3986.net
小网站 大容量 大智慧
相关标签
当前位置:首页 >> 数学 >>

高中数学必修5


高中数学必修 5
一、知识点总结

第一章 解三角形复习

【正弦定理】
1.正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R (R 为三角形外接圆的半径). sin A sin B sin C a b c

2.正弦定理的一些变式:

?i ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C ; ? ii ? sin A ? 2 R ,sin B ? 2 R ,sin C ? 2 R ;

?iii ? a ? 2R sin A, b ? 2R sin B, b ? 2R sin C ;(iv) sinA ? sinB ? sinC
3.两类正弦定理解三角形的问题: (1)已知两角和任意一边,求其他的两边及一角. (2)已知两边和其中一边的对角,求其他边角.(可能有一解,两解,无解)

a?b?c

? 2R

【余弦定理】

?a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A ? 1.余弦定理: ?b 2 ? a 2 ? c 2 ? 2ac cos B ?c 2 ? b 2 ? a 2 ? 2ba cos C ?

? b2 ? c2 ? a 2 ?cos A ? 2bc ? 2 a ? c2 ? b2 ? 2.推论: ?cos B ? . 2ac ? ? b2 ? a 2 ? c2 ?cos C ? 2ab ?

3.设 a 、 b 、 c 是 ??? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则: ①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2

?

2

2

2

?

2

2

2

?

4.两类余弦定理解三角形的问题:(1)已知三边求三角. (2)已知两边和他们的夹角,求第三边和其他两角.

【面积公式】
已知三角形的三边为 a,b,c,

abc 2 1. S ? 1 aha ? 1 ab sin C ? 1 r (a ? b ? c) = =2R sinAsinBsinC(其中 r 为三角形内切圆半径)

2

2

2

4R

2.设 p ?

1 (a ? b ? c ) , S ? 2

p( p ? a)( p ? b)( p ? c) (海伦公式)
【三角形中的常见结论】

(1) A ? B ? C ? ? (2) sin( A ? B) ? sin C, cos( A ? B) ? ? cos C, tan( A ? B) ? ? tan C,

sin

A? B C A? B C ? cos , cos ? sin ; 2 2 2 2

(3)若 A ? B ? C ? a ? b ? c ? sin A ? sin B ? sin C 若 sin A ? sin B ? sin C ? a ? b ? c ? A ? B ? C (大边对大角,小边对小角) (4)三角形中两边之和大于第三边,两边之差小于第三边 (5) 锐角三角形 ? 三内角都是锐角 ? 三内角的余弦值为正值 ? 任意两边的平方和大于第三边的平方. 钝角三角形 ? 最大角是钝角 ? 最大角的余弦值为负值 (6) ??? C 中,A,B,C 成等差数列的充要条件是 B ? 60 .
?

(7) ??? C 为正三角形的充要条件是 A,B,C 成等差数列,且 a,b,c 成等比数列.
1

二、题型汇总 题型 1【判定三角形形状】 判断三角形的类型 (1)利用三角形的边角关系判断三角形的形状:判定三角形形状时,可利用正余弦定理实现边角转化,统 一成边的形式或角的形式.

a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是直角 ? ?ABC是直角三角形 (2)在 ?ABC 中,由余弦定理可知: a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是钝角 ? ?ABC是钝角三角形 a 2 ? b 2 ? c 2 ? A是锐角? ?ABC是锐角三角形
(注意: A是锐角? ?ABC是锐角三角形 ) (3) 若 sin 2 A ? sin 2 B ,则 A=B 或 A ? B ?

?
2

.

例 1.在 ? ABC 中, c ? 2b cos A ,且 (a ? b ? c )(a ? b ? c ) ? 3ab ,试判断 ? ABC 形状. 题型 2【解三角形及求面积】 一般地,把三角形的三个角 A,B,C 和它们的对边 a,b,c 叫做三角形的元素.已知三角形的几个元素求其他 元素的过程叫做解三角形. 例 2.在 ? ABC 中, a ? 1 , b ?

3 , ?A ? 300 ,求 的值

例 3.在 ? ABC 中,内角 A, B, C 对边的边长分别是 a, b, c ,已知 c ? 2 , C ? (Ⅰ)若 ? ABC 的面积等于 3 ,求 a, b ;

?
3



( (Ⅱ)若 sinC ? sin B ? A) ? 2 sin2 A ,求 ? ABC 的面积.
题型 3【证明等式成立】 证明等式成立的方法:(1)左 ? 右,(2)右 ? 左,(3)左右互相推. 例 4.已知 ? ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,求证: a ? b cos C ? c cos B . 题型 4【解三角形在实际中的应用】 方位角 视角

仰角

俯角

方向角

例 5.如图所示,货轮在海上以 40km/h 的速度沿着方位角(从指北方向顺时针转到目标方向线的水 平转角)为 140° 的方向航行,为了确定船位,船在 B 点观测灯塔 A 的方位角为 110° ,航行半小时到达 C 点观测灯塔 A 的方位角是 65° ,则货轮到达 C 点时,与灯塔 A 的距离是多少?

2

解三角形高考题精选
一.选择题。 ? s 1. 06 全国 I) ABC 的内角 A、 C 的对边分别为 a、 c, a、 c 成等比数列, c ? 2a , c ( B、 b、 若 b、 且 则o A.

B?(

)

1 4

B.

3 4

C.

2 4

D.

2.(06 山东)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c,A = (A) 1 (B)2 (C) 3 —1

? ,a = 3 ,b =1,则 c =( ) 3 (D) 3


2 3

? ? 3.(07 重庆)在 △ ABC 中, AB ? 3 , A ? 45 , C ? 75 ,则 BC ? (

A. 3 ? 3

B. 2

C. 2

D. 3 ? 3
?

4.(08 陕西) △ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c ,若 c ? 2,b ? 6,B ? 120 ,则 a 等 于( ) A. 6 B.2 C. 3 D. 2
2 2 2

5. (08 福建)在△ABC 中,角 ABC 的对边分别为 a、b、c,若(a +c -b )tanB= 3ac ,则角 B 的值为( A.

)

? 6

B.

? 3

C.

? 5? 或 6 6

D.

? 2? 或 3 3


6. (08 海南)如果等腰三角形的周长是底边长的 5 倍,那么它的顶角的余弦值为( A. 5/18 B. 3/4 C.

3 /2

D. 7/8

二.填空题。 7.(06 北京)在 ?ABC 中,若 sin A : sin B : sin C ? 5 : 7 : 8 ,则 ? B 的大小是____________. 8.(06 江苏)在△ABC 中,已知 BC=12,A=60°,B=45°,则 AC= 9.(07 北京)在 △ ABC 中,若 tan A ?

1 ? , C ? 150 , BC ? 1 ,则 AB ? 3

10.(07 湖南)在 △ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a ? 1 , b= 7 , c ? 3 ,则

B?



11.(07 湖南文)在 △ ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c ,若 a ? 1 , c ? 3 , C ?

π ,则 3

A?



12.(07 重庆文)在△ABC 中,AB=1, BC=2, B=60°,则 AC= 13. (08 江苏)若 AB=2, AC= 2 BC ,则 S?ABC 的最大值 .

14. ( 08 湖 北 ) 在 △ ABC 中 , 三 个 角 A, B, C 的 对 边 边 长 分 别 为 a ? 3, b ? 4, c ? 6 , 则

bc cos A ? ca cos B ? ab cos C 的值为

.

15. (08 浙江)在△ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别为 a 、b、c ,若

? 3b ? c?cos A ? a cosC ,则

cos A ? _________________。
3

三.解答题。 16.( 06 湖南)如图,D 是直角△ABC 斜边 BC 上一点,AB=AD,记∠CAD= ? ,∠ABC= ? . (1)证明 sin ? ? cos 2? ? 0 ; (2)若 AC= 3 DC,求 ? 的值. β B 图 D C A α

17(06 全国 I) ?ABC 的三个内角为 A、B、C ,求当 A 为何值时, cos A ? 2 cos 求出这个最大值。

B?C 取得最大值,并 2

18(07 宁夏,海南))如图,测量河对岸的塔高 AB 时,可以选与塔底 B 在同一水平面内的两个侧点 C 与

D .现测得 ?BCD ? ?,?BDC ? ?,CD ? s ,并在点 C 测得塔顶 A 的仰角为 ? ,求塔高 AB .

19.(07 福建)在 △ ABC 中, tan A ?

1 3 , tan B ? . 4 5

(Ⅰ)求角 C 的大小; (Ⅱ)若 △ ABC 最大边的边长为 17 ,求最小边的边长.

20(07 浙江)已知 △ ABC 的周长为 2 ? 1 ,且 sin A ? sin B ? 2 sin C . (I)求边 AB 的长; (II)若 △ ABC 的面积为

1 sin C ,求角 C 的度数. 6

4

21.(07 山东)如图,甲船以每小时 30 2 海里的速度向正北 方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于 A 处时, 1 乙船位于甲船的北偏西 105 的方向 B1 处,此时两船相距 20 海里.当甲船航行 20 分钟到达 A2 处时,乙船航行到甲船的 北偏西 120 方向的 B2 处,此时两船相距 10 2 海里, 问乙船每小时航行多少海里?
?
?

在 △ ABC 中,a,b,c 分别是三个内角 A,B,C 的对边. a ? 2, 若 22 (07 上海) 求 △ ABC 的面积 S .

C?

π B 2 5 ,cos ? , 4 2 5

23.(07 全国Ⅰ文)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, a ? 2b sin A . (Ⅰ)求 B 的大小; (Ⅱ)若 a ? 3 3 , c ? 5 ,求 b.

24(07 全国Ⅱ)在 △ ABC 中,已知内角 A ? (1)求函数 y ? f ( x) 的解析式和定义域;

? ,边 BC ? 2 3 .设内角 B ? x ,周长为 y . ?
(2)求 y 的最大值.

25(07 广东)

已知△ ABC 顶点的直角坐标分别为

A(3,4)、B(0,0)、C (c,0) .

(1)若 c ? 5 ,求 sin∠ A 的值;

(2)若∠ A 是钝角,求 c 的取值范围.

5

答案

? 1. B 2. B 3. A 4. D 5. D 6. D 7. 3
2 2 14.
61 2
15.

8. 4 6

9.

10 2

10.

5π π 6 11. 6

12.

3

13.

3 3

16. [解] (1).如图 3,?? ?

?
2

? (? ? 2? ) ? 2? ?

?

,? sin ? ? sin(2? ? ) ? ? cos 2? , 2 2

?

即 sin ? ? cos 2? ? 0 . (2).在 ?ABC 中,由正弦定理得

DC AC DC 3DC ? ,? ? .?sin ? ? 3 sin ? sin ? sin(? ? ? ) sin ? sin ?
由(1)得 sin ? ? ? cos 2? ,?sin ? ? ? 3 cos 2? ? ? 3(1 ? 2sin 2 ? ),

即 2 3 sin

2

? ? sin ? ? 3 ? 0.解得 sin ? ?
3 ? ,? ? ? . 2 3

3 3 . 或 sin ? ? ? 2 3

?0 ? ? ?

?
2

,? sin ? ?

17. 解:

cos A ? 2cos

B ?C ? ?A A A A ? cos A ? 2cos ?cos A ?2sin ?1 ?2sin 2 ?2sin 2 2 2 2 2

A 2 (0 ? A ?? ) 记 f t ? ?2t 2 ? 2t ? 1在 ( 0,1 ] 上的最大值 则原问题等价于求 ? ? t ? sin
? 1? ?1? f ? t ? ? ?2 ? t ? ? ? 1 ? 2 ? ? ? ? 2? ?2? 1 ? 3 t? A? f ? t ? 取得最大值 2 。 4 时,即 3 时, 当
18. 解:在 △BCD 中, ?CBD ? π ? ? ? ? . 由正弦定理得 所以 BC ?
2 2

BC CD ? . sin ?BDC sin ?CBD

CD sin ?BDC s sin ? · ? . sin ?CBD sin(? ? ? ) s tan ? sin ? · . sin(? ? ? )
6

在 △ ABC 中 AB ? BC tan ?ACB ?

19. 解:(Ⅰ)? C ? π ? ( A ? B) ,

1 3 ? 4 5 ? ?1 .又? 0 ? C ? π ,? C ? 3 π . ? tan C ? ? tan( A ? B) ? ? 1 3 4 1? ? 4 5 3 (Ⅱ)? C ? ? ,? AB 边最大,即 AB ? 17 . 4
又? tan A ? tan B,A,B ? ? 0, ? ,? 角 A 最小, BC 边为最小边.

? ?

?? ??

sin A 1 ? ? , ?tan A ? ? π? 由? cos A 4 且 A ? ? 0, ? , ? 2? ?sin 2 A ? cos 2 A ? 1, ?
得 sin A ?

AB BC sin A 17 ? ? 2. .由 得: BC ? AB ? sin C sin A sin C 17

所以,最小边 BC ? 2 . 20. 解:(I)由题意及正弦定理,得 AB ? BC ? AC ? 2 ? 1 , BC ? AC ? 2 AB , 两式相减,得 AB ? 1 . (II)由 △ ABC 的面积

1 1 1 BC ?AC ? C ? sin C ,得 BC ?AC ? , sin 2 6 3

由余弦定理,得 cos C ? 所以 C ? 60 .
?

AC 2 ? BC 2 ? AB 2 2 AC ?BC

?

( AC ? BC )2 ? 2 AC ?BC ? AB 2 1 ? , 2 AC ?BC 2

21. 解:如图,连结 A1B2 , A2 B2 ? 10 2 , A1 A2 ?

20 ? 30 2 ? 10 2 , 60

?A1 A2 B2 是等边三角形, ?B1 A1B2 ? 105? ? 60? ? 45? ,
在 ?A B2 B1 中,由余弦定理得 1
2 2 B1B2 ? A1B12 ? A1B2 ? 2 A1B1 ? A1B2 cos 45?

? 202 ? (10 2)2 ? 2 ? 20 ?10 2 ?

, 2 ? 200 2

B1B2 ? 10 2.
因此乙船的速度的大小为

10 2 ? 60 ? 30 2. 20

答:乙船每小时航行 30 2 海里.

7

4 3 22. 解: 由题意,得 cos B ? , B 为锐角, sin B ? , 5 5

? 3π ? 7 2 , sin A ? sin( π ? B ? C ) ? sin? ?B?? ? 4 ? 10
由正弦定理得 c ?

10 1 1 10 4 8 , ? S ? ac? B ? ? 2 ? ? ? . sin 2 2 7 5 7 7

23. 解:(Ⅰ)由 a ? 2b sin A ,根据正弦定理得 sin A ? 2sin B sin A ,所以 sin B ? 由 △ ABC 为锐角三角形得 B ?

1 , 2

π . 6

2 2 2 (Ⅱ)根据余弦定理,得 b ? a ? c ? 2ac cos B ? 27 ? 25 ? 45 ? 7 .所以, b ?

7.

24. 解:(1) △ ABC 的内角和 A ? B ? C ? ? ,由 A ? 应用正弦定理,知

? 2? ,B ? 0,C ? 0 得 0 ? B ? . ? ?

AC ?

BC 2 3 sin B ? sin x ? 4sin x , ? sin A sin ?

AB ?

BC ? 2? ? sin C ? 4sin ? ? x?. sin A ? ? ?

因为 y ? AB ? BC ? AC , 所以 y ? 4sin x ? 4sin ?

2? ? ? 2? ? ? ? x? ? 2 3?0 ? x ? ?, 3 ? ? ? ? ?
? ? 1 cos x ? sin x ? ? 2 3 ? ? 2 ?

(2)因为 y ? 4 ? sin x ?

? ? ?

?? ? 5? ? ? ?? ? 4 3 sin ? x ? ? ? 2 3 ? ? x ? ? ? , ?? ? ? ? ? ??
所以,当 x ? 25. 解:(1)

? ? ? ? ,即 x ? 时, y 取得最大值 6 3 . ? ? ?
???? , AC ? (c ? 3, ?4)

??? ? AB ? (?3, ?4)

当c=5时,

???? AC ? (2, ?4)

???? ??? ?6 ? 16 1 ? cos ?A ? cos ? AC, AB ?? ? 5? 2 5 5
(2)若A为钝角,则 AB﹒AC= -3(c-3)+( -4) <0
2

sin ?A ? 1 ? cos 2 ?A ?
进而

2 5 5

25 解得c> 3

25 显然此时有AB和AC不共线,故当A为钝角时,c的取值范围为[ 3 ,+ ? )

8


推荐相关:

高中数学必修5知识点总结(史上最全版)

高中数学必修5知识点总结(史上最全版)_数学_高中教育_教育专区。高中数学必修5知识点归纳(史上最全版) 高中数学必修 5 知识点第一章 2、三角形三边关系:a+...


人教版高中数学必修5测试题及答案全套

人教版高中数学必修5测试题及答案全套_高一数学_数学_高中教育_教育专区。第一章测试一Ⅰ 解三角形学习目标 正弦定理和余弦定理 1.掌握正弦定理和余弦定理及其有关...


人教版高中数学必修五课后习题答案_图文

人教版高中数学必修五课后习题答案_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档人教版高中数学必修五课后习题答案_数学_高中教育_教育专区。人教版...


05 高中数学必修5课后习题答案

05 高中数学必修5课后习题答案_数学_高中教育_教育专区。人教版高中数学必修 5 课后习题解答第一章解三角形 1.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 练习(P4) ...


高中数学必修五公式整理

高中数学必修五公式整理_数学_高中教育_教育专区。本人重新排版,非原创。内容详细,推荐。高中数学必修五公式 声明:本文非原创,由于界面阅读感不好而本人进行重新排版...


高中数学必修五主要内容_图文

高中数学必修五主要内容_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中数学必修五主要内容_数学_高中教育_教育专区。第一章 解三角形 1.1 ...


高中数学必修5 数列经典例题集锦

高中数学必修5 数列经典例题集锦_数学_自然科学_专业资料 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中数学必修5 数列经典例题集锦_数学_自然科学_专业资料。选填,简要...


高中数学必修五全套教案

高中数学必修五全套教案_数学_高中教育_教育专区。(第 1 课时)课题 §2.1 数列的概念与简单表示法 ●教学目标 知识与技能:理解数列及其有关概念,了解数列和函数...


高中数学必修5课后答案_图文

高中数学必修5课后答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档高中数学必修5课后答案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。 ...


高中数学人教版必修5全套教案_图文

高中数学人教版必修5全套教案_高三数学_数学_高中教育_教育专区。高中数学人教版必修5全套教案 课题: §1.1.1 正弦定理授课类型:新授课 ●教学目标 知识与技能:...

网站首页 | 网站地图
3986 3986.net
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@qq.com