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专题22 函数y=Asin(ωx+φ)的图象


【高频考点解读】 1.了解函数 y=Asin(ωx+φ)的物理意义;能画出 y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数 A、ω、 φ 对函数图象变化的影响. 2.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。 【热点题型】 题型一 y=Asin (ωx+φ)的有关概念及五点法描图 )

例 1、函数 f(x)=Asin(ωx+φ)+B 的一部分图象如图所示,则 f(-1)+f(13)=(

A.3

B.2

3 C. 2

1 D. 2

【提分秘籍】由 y=Asin(ωx+φ)的图象确定第一个零点的方法 φ ? 确定 φ 值时,往往以寻找“五点法”中的第一零点? ?-ω,0?作为突破口.具体如下: “第一点”(即图象上升时与 x 轴的交点)为 ωx+φ=0;“第二点”(即图象的“峰点”)为 ωx+φ π = ;“第三点”(即图象下降时与 x 轴的交点)为 ωx+φ=π;“第四点”(即图象的“谷点”)为 ωx+φ 2 3π = ;“第五点”为 ωx+φ=2π. 2 题型二 函数 y=sin x 的图象变换得到 y=Asin(ωx+φ)的图象的步骤 )

π? 例 2、要得到函数 y=sin? ?2x+4?的图象,只要将函数 y=sin 2x 的图象( π A.向左平移 个单位 4

π π π B.向右平移 个单位 C.向左平移 个单位 D.向右平移 个单位 4 8 8

【提分秘籍】两种不同变换思路中平移单位的区别 由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin(ωx+φ)的图象,两种变换的区别:先相位变换再周期变 |φ| 换(伸缩变换), 平移的量是|φ|个单位; 而先周期变换(伸缩变换)再相位变换, 平移的量是 (ω>0) ω 个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而言,即 x 本身加减多少值,而不是依赖于 ωx 加减多少值. 题型三 五点法描图 π? π 3 例 3、设 x∈R,函数 f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,- <φ<0)的最小正周期为 π,且 f? ?4?= 2 . 2

(1)求 ω 和 φ 的值; (2)在给定坐标系中作出函数 f(x)在[0,π]上的图象.

【提分秘籍】 π 3π 1.当画函数 y=Asin(ωx+φ)在 x∈R 上的图象时,一般令 ωx+φ=0, ,π, ,2π,即 2 2 T 可得到所画图象的特殊点坐标,其中横坐标成等差数列,公差为 . 4 2.当画函数 y=Asin(ωx+φ)在某上指定区间上的图象时,一般先求出 ωx+φ 的范围,然 后在这个范围内,选取特殊点,连同区间的两个端点一起列表. 题型四 三角函数的图象变换与性质 π 例 4、 (1)(2013 年高考山东卷)将函数 y=sin(2x+φ)的图象沿 x 轴向左平移 个单位后, 8 得到一个偶函数的图象,则 φ 的一个可能取值为( 3π A. 4 π B. 4 C.0 π D.- 4 )

π ? (2)为了使得变换后的函数的图象关于点? ?-12,0?成中心对称,只需将原函数 y= π? sin? ?2x+3?的图象 ( )

π π A.向左平移 个单位长度 B.向左平移 个单位长度 12 6 π π C.向右平移 个单位长度 D.向右平移 个单位长度 12 6

【提分秘籍】

1. 三角函数的图象变换一般是先平移变换再周期变换, 但要注意先周期变换后再平移变 换时平移单位的确定. 2.y=Asin(ωx+φ)的奇偶性. π 当 φ=kπ(k∈Z)时,为奇函数,当 φ=kπ+ (k∈Z)时为偶函数. 2 题型五 由 y=Asin(ωx+φ)的图象求解析式 π π 例 5、函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,- <φ< ,x∈R)的部分图象如图所示. 2 2

(1)求函数 y=f(x)的解析式; π? (2)当 x∈? ?-π,-6?时,求 f(x)的取值范围.

【提分秘籍】确定 y=Asin(ωx+φ)+b 的解析式的步骤 (1)求 A,b,确定函数的最大值 M 和最小值 m,则 A= 2π (2)求 ω,确定函数的周期 T,则 ω= ; T (3)求 φ,常用方法有:代点法、五点法. M-m M+m ,b= ; 2 2



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