为 - =1. 4 5 答案 B 双曲线的几何性质
5
2 2

x2 y2

6.(2015?四川, 5)过双曲线 x - =1 的右焦点且与 x 轴垂直的直线, 交该双曲线的两条渐 3 近线于 A,B 两点,则|AB|=( A. 4 3 3 ) B.2 3 D.4 3
2

2

y2

C.6

解析 焦点 F(2,0),过 F 与 x 轴垂直的直线为 x=2,渐近线方程为 x - =0,将 x=2 3 代入渐近线方程得 y =12,y=±2 3,∴|AB|=2 3-(-2 3)=4 3.选 D. 答案 D 7.(2014?重庆,8)设 F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左、右焦点,双曲线上存 9 在一点 P 使得|PF1|+|PF2|=3b,|PF1|?|PF2|= ab,则该双曲线的离心率为( 4 A. 4 3 5 9 B. C. 3 4 D.3
2 2

y2

x2 y2 a b

)

解析 由双曲线的定义得||PF1|-|PF2||=2a,又|PF1|+|PF2|=3b,所以(|PF1|+|PF2|)
2 2 2 2 2

-(|PF1|-|PF2|) =9b -4a ,即 4|PF1|?|PF2|=9b -4a ,又 4|PF1|?|PF2|=9ab,因此 2 ?b? 9b 2 2 9b -4a =9ab,即 9? ? - -4=0,

?a?

a

?3b ??3b ? 则? +1?? -4?=0, ?a ?? a ?
1 b 4?b ? 解得 = ? =- 舍去?,则双曲线的离心率 e= 3 a 3?a ? 答案 B 2 ?b? 5 1+? ? = . ?a? 3

x2 y2 x2 y2 8.(2014?山东,10)已知 a>b>0,椭圆 C1 的方程为 2+ 2=1,双曲线 C2 的方程为 2- 2=1, a b a b C1 与 C2 的离心率之积为
A.x± 2y=0 C.x±2y=0 解析 椭圆 C1 的离心率为 所以 3 ,则 C2 的渐近线方程为( 2 )

B. 2x±y=0 D.2x±y=0

a2-b2 a2+b2 ,双曲线 C2 的离心率为 , a a

a2-b2 a2+b2 3 ? = , a a 2

3 4 1 4 4 4 4 所以 a -b = a ,即 a =4b ,所以 a= 2b,所以双曲线 C2 的渐近线方程是 y=± x, 4 2
6

即 x± 2y=0. 答案 A 9.(2013?四川,6)抛物线 y =4x 的焦点到双曲线 x - =1 的渐近线的距离是( 3 A. 1 2 B. 3 2
2 2

y2

)

C.1

D. 3

解析 由题意可得,抛物线的焦点为(1,0), 双曲线的渐近线方程为 y=± 3x,即± 3x-y=0, |± 3-0| 3 由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离 d= = . 2 2 答案 B 10.(2016?北京,13)双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA,OC 所 在的直线,点 B 为该双曲线的焦点,若正方形 OABC 的边长为 2,则 a=________. 解析 取 B 为双曲线右焦点,如图所示.∵四边形 OABC 为正方形且边长为 2,∴c=|OB| =2 2,

x2 y2 a b

π b π 2 2 2 又∠AOB= ,∴ =tan =1,即 a=b.又 a +b =c =8,∴a=2. 4 a 4 答案 2

x2 y2 11.(2016?山东,13)已知双曲线 E: 2- 2=1(a>0,b>0),若矩形 ABCD 的四个顶点在 E 上, a b AB,CD 的中点为 E 的两个焦点,且 2|AB|=3|BC|,则 E 的离心率是________.
解析 由已知得|AB|= 2b
2

a

,|BC|=2c,∴2?

2b

2

a

=3?2c,又∵b =c -a ,整理得:2c

2

2

2

2

2 c ?c? 2 2 2 -3ac-2a =0,两边同除以 a 得 2? ? -3 -2=0,即 2e -3e-2=0,解得 e=2 或 e=

?a?

a

-1(舍去). 答案 2 12.(2015?浙江,9)双曲线 -y =1 的焦距是______,渐近线方程是______. 2

x2

2

7

解析 由双曲线方程得 a =2,b =1,∴c =3,∴焦距为 2 3,渐近线方程为 y=± 答案 2 3

2

2

2

2 x. 2

y=±

2 x 2

13.(2015?北京, 10) 已知双曲线 2 - y = 1(a > 0) 的一条渐近线为 3 x + y = 0 ,则 a = ________. 解析 双曲线渐近线方程为 y=± x,∴ = 3,又 b=1,∴a= 答案 3 3

x2 a

2

b a

b a

3 . 3

14.(2015?湖南,13)设 F 是双曲线 C: 2- 2=1 的一个焦点,若 C 上存在点 P,使线段 PF 的中点恰为其虚轴的一个端点,则 C 的离心率为________.

x2 y2 a b

x2 y2 c2 解析 不妨设 F(c,0),则由条件知 P(-c,±2b),代入 2- 2=1 得 2=5, a b a
∴e= 5. 答案 5

x2 2 15.(2014?江西,20)如图,已知双曲线 C: 2-y =1(a>0)的右焦点为 F,点 A,B 分别在 C a
的两条渐近线上,AF⊥x 轴,AB⊥OB,BF∥OA(O 为坐标原点).

(1)求双曲线 C 的方程; (2)过 C 上一点 P(x0,y0)(y0≠0)的直线 l: 3 = 相交于点 N. 2 |MF| 证明:当点 P 在 C 上移动时, 恒为定值,并求此定值. |NF| (1)解 设 F(c,0),因为 b=1,所以 c= a +1, 1 直线 OB 的方程为 y=- x,
2

x0x -y0y=1 与直线 AF 相交于点 M,与直线 x a2

a

c? 1 ?c 直线 BF 的方程为 y= (x-c),解得 B? ,- ?. 2a ? a ?2

8

c ? c? -? - ? a ? 2a? 3 c? 1 ? 又直线 OA 的方程为 y= x,则 A?c, ?,kAB= = . a c a ? a? c-
2 3 ? 1? x2 2 2 又因为 AB⊥OB,所以 ??- ?=-1,解得 a =3,故双曲线 C 的方程为 -y =1. a ? a? 3 (2)证明 由(1)知 a= 3,则直线 l 的方程为

x0x
3

-y0y=1(y0≠0),即 y=

x0x-3 . 3y0

? 2x0-3?; 因为直线 AF 的方程为 x=2,所以直线 l 与 AF 的交点为 M?2, 3y0 ? ? ? ? 3x0-3? 3 ?. 直线 l 与直线 x= 的交点为 N?3 2 ? , ? 2 3y0 ? ?2
|MF| 则 2= |NF|
2

(2x0-3) 4 (2x0-3) = 2 = ? 2 2, 2 9 y 9 3 3 y +3(x0-2) 0 0 2 ?3x0-3? + ( x 0-2) ? ? 4 4 1 ?2 ? + 2 4 (3y0)

(2x0-3) 2 (3y0)

2 2 2

因为 P(x0,y0)是 C 上一点,则 -y0=1,代入上式得 3 |MF| 4 (2x0-3) 2= ? 2 2 |NF| 3 x0-3+3(x0-2) 4 (2x0-3) 4 = ? 2 = , 3 4x0-12x0+9 3 |MF| 2 2 3 所求定值为 = = . |NF| 3 3
2 2 2

x2 0

2

9



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