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正弦函数与余弦函数性质(周期性)


1.4.2 正弦函数 余弦函数的性质(1)

李歆辉

问题展现
在前面的学习中,我们看到了,正弦函数值具有“周而复始”的变化规律,如何来展示 这种规律呢?

? 正弦线的变化规律

? 诱导公式
sin(x ? 2k? ) ? sin x?x ? k ?

概念形成
数学上,用周期性这个概念来定量地刻画这种“周而复始”地变化规律.

对于函数 f ?x ? ,如果存在一个非零常数 T ,使得当 x 取定义域内的每一个值时,都有

f ?x ? T ? ? f ?x ? ,
那么函数 f ?x ? 就叫做周期函数.非零常数 T 叫做这个函数的周期.

概念深化
? 周期函数的周期不止一个.例如, 2? ,4? ,6? ,? 以及 ? 2? ,?4? ,?6? ,? 都是正弦函数的周 期.任何一个常数 2k? ?k ? Z且k ? 0? 都是它的周期.

? 如果在周期函数 f ?x ? 的所有周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫做
f ?x ? 的最小正周期.例如,正弦函数的最小正周期是 2? .

2k? ?k ? Z且k ? 0? 都是它的周期, 正弦函数是周期函数, 最小正周期是 2? .

余弦函数是周期函数, 2k? ?k ? Z且k ? 0? 都是它的周期,最小正周期是 2? .

概念深化
判断正误:
? (1)对于函数 y ? sin x , x ? R 有sin ? ? ?6

?

2? 2? ? ? 是它的周期. ? ? sin ,则 3 3 ? 6

( × ) ( × ) ( × ) ( √ )

(2)所有的周期函数都存在最小的正周期. (3)函数 y ? cos x 的周期是 2k? ?k ? Z ? . (4)若函数 T ?T ? 0?为函数 f ?x ? 的周期,则 2T 也是 f ?x ? 周期.
注: ? 注意定义域中“每个值”的要求 ? 周期函数不一定存在最小正周期 ? 周期一定为非零常数 ? 周期函数的周期不唯一

例题展现
例 2 求下列函数的周期; (1) y ? sin 2 x , x ? R
1 ?? (2) y ? 2 sin? ? x? ? ?2 6?

解: (1)因为

sin 2 x ? sin?2 x ? 2? ? ? sin 2?x ? ? ? ,
所以原函数的周期为 ? . (2)因为
?? 1 ? ?? ?? ?? ?1 ?1 2 sin? x ? ? ? 2 sin ?? x ? ? ? 2? ? ? 2 sin ? ?x ? 4? ? ? ? , 6? 6? 6? ?2 ?2 ?? 2 ?

所以原函数的周期为 4?

练习:求下列函数的周期: (1) y ? sin x , x ? R ;
1 ?? (2) y ? sin? ? x ? ? ,x ? R . ?3 4?
3 4

函数 y ? A sin ??x ? ? ? , x ? R (其中 A, ? , ? 为常数,且 A ? 0 ,? ? 0 )的周期如何表示?

知识小结
? 周期函数的定义

? 最小正周期

? 正弦函数、余弦函数周期的求解


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