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2.1.1 指数与指数幂的运算根式


2. 1. 1 指数与指数幂的运算 -根式

实例引入

根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来20年我 国发展前景分析》判断,未来20年,我国GDP(国内生产 总值)年平均增长率可望达到7.3%.那么,在2001~ 2020年,各年的GDP可望为2000年的多少倍? 如果把我国2000年GDP看成1个单位,2001年为第1年,那么: 1年后(即2001年),我国的GDP可望为2000年的(1 ? 7.3%) 倍
2 (1 ? 7.3%) 2年后(即2002年),我国的GDP可望为2002年的 倍

(1 ? 7.3%) 倍 3年后(即2003年),我国的GDP可望为2000年的
3

4年后(即2004年),我国的GDP可望为2000年的(1 ? 7.3%)4倍

根据国务院发展研究中心2000年发表的《未来 20年我国发展前景分析》判断,未来20年,我国 GDP(国内生产总值)年平均增长率可望达到7.3 %.那么,在2001~2020年,各年的GDP可望为 2000年的多少倍?

设 x 年后我国的GDP值为2000年的y倍,那 么: x x

y ? (1 ? 7.3%) ? 1.073 ? x ? N , x ? 20?
*

即从2000年起, x 年后我国的GDP为2000年的 1.073 倍.
x

思考:正整数指数幂

1.073

x

的含义是什么。

1)整数指数幂是如何定义的?有何规定?
a n = a×a×a× ……×a n 个a a0=1 (a≠0) ( n ∈ N *)

a

?n

1 ? n (a ? 0, n ? N * ) a

2)整数指数幂有那些运算性质?

( m、 n ∈ Z )

( 1) a m × a n = a m + n ( 2) ( a m ) n = a m × n ( 3) ( a b ) n = a n b n a m ÷a n = a m ×b -n = a m-n
?a? ? ? ?b?
n

= ( a × b -1 ) n = a n × b -n

a ? n b

n

当生物死亡后,它机体内 原有的碳14会按确定的规 律衰减,大约每经过5370 年衰减为原来的一半,这 个时间称为”半衰期”。 根据此规律,人们获得了 生物体内碳14含量P与死亡 年数t之间的关系

1 P?( ) 2

t 5370

3)根式又是如何定义的?有那些规定?
如果一个数的平方等于 a ,则这个数叫做 a 的平方根; 如果一个数的立方等于 a ,则这个数叫做 a 的立方根; 如果一个数的 n 次方等于 a ,则这个数叫做 a 的 n 次方 根;
根指数

n

a

被开方数

a>0

根式

根式有关概念 式子 n a 叫做根式(radical),这里n叫做 根指数(radical exponent ) ,a叫做被开方数 (radicand) .

( 根据n 次方根的意义,有:
问题:式子 n
n n

n

a) ? a .
n

a

n

表示 a n 的n次方根,等式

a ? a 一定成立吗?如果不一定成立,那么
n

n

a 等于什么?

4) n an 的运算结果如何?
当 n 为奇数时,n

a
n

n =a;

(a∈R)

当 n 为偶数时, n

?a a =|a| ?? ?? a

a?0 a?0

n
n

0?0
n

( a) ? a

练一练:
1.求下列各式的值 (1) 3
(3)
4

(?8)

3
4

(2) (4)
5

(?10)

2
5

(3 ? ? )

(3 ? ? )

(5)
(6)

4

(a ? b)

4

( a ? b)
4

5

a

10

a

12

一、引入: 1、a10的5次方根是________ 2、a12的3次方根是___________ 你发现了什么?
10 5

1、
3 2、

5

a

10

?a ?a
2

a

12

?a ?a

4

12 3

再看下面几个变形:

10 10 (2 ) ? 2 ? 2 ? 2 ;5 ? ? 2 ? 2 。 2
5 2 10 10 5
3 12

10 2

3 ?3 , 3 ?3 ,
3 15

12 3

15 3

二,分数指数幂的定义

规定?
m n

正数的正分数指数幂

(1)a ? a (a ? 0, m.n ? N 且n ? 1)
n m *

3 ? 3 ,16 ? 16
5 3 3

3 5

5 3

5

(2)a

?m n

?

1 a
m n

(a ? 0, m, n ? N *且n ? 1)

(3)0的正分数 指数幂等于0, 0的负分数 指数幂 没有意义。

例1、求值:

25 、 8 、
1 ?5 ( ) 、 2

2 3

1 ? 2

16 ( ) . 81

3 ? 4

分数指数幂的运算性质:
整数指数幂的运算性质可以运用到分数指数幂,进 而推广到有理数范围:

a ?a ? a
r s r s r r

r?s

(a ? 0, r , s ? Q)

(a ) ? a (a ? 0, r , s ? Q)
rs

(ab) ? a b (a ? 0, b ? 0, r ? Q)
r

用分数指数幂的形式表示下列各式: 例2、 (式中a>0)

(1)a ? a
3

(2)a ? a
2 3

2

(3) a a

3

题型一
将根式转化分数指数幂的形式。(a>0,b>0)

1. a a a
3. ( a ? b)
4 3

3

a

5 6

3a 4 2. (? ) 3 27b
3

?3

3 a b

?8 3

?4 ?4

4. a

9 24

b
9 4

?3

(a ? b)

3 4

a b

3 ?8

小结:1,当有多重根式是,要由里向外层层转化。 2、对于有分母的,可以先把分母写成负指数幂。 3、要熟悉运算性质。

例-3、计算下列各式(式中字母都是正数)

1.(2a b )(?6a b ) ? (?3a b )

2 3

1 2

1 2

1 3

1 6

5 6

2.(m n )
3

1 4

3 ? 8 8

例-4、计算下列各式

1.( 25 ? 125) ? 25 2 a 2. (a ? 0) 3 2 a? a
4

题型二
分数指数幂
m n n

a

m n 求值,先把a写成

x

n

然后原式便化为

a ? (x ) ? x
(1).10000
3 ? 4

m n

m (即:关键先求a的n次方根)
2 ? 3

1 1000

125 (2).( ) 27

9 25

36 (3).( ) 49
c

3 2

216 343

(4)已知 10 ? 2,10 ? 3,10 ? 5,
a b

求10

3a ? 2b ? c

的值.

40 9

小结
注意三点:
1、分数指数幂的概念(与整数指数幂对比,有何 差异,注意不能随意约分).
2、分数指数幂的运算性质,进而推广到有理数指 数幂的运算性质。 3、根式运算时,先化为指数形式进行运算,原式 为根式的,再将结果化为根式。


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