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云南省景洪市第四中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学试题


景洪市第四中学 2014-2015 学年下学期期中考试卷 高二数学
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。全卷 150 分,考试时 间 120 分钟。 第Ⅰ卷(选择题 共 60 分) 注意事项: 1.答卷前,请将考号、姓名、班级和座次号等信息正确填涂在答题卡的指定位置。 2.请在答题卡上认真作答,答在试卷上无效。 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分)
2, 3,, 4} A ? {1,, 2} B ? {2, 4} ,则 Cu ( A U B) ? ( 1.设集合 U ? {1, , 2, 4} A. {1


, 4} B. {1

C. {2}

D. {3}

? x ? 5( x ? 6) 2. 已知 f ( x) = ? ,则 f (3) 的值为( ? f ( x ? 4)( x ? 6)
A、 2 3.双曲线 B、 5 C、 4

) D、3 )

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (-9< t <16 )的( ? ? 1 与双曲线 16 ? t t ? 9 16 9

A、实轴长相等

B、虚轴长相等

C、焦距相等

D、离心率相等

4.设 F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点,过 F 且倾斜角为 30o 的直线交抛物线于 A、B 两 点,则 AB =( A、16 ) B 、6 C、12 D、

5. f ( x) , g ( x) 是定义在 R 上的函数, h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则“ f ( x) , g ( x) 均为 偶函数”是“ h( x) 为偶函数”的( A.充要条件 C.充分而不必要的条件 ) B.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件

x2 y2 6. 已知椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),点(0,-3)在椭圆上,则椭圆 a b
的方程为 ( A、 ) B、

x2
45



y2
36

=1

x2
36



y2
27

=1

C、

x2
27



y2
18

=1

D、

x2
18

+ =1 9

y2

7.平面向量 a 与 b 的夹角为 60? , a ? (1,0) , b ? 1 ,则 a ? 2b =( A. 7 B. 7 C.4 D.12 )

)

8.几何体的三视图如右图,则几何体的体积为( ? 2? 4? A. B. C. ? D. 3 3 3

, 且过点(2,2)的圆的方程是( 9.圆心为 (11) ) 2 2 2 A. ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2 B. ( x ?1) ? ( y ?1)2 ? 4 C. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 2 D. ( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? 4

10. a, b, c ? R ,命题“若 a ? b ? c ? 3 ,则 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3 ”的否命题是( A.若 a ? b ? c ? 3 ,则 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3 B.若 a ? b ? c ? 3 ,则 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3 C.若 a ? b ? c ? 3 ,则 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3 D.若 a 2 ? b 2 ? c 2 ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3 11. 阅读右边的程序框图, 运行相应的程序, 则输出 s 的值为 ( A.1 B.2 C.3 D.4 ).



12.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张, 则取出的 2 张卡片上的数字之和为奇数的概率为 A. 1 3 B. 2 3 C. 1 2 D. 3 4 ( ).

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)

13、关于函数 f(x)=4sin(2x+

?
3

), (x∈R)有下列结论:

①y=f(x)是以π 为最小正周期的周期函数; ? ②y=f(x)可改写为 y=4cos(2x- );
6

③y=f(x)的最大值为 4; ④y=f(x)的图象关于直线 x= 则其中正确结论的序号为 14、不等式 x 2 ? 2 x 的解集是

? 对称; 12

x2 y2 5 15、已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的离心率为 ,则双曲线的渐近线方程 a b 2
为 16、已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB ? 6, BC ? 2 3 , 则棱锥 O ? ABCD 的体积为

三、解答题:请写出详细的解题步骤和过程(6 个大题,共 70 分) 17、 (本题 10 分)
1 (1)已知抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ? ,求抛物线的标准方程; 4

(2)已知双曲线的焦点在 x 轴上,且过点( ? 2 ,- 3 ) , ( 线的标准方程。

15 , 2) ,求双曲 3

18、 (本题 12 分) 在 △ ABC 中, cos A ? ?
5 3 , cos B ? . 13 5

(Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)设 BC ? 5 ,求 △ ABC 的面积.

19、(本题 12 分) 已知棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中,
E 是 BC 的中点, F 为 A1 B1 的中点。
A1

D1 F B
1

C1

D

C

(1)求证: DE ? C1 F ; (2)求异面直线 A1C 与 C1 F 所成角的余弦值。

20、(本题12分) 已知等差数列{a (1)求{a
n n

}的前n 项和Sn 满足S3=0,S5=-5.

}的通项公式; 1

(2)求数列{

a2n-1a2n+1

}的前n 项和

21、(本题 12 分) 已知一个椭圆的焦点在 x 轴上、离心率为
a2 3 ,右焦点到右准线( x ? )的距离 c 2



3 。 3

(1)求椭圆的标准方程; (2)一条直线经过椭圆的一个焦点且斜率为 1,求直线与椭圆的两个交点之间的 距离。

22、(本题 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 相切. (1)求圆 O 的方程; (2)圆 O 与 x 轴相交于 A,B 两点,圆内的动点 P 使 PA , PO , PB 成等比数列,求
? ?? ? ??? 的取值范围. PA PB

景洪市第四中学 2014-2015 学年下学期期中试卷 高二数学参考答案 一、选择题: (每小题 5 分,共 60 分) 1.设集合 U ? {1 , 2, 3,, 4} A ? {1,, 2} B ? {2, 4} ,则 Cu ( A U B) ? ( D )

, 2, 4} A. {1
2. 已知 f ( x ) = ? A、 2 3.双曲线

B. {1 , 4}

C. {2}

D. {3}

? x ? 5( x ? 6) ,则 f (3) 的值为( A ) ? f ( x ? 4)( x ? 6)
B、 5 C、 4 D、3

x2 y2 x2 y2 ? ? 1 (-9< t <16 )的( C ) ? ? 1 与双曲线 16 ? t t ? 9 16 9
B、虚轴长相等 C、焦距相等
o

A、实轴长相等

D、离心率相等

4. 设 F 为抛物线 y 2 ? 4 x 的焦点, 过 F 且倾斜角为 30 的直线交抛物线于 A、 B 两点, 则 AB = ( A ) A、16 B 、6 C、12 D、

5. f ( x ) , g ( x) 是定义在 R 上的函数, h( x) ? f ( x) ? g ( x) ,则“ f ( x ) , g ( x) 均为偶函数” 是“ h( x) 为偶函数”的( C ) A.充要条件 C.充分而不必要的条件 6. 已知椭圆 ( D ) A、 + =1 45 36 B.必要而不充分的条件 D.既不充分也不必要的条件

x2 y2 + =1(a>b>0)的右焦点为 F(3,0),点(0,-3)在椭圆上,则椭圆的方程为 a2 b2 x2 y2 x2 y2 x2 y2

x2

y2

B、 + =1 36 27
?

C、 + = 1 27 18

D、 + =1 18 9

7.平面向量 a 与 b 的夹角为 60 , a ? (1,0) , b ? 1 ,则 a ? 2b =( B ) A. 7 B. 7 C.4 D.12

8.几何体的三视图如右图,则几何体的体积为( D )

2? 4? C. ? D. 3 3 , 且与过点(2,2)的圆的方程是( A ) 9.圆心为 (11)
A. B. A. ( x ?1) ? ( y ?1) ? 2
2 2

? 3

B. ( x ?1) ? ( y ?1) ? 4
2 2

C. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 2
2 2

D. ( x ? 1) ? ( y ? 1) ? 4
2 2

2 2 2 10. a, b, c ? R ,命题 “若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3 ”的否命题是( B )

2 2 2 A.若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3 2 2 2 B.若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3 2 2 2 C.若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3

D.若 a ? b ? c ? 3 ,则 a ? b ? c ? 3 11.阅读右边的程序框图,运行相应的程序,则输出 s 的值为 ( C ).
2 2 2

A.1

B.2

C.3

D.4

12.4 张卡片上分别写有数字 1,2,3,4,从这 4 张卡片中随机抽取 2 张,则取出的 2 张卡片上 的数字之和为奇数的概率为 A. 1 3 B. 2 3 C. 1 2 ( B ). 3 D. 4

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13、关于函数 f(x)=4sin(2x+

?
3

), (x∈R)有下列结论:

①y=f(x)是以π 为最小正周期的周期函数; ②y=f(x)可改写为 y=4cos(2x- ③y=f(x)的最大值为 4; ④y=f(x)的图象关于直线 x= 则其中正确的序号为
2

?
6

);

? 对称; 12
② ③ ④



14、不等式 x ? 2 x 的解集是 ?x | x ? 0 或 x ? 2?

x2 y2 5 15、已知双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的离心率为 ,则双曲线 a b 2

的渐近线方程为

y??

1 x 2

16、已知矩形 ABCD 的顶点都在半径为 4 的球 O 的球面上,且 AB ? 6, BC ? 2 3 ,则棱锥

O ? ABCD 的体积为

8 3

三、解答题:请写出详细的解题步骤和过程(6 个大题,共 70 分) 17、 (本题 10 分) (1)已知抛物线的顶点在原点,准线方程为 x ? ?

1 ,求抛物线的标准方程; 4

(2)已知双曲线的焦点在 x 轴上,且过点( ? 2 ,- 3 ) , ( 方程。

15 , 2) ,求双曲线的标准 3

答案: (1) y 2 ? x ;

(5 分) D1 F A1 B1 C1

y2 2 ? 1 (5 分) (2) x ? 3
18、 (本题 12 分) 在 △ ABC 中, cos A ? ?

5 3 , cos B ? . 13 5
D E A B C

(Ⅰ)求 sin C 的值; (Ⅱ)设 BC ? 5 ,求 △ ABC 的面积.

16 答案:(1) sin C ? sin( A ? B) ? ;(6 分) 65 1 8 (2) S ?ABC ? ab sin C ? (6 分) 2 3

19、(本题 12 分)已知棱长为 a 的正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, E 是 BC 的中点,F 为 A1 B1 的中点。(1)求证: DE ? C1 F ;(2)求异面直线 A1C 与 C1 F 所成角的余弦值。 解答:(1)证明:略。 (2) cos? ? (6 分) (6 分)

15 5

20、(本题12分)已知等差数列{an}的前n项和Sn满足S3=0,S5=-5. (1)求{an}的通项公式;(2)求数列{ 解:(1)因为 S3=0,S5=-5 ? ? 1

a2n-1a2n+1

}的前n项和

?3a1 ? 3d ? 0 ?a ? 1 ?? 1 ? a n ? 2 ? n 。(6 分) ?d ? ?1 ?5a1 ? 10d ? ?5

(2)

1 1 1 ? ? a 2 n ?1 a 2 n ?1 [2 ? (2n ? 1)][2 ? (2n ? 1)] (2n ? 3)(2n ? 1)
1

所以数列{

a2n-1a2n+1

}的前 n 项和 S n ?

1 1 1 1 ? ? ? ?+ (?1) ? 1 1 ? 3 3 ? 5 (2n ? 3)(2n ? 1)

=

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n [ ? ? ? ? ? ? ?+ ? ] = [?1 ? ]?? 。(6 分) 2 ?1 1 1 3 3 5 2n ? 3 2n ? 1 2 2n ? 1 2n ? 1

21、(本题 12 分)在平面直角坐标系 xOy 中,一个椭圆的焦点在 x 轴上、离心率为

3 ,右焦 2

点到右准线( x ?

a2 3 )的距离为 。 (1)求椭圆的标准方程; (2)一条直线经过椭圆的一 c 3

个焦点且斜率为 1,求直线与椭圆的两个交点之间的距离。

?c 3 2 ? ? ? ?a ? 2 ?a ? 4 ?a 2 ?? ?? 2 解: (1)由题意得 ? 2 ?c ? 3 ? ?b ? 1 ?a ? c ? 3 ? 3 ?c
所以椭圆的标准方程为

x2 ? y2 ?1。 4

(6 分)

?x2 2 ? ? y ?1 2 (2)不妨设直线方程为 y ? x ? 3 ,由方程组 ? 4 得 5 x ? 8 3x ? 8 ? 0 ?y ? x ? 3 ?

? x1 ? x 2 ?

8 3 8 ; x1 x 2 ? 5 5

所以直线与椭圆的两个交点之间的距离

8 3 2 8 | AB |? (1 ? k 2 )[( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ] ? (1 ? 1)[( ) ? 4? 5 5

?? 8。
5

(6 分)

22、(本题 12 分) 在直角坐标系 xOy 中,以 O 为圆心的圆与直线 x ? 3 y ? 4 相切. (1)求圆 O 的方程; ( 2 ) 圆 O 与 x 轴 相交 于 A,B 两 点, 圆内 的动点 P 使 PA , PO , PB 成 等比数 列, 求

? ?? ? ??? 的取值范围. PA PB
解: (1)依题设,圆 O 的半径 r 等于原点 O 到直线 x ? 3 y ? 4 的距离, 即

r?

4 ? 2 . 得圆 O 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 . 1? 3
2

(2)不妨设 A( x1,, 0) B( x2,, 0) x1 ? x2 .由 x ? 4 即得 设 P( x,y ) ,由 PA , PO , PB 成等比数列,得

A(?2,, 0) B(2, 0) .

( x ? 2) 2 ? y 2 ? ( x ? 2) 2 ? y 2 ? x 2 ? y 2 ,即 x2 ? y 2 ? 2 .

??? ? ??? ? PA?PB ? (?2 ? x, ? y)? (2 ? x, ? y)
? x 2 ? y 2 ? 4, ? 2 2 ? ? x ? y ? 2.

? x2 ? 4 ? y 2 ? 2( y 2 ? 1).

由于点 P 在圆 O 内,故 ?
2

?? ? ??? 0) . 由此得 y ? 1 .所以 ? 的取值范围为 [?2, PA PB

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