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【步步高】2017版高考数学(文,江苏专用)大二轮总复习练习:专题二第4讲导数的热点问题.doc


第4讲

导数的热点问题

(2016· 课标全国乙)已知函数 f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2 有两个零点. (1)求 a 的取值范围; (2)设 x1,x2 是 f(x)的两个零点,证明:x1+x2<2. (1)解 f′(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a). ①设 a=0,则 f(x)=(x-2)ex,f(x)只有一个零点. ②设 a>0,则当 x∈(-∞,1)时,f′(x)<0; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0, 所以 f(x)在(-∞,1)上单调递减, 在(1,+∞)上单调递增. a 又 f(1)=-e,f(2)=a,取 b 满足 b<0 且 b<ln , 2 3 a b2- b?>0, 则 f(b)> (b-2)+a(b-1)2=a? 2 ? ? 2 故 f(x)存在两个零点. ③设 a<0,由 f′(x)=0 得 x=1 或 x=ln(-2a). e 若 a≥- ,则 ln(-2a)≤1,故当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,因此 f(x)在(1,+∞)上单调递增. 2 又当 x≤1 时,f(x)<0,所以 f(x)不存在两个零点. e 若 a<- , 则 ln(-2a)>1, 故当 x∈(1, ln(-2a))时, f′(x)<0; 当 x∈(ln(-2a), +∞)时, f′(x)>0, 2 因此 f(x)在(1,ln(-2a))上单调递减,在(ln(-2a),+∞)上单调递增. 又当 x≤1 时,f(x)<0,所以 f(x)不存在两个零点. 综上,a 的取值范围为(0,+∞). (2)证明 不妨设 x1<x2,由(1)知,x1∈(-∞,1),x2∈(1,+∞),2-x2∈(-∞,1),f(x)在(- ∞,1)上单调递减,所以 x1+x2<2 等价于 f(x1)>f(2-x2),即 f(2-x2)<0. 由于 f(2-x2)= ? x2e
x

2? x2

+a(x2-1)2,

而 f(x2)=(x2-2) e 2 +a(x2-1)2=0, 所以 f(2-x2)= ? x2e


2? x2

? ( x2 ? 2)e x2 .


设 g(x)=-xe2 x-(x-2)ex,则 g′(x)=(x-1)(e2 x-ex),所以当 x>1 时,g′(x)<0,而 g(1)=0, 故当 x>1 时,g(x)<0,从而 g(x2)=f(2-x2)<0,故 x1+x2<2.

利用导数探求函数的极值、最值是函数的基本问题,高考中常与函数零点、方程根及不等式 相结合,难度较大.

热点一 利用导数证明不等式 用导数证明不等式是导数的应用之一, 可以间接考查用导数判定函数的单调性或求函数的最 值,以及构造函数解题的能力. 例 1 已知函数 f(x)=ex-x2+a,x∈R,曲线 y=f(x)的图象在点(0,f(0))处的切线方程为 y =bx. (1)求函数 y=f(x)的解析式; (2)当 x∈R 时,求证:f(x)≥-x2+x; (3)若 f(x)>kx 对任意的 x∈(0,+∞)恒成立,求实数 k 的取值范围. (1)解 根据题意,得 f′(x)=ex-2x,则 f′(0)=1=b. 由切线方程可得切点坐标为(0,0),将其代入 y=f(x), 得 a=-1,故 f(x)=ex-x2-1. (2)证明 令 g(x)=f(x)+x2-x=ex-x-1. 由 g′(x)=ex-1=0,得 x=0, 当 x∈(-∞,0)时,g′(x)<0,g(x)单调递减; 当 x∈(0,+∞)时,g′(x)>0,g(x)单调递增. ∴g(x)min=g(0)=0,∴f(x)≥-x2+x. f(x) (3)解 f(x)>kx 对任意的 x∈(0,+∞)恒成立等价于 >k 对任意的 x∈(0,+∞)恒成立. x xf′(x)-f(x) f(x) 令 φ(x)= ,x>0,得 φ′(x)= x x2 x(ex-2x)-(ex-x2-1) (x-1)(ex-x-1) = = . x2 x2 由(2)可知,当 x∈(0,+∞)时,ex-x-1>0 恒成立, 令 φ′(x)>0,得 x>1;令 φ′(x)<0,得 0<x<1. ∴y=φ(x)的单调增区间为(1,+∞),单调减区间为(0,1), φ(x)min=φ(1)=e-2, ∴k<φ(x)min=e-2, ∴实数 k 的取值范围为(-∞,e-2). 思维升华 用导数证明不等式的方法

(1)利用单调性:若 f(x)在[a,b]上是增函数,则①? x∈[a,b],则 f(a)≤f(x)≤f(b),②对? x1, x2∈[a,b],且 x1<x2,则 f(x1)<f(x2).对于减函数有类似结论. (2)利用最值:若 f(x)在某个范围 D 内有最大值 M(或最小值 m),则对? x∈D,则 f(x)≤M(或 f(x)≥m). (3)证明 f(x)<g(x),可构造函数 F(x)=f(x)-g(x),证明 F(x)<0. 跟踪演练 1 已知函数 f(x)=aln x+1(a>0). 1 1- ?; (1)当 x>0 时,求证:f(x)-1≥a? ? x? (2)在区间(1,e)上 f(x)>x 恒成立,求实数 a 的取值范围. 1? (1)证明 设 φ(x)=f(x)-1-a? ?1-x? 1? =aln x-a? ?1-x?(x>0), a a 则 φ′(x)= - 2. x x 令 φ′(x)=0,则 x=1,当 0<x<1 时,φ′(x)<0, 所以 φ(x)在(0,1)上单调递减;当 x>1 时,φ′(x)>0, 所以 φ(x)在(1, +∞)上单调递增, 故 φ(x)在 x=1 处取到极小值也是最小值, 故 φ(x)≥φ(1)=0, 1? 即 f(x)-1≥a? ?1-x?. x-1 (2)解 由 f(x)>x 得 aln x+1>x,即 a> . ln x x-1 ln x- x x-1 令 g(x)= (1<x<e),则 g′(x)= . ln x (ln x)2 x-1 1 1 令 h(x)=ln x- (1<x<e),则 h′(x)= - 2>0, x x x 故 h(x)在区间(1,e)上单调递增,所以 h(x)>h(1)=0. 因为 h(x)>0,所以 g′(x)>0,即 g(x)在区间(1,e)上单调递增, x-1 则 g(x)<g(e)=e-1,即 <e-1, ln x 所以 a 的取值范围为[e-1,+∞).

热点二 利用导数讨论方程根的个数 方程的根、函数的零点、函数图象与 x 轴的交点的横坐标是三个等价的概念,解决这类问题 可以通过函数的单调性、极值与最值,画出函数图象的走势,通过数形结合思想直观求解. 例 2 已知函数 f(x)=(ax2+x-1)ex,其中 e 是自然对数的底数,a∈R. (1)若 a=1,求曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程;

1 1 (2)若 a=-1,函数 y=f(x)的图象与函数 g(x)= x3+ x2+m 的图象有 3 个不同的交点,求实 3 2 数 m 的取值范围. 解 (1)当 a=1 时,f(x)=(x2+x-1)ex, 所以 f′(x)=(x2+x-1)ex+(2x+1)ex=(x2+3x)ex, 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线斜率为 k=f′(1)=4e. 又因为 f(1)=e, 所以所求切线的方程为 y-e=4e(x-1), 即 4ex-y-3e=0. (2)当 a=-1 时,f(x)=(-x2+x-1)ex, f′(x)=(-x2-x)ex, 所以 y=f(x)在(-∞,-1)上单调递减,在(-1,0)上单调递增,在(0,+∞)上单调递减, 3 故 f(x)在 x=-1 处取得极小值- ,在 x=0 处取得极大值-1. e 而 g′(x)=x2+x,所以 y=g(x)在(-∞,-1)上单调递增,在(-1,0)上单调递减,在(0,+∞) 上单调递增. 1 故 g(x)在 x=-1 处取得极大值 +m,在 x=0 处取得极小值 m. 6 因为函数 y=f(x)与 y=g(x)的图象有 3 个不同的交点, 所以 f(-1)<g(-1)且 f(0)>g(0), 3 1 3 1 所以- - <m<-1,即 m 的取值范围为(- - ,-1). e 6 e 6 思维升华 (1)函数 y=f(x)-k 的零点问题,可转化为函数 y=f(x)和直线 y=k 的交点问题. (2)研究函数 y=f(x)的值域,不仅要看最值,而且要观察随 x 值的变化 y 值的变化趋势. 跟踪演练 2 已知函数 f(x)=2ln x-x2+ax(a∈R). (1)当 a=2 时,求 f(x)的图象在 x=1 处的切线方程; 1 ? (2)若函数 g(x)=f(x)-ax+m 在? ?e,e?上有两个零点,求实数 m 的取值范围. 解 (1)当 a=2 时,f(x)=2ln x-x2+2x, 2 f′(x)= -2x+2,切点坐标为(1,1), x 切线的斜率 k=f′(1)=2, 则切线方程为 y-1=2(x-1),即 2x-y-1=0. (2)g(x)=2ln x-x2+m, -2(x+1)(x-1) 2 则 g′(x)= -2x= . x x

1 ? 因为 x∈? ?e,e?,所以当 g′(x)=0 时,x=1. 1 当 <x<1 时,g′(x)>0;当 1<x<e 时,g′(x)<0. e 故 g(x)在 x=1 处取得极大值 g(1)=m-1. 1? 1 2 又 g? ?e?=m-2-e2,g(e)=m+2-e , 1? 1 2 g(e)-g? ?e?=4-e +e2<0, 1? 则 g(e)<g? ? e ?, 1 ? 所以 g(x)在? ?e,e?上的最小值是 g(e). 1 ? g(x)在? ?e,e?上有两个零点的条件是 g(1)=m-1>0, ? ? ? ?1? 1 g?e?=m-2- 2≤0, ? e ? 1 解得 1<m≤2+ 2, e 1? 所以实数 m 的取值范围是? ?1,2+e2?.

热点三 利用导数解决生活中的优化问题 生活中的实际问题受某些主要变量的制约, 解决生活中的优化问题就是把制约问题的主要变 量找出来,建立目标问题即关于这个变量的函数,然后通过研究这个函数的性质,从而找到 变量在什么情况下可以达到目标最优. 例 3 某村庄拟修建一个无盖的圆柱形蓄水池(不计厚度).设该蓄水池的底面半径为 r 米, 高为 h 米,体积为 V 立方米.假设建造成本仅与表面积有关,侧面的建造成本为 100 元/平 方米, 底面的建造成本为 160 元/平方米, 该蓄水池的总建造成本为 12 000π 元(π 为圆周率). (1)将 V 表示成 r 的函数 V(r),并求该函数的定义域; (2)讨论函数 V(r)的单调性,并确定 r 和 h 为何值时该蓄水池的体积最大. 解 (1)因为蓄水池侧面的总成本为 100·2πrh=200πrh(元),底面的总成本为 160πr2 元. 所以蓄水池的总成本为(200πrh+160πr2)元. 又根据题意得 200πrh+160πr2=12 000π, 1 所以 h= (300-4r2), 5r π 从而 V(r)=πr2h= (300r-4r3). 5

因为 r>0,又由 h>0 可得 r<5 3, 故函数 V(r)的定义域为(0,5 3). π (2)因为 V(r)= (300r-4r3), 5 π 故 V′(r)= (300-12r2), 5 令 V′(r)=0,解得 r1=5,r2=-5(因为 r2=-5 不在定义域内,舍去). 当 r∈(0,5)时,V′(r)>0,故 V(r)在(0,5)上为增函数; 当 r∈(5,5 3)时,V′(r)<0,故 V(r)在(5,5 3)上为减函数. 由此可知,V(r)在 r=5 处取得最大值,此时 h=8. 即当 r=5,h=8 时,该蓄水池的体积最大. 思维升华 利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤 (1)建模:分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模型,写出实际问题中变 量之间的函数关系式 y=f(x). (2)求导:求函数的导数 f′(x),解方程 f′(x)=0. (3)求最值:比较函数在区间端点和使 f′(x)=0 的点的函数值的大小,最大(小)者为最大(小) 值. (4)作答:回归实际问题作答. 跟踪演练 3 经市场调查,某商品每吨的价格为 x(1<x<14)百元时,该商品的月供给量为 y1 7 1 1 万吨,y1=ax+ a2-a(a>0);月需求量为 y2 万吨,y2=- x2- x+1. 当该商品的需求 2 224 112 量大于供给量时,销售量等于供给量;当该商品的需求量不大于供给量时,销售量等于需求 量,该商品的月销售额等于月销售量与价格的乘积. 1 (1)若 a= ,问商品的价格为多少时,该商品的月销售额最大? 7 (2)记需求量与供给量相等时的价格为均衡价格,若该商品的均衡价格不低于每吨 6 百元, 求实数 a 的取值范围. 1 解 (1) 若 a= ,由 y2>y1, 7 1 1 1 71 1 得- x2- x+1> x+ ( )2- . 224 112 7 27 7 解得-40<x<6. 因为 1<x<14,所以 1<x<6. 设该商品的月销售额为 g(x),
?y1· x,1<x<6, ? 则 g(x)=? ?y2· x,6≤x<14. ?

1 1 33 当 1<x<6 时,g(x)= (x- )x<g(6)= . 7 2 7 当 6≤x<14 时,g(x)=(- 1 2 1 x - x+1)x, 224 112

1 则 g′(x)=- (3x2+4x-224) 224 1 =- (x-8)(3x+28), 224 由 g′(x)>0,得 x<8, 所以 g(x)在[6,8)上是增函数,在(8,14)上是减函数, 36 当 x=8 时,g(x)有最大值 g(8)= . 7 1 1 7 (2)设 f(x)=y1-y2= x2+( +a)x+ a2-1-a, 224 112 2 因为 a>0,所以 f(x)在区间(1,14)上是增函数, 若该商品的均衡价格不低于 6 百元,即函数 f(x)在区间[6,14)上有零点,
?f(6)≤0, ? 所以? ? ?f(14)>0,

?7a +10a- 7 ≤0, 即? 7 ?2a +13a>0,
2 2

11

1 解得 0<a≤ . 7

1 已知函数 f(x)= x2-(2a+2)x+(2a+1)ln x. 2 (1)当 a=0 时,求曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程; (2)求 f(x)的单调区间; 3 5? 1 1 , ,x1,x2∈[1,2],恒有|f(x1)-f(x2)|≤λ| - |,求正实数 λ 的取值范围. (3)对任意的 a∈? 2 2 ? ? x1 x2 押题依据 有关导数的综合应用试题多考查导数的几何意义、 导数与函数的单调性、 导数与 不等式等基础知识和基本方法,考查分类整合思想、转化与化归思想等数学思想方法.本题 的命制正是根据这个要求进行的,全面考查了考生综合求解问题的能力. 1 解 (1)当 a=0 时,f(x)= x2-2x+ln x, 2 1 3 f′(x)=x-2+ ,且 f(1)=- ,f′(1)=0, x 2

3 故曲线 y=f(x)在(1,f(1))处的切线方程为 y=- . 2 2a+1 [x-(2a+1)](x-1) (2)f′(x)=x-(2a+2)+ = ,x>0. x x 1 ①当 2a+1≤0,即 a≤- 时,函数 f(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增; 2 1 ②当 0<2a+1<1,即- <a<0 时,函数 f(x)在(2a+1,1)上单调递减,在(0,2a+1),(1,+∞) 2 上单调递增; ③当 2a+1=1,即 a=0 时,函数 f(x)在(0,+∞)上单调递增; ④当 2a+1>1,即 a>0 时,函数 f(x)在(1,2a+1)上单调递减,在(0,1),(2a+1,+∞)上单调 递增. 3 5? (3)根据(2)知,当 a∈? ?2,2?时,函数 f(x)在[1,2]上单调递减. 1 1 若 x1=x2,则不等式|f(x1)-f(x2)|≤λ| - |对任意正实数 λ 恒成立,此时 λ∈(0,+∞). x1 x2 若 x1≠x2,不妨设 1≤x1<x2≤2, 1 1 则 f(x1)>f(x2), > , x1 x2 1 1? 原不等式即 f(x1)-f(x2)≤λ? ?x -x ?,
1 2

3 5? λ λ 即 f(x1)- ≤f(x2)- 对任意的 a∈? ?2,2?,x1,x2∈[1,2]恒成立, x1 x2 λ 3 5 设 g(x)=f(x)- ,则对任意的 a∈[ , ],x1,x2∈[1,2],不等式 g(x1)≤g(x2)恒成立, x 2 2 即函数 g(x)在[1,2]上为增函数, 3 5? 故 g′(x)≥0 对任意的 a∈? ?2,2?,x∈[1,2]恒成立. 2a+1 λ g′(x)=x-(2a+2)+ + 2≥0, x x 即 x3-(2a+2)x2+(2a+1)x+λ≥0, 3 5? 即(2x-2x2)a+x3-2x2+x+λ≥0 对任意的 a∈? ?2,2?恒成立. 由于 x∈[1,2],2x-2x2≤0, 5 故只要(2x-2x2)× +x3-2x2+x+λ≥0, 2 即 x3-7x2+6x+λ≥0 对任意的 x∈[1,2]恒成立. 令 h(x)=x3-7x2+6x+λ,x∈[1,2], 则 h′(x)=3x2-14x+6<0 恒成立, 故函数 h(x)在区间[1,2]上是减函数,

所以 h(x)min=h(2)=λ-8,只要 λ-8≥0 即可,即 λ≥8, 故实数 λ 的取值范围是[8,+∞).

A 组 专题通关 1. 函数 f(x)的定义域为 R, f(-1)=3, 对任意 x∈R, f′(x)<3, 则 f(x)>3x+6 的解集为__________. 答案 (-∞,-1) 解析 设 g(x)=f(x)-(3x+6),则 g′(x)=f′(x)-3<0,所以 g(x)为减函数,又 g(-1)=f(-1) -3=0,所以根据单调性可知 g(x)>0 的解集是{x|x<-1}. 2. 设 a>0, b>0, e 是自然对数的底数, 若 ea+2a=eb+3b, 则 a 与 b 的大小关系为________. 答案 a>b 解析 由 ea+2a=eb+3b,有 ea+3a>eb+3b, 令函数 f(x)=ex+3x,则 f(x)在(0,+∞)上单调递增, 因为 f(a)>f(b),所以 a>b. 3.若不等式 2xln x≥-x2+ax-3 恒成立,则实数 a 的取值范围为__________. 答案 (-∞,4] 3 解析 条件可转化为 a≤2ln x+x+ (x>0)恒成立. x 3 设 f(x)=2ln x+x+ , x 则 f′(x)= (x+3)(x-1) (x>0). x2

当 x∈(0,1)时,f′(x)<0,函数 f(x)单调递减; 当 x∈(1,+∞)时,f′(x)>0,函数 f(x)单调递增, 所以 f(x)min=f(1)=4.所以 a≤4. 4.如果函数 f(x)=ax2+bx+cln x(a,b,c 为常数,a>0)在区间(0,1)和(2,+∞)上均单调递增, 在(1,2)上单调递减,则函数 f(x)的零点个数为________. 答案 1 c 解析 由题意可得 f′(x)=2ax+b+ , x f′(1)=2a+b+c=0, ? ?b=-6a, ? ? 则? 解得? 所以 f(x)=a(x2-6x+4ln x),则极大值 f(1)=- c ? c = 4 a , ? ? ?f′(2)=4a+b+2=0, 5a<0,极小值 f(2)=a(4ln 2-8)<0,又 f(10)=a(40+4ln 10)>0,结合函数图象(图略)可得该 函数只有一个零点.

5.做一个无盖的圆柱形水桶,若要使其体积是 27π dm3,且用料最省,则圆柱的底面半径 为________ dm. 答案 3 解析 设圆柱的底面半径为 R dm,母线长为 l dm,则 V=πR2l=27π,所以 l= 料最省,只需使圆柱形水桶的表面积最小. 27 54π S 表=πR2+2πRl=πR2+2π· ,所以 S′表=2πR- 2 .令 S′表=0,得 R=3,则当 R=3 时,S 表 R R 最小. 6.关于 x 的方程 x3-3x2-a=0 有三个不同的实数解,则实数 a 的取值范围是__________. 答案 (-4,0) 解析 由题意知使函数 f(x)=x3-3x2-a 的极大值大于 0 且极小值小于 0 即可,又 f′(x)=3x2 -6x=3x(x-2),令 f′(x)=0,得 x1=0,x2=2,当 x<0 时,f′(x)>0;当 0<x<2 时,f′(x)<0; 当 x>2 时,f′(x)>0,所以当 x=0 时,f(x)取得极大值,即 f(x)极大值=f(0)=-a;当 x=2 时,f(x) 取得极小值,即 f(x)极小值=f(2)=-4-a,
?-a>0, ? 所以? 解得-4<a<0. ?-4-a<0, ?

27 ,要使用 R2

7. 如果对定义在 R 上的函数 f(x), 对任意两个不相等的实数 x1, x2, 都有 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2) +x2f(x1),则称函数 f(x)为“H 函数”.给出下列函数:
? ?ln|x|,x≠0, ①y=-x3+x+1;②y=3x-2(sin x-cos x);③y=ex+1;④f(x)=? 以上函数是 ?0,x=0. ?

“H 函数”的所有序号为________. 答案 ②③ 解析 因为 x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1), 即(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 恒成立, 所以函数 f(x)在 R 上是增函数. 由 y′=-3x2+1>0 得- 3 3 3 3 <x< , 即函数在区间?- , ? 3 3 ? 3 3?

π? 上是增函数,故①不是“H 函数”;由 y′=3-2(cos x+sin x)=3-2 2sin? ?x+4?≥3-2 2>0 恒 成立,所以②为“H 函数”;由 y′=ex>0 恒成立,所以③为“H 函数”;由于④为偶函数,所以 不可能在 R 上是增函数,所以不是“H 函数”.综上可知,是“H 函数”的有②③. 1 4 8.已知函数 f(x)= x3-x2-3x+ ,直线 l:9x+2y+c=0,若当 x∈[-2,2]时,函数 y=f(x) 3 3 的图象恒在直线 l 下方,则 c 的取值范围是________. 答案 (-∞,-6)

1 4 9 c c 1 3 4 解析 根据题意知 x3-x2-3x+ <- x- 在 x∈[-2,2]上恒成立,则- > x3-x2+ x+ , 3 3 2 2 2 3 2 3 1 3 4 3 设 g(x)= x3-x2+ x+ ,则 g′(x)=x2-2x+ , 3 2 3 2 则 g′(x)>0 恒成立,所以 g(x)在[-2,2]上单调递增, 所以 g(x)max=g(2)=3,则 c<-6. 9.如图, OA 是南北方向的一条公路, OB 是北偏东 45° 方向的一条公路, 某风景区的一段边界为曲线 C,为方便游客观光,拟定在曲线 C 上某 点 P 处分别修建与公路 OA,OB 垂直的两条道路 PM,PN,且 PM, PN 的造价分别为 5 万元/百米,40 万元/百米,建立如图所示的平面直 4 2 角坐标系 xOy,则曲线 C 符合函数 y=x+ 2 (1≤x≤9)模型,设 PM=x, x 修建两条道路 PM,PN 的总造价为 f(x)万元,题中所涉及长度单位均为百米. (1)求 f(x)的解析式; (2)当 x 为多少时,总造价 f(x)最低?并求出最低造价. 4 2 解 (1)在如图所示的平面直角坐标系中,因为曲线 C 的方程为 y=x+ 2 (1≤x≤9),PM=x, x 4 2 所以点 P 的坐标为(x,x+ 2 ),直线 OB 的方程为 x-y=0. x 则点 P 到直线 x-y=0 的距离为

?x-(x+4 22)? ?4 22? x ? ? x ? 4 ?
2 = 2

= 2. x

又 PM 的造价为 5 万元/百米,PN 的造价为 40 万元/百米, 则两条道路总造价为 4 32 f(x)=5x+40·2=5(x+ 2 )(1≤x≤9). x x 32 (2)因为 f(x)=5(x+ 2 ), x
3 64 5(x -64) 所以 f′(x)=5(1- 3 )= . x x3

令 f′(x)=0,得 x=4,列表如下: x f′(x) f(x) (1,4) - ?↘ 4 0 极小值 (4,9) + ?↗

32 所以当 x=4 时,函数 f(x)有最小值,最小值为 f(4)=5× (4+ 2 )=30. 4

B 组 能力提高 π 0, ?上的函数 f(x),f′(x)是它的导函数,且恒有 f(x)<f′(x)tan x 成立,给出以下 10.定义在? ? 2? 四个关系式,其中正确的是________. π? ?π? ① 3f? ?4?> 2f?3?; π? ?π? ③ 2f? ?6?>f?4?; 答案 ④ 解析 ∵f(x)<f′(x)tan x, 即 f′(x)sin x-f(x)cos x>0, f(x) ? f′(x)sin x-f(x)cos x ∴? >0, ?sin x?′= sin2x f(x) ? π? ∴函数 在 0, 上单调递增, sin x ? 2? π? ?π? 从而 < ,即 3f? ?6?<f?3?. π π sin sin 6 3 11.设函数 f(x)在 R 上存在导函数 f′(x),对任意 x∈R,都有 f(x)+f(-x)=x2,且 x∈(0,+∞) 时,f′(x)>x,若 f(2-a)-f(a)≥2-2a,则实数 a 的取值范围是________. 答案 (-∞,1] 1 1 解析 令 g(x)=f(x)- x2,则 g(-x)=f(-x)- x2,则 g(x)+g(-x)=f(x)+f(-x)-x2=0,得 2 2 g(x)为 R 上的奇函数.当 x>0 时,g′(x)=f′(x)-x>0,故 g(x)在(0,+∞)上单调递增,再结合 g(0)=0 及 g(x)为奇函数, 知 g(x)在 R 上为增函数. 又 g(2-a)-g(a)=f(2-a)- (2-a)2 -[f(a) 2 π? f? ?6? π? f? ?3? π? ②f(1)<2f? ?6?sin 1; π? ?π? ④ 3f? ?6?<f?3?.

a2 - ]=f(2-a)-f(a)-2+2a≥(2-2a)-2+2a=0, 则 g(2-a)≥g(a)?2-a≥a?a≤1, 即 a∈(- 2 ∞,1]. 12. 直线 y=a 分别与直线 y=2(x+1), 曲线 y=x+ln x 交于点 A, B, 则 AB 的最小值为______. 答案 3 2

a 解析 解方程 2(x+1)=a,得 x= -1. 2 设方程 x+ln x=a 的根为 t(t>0),则 t+ln t=a, a ? ? t+ln t ? ? t ln t ? 则 AB=? ?t-2+1?=?t- 2 +1?=?2- 2 +1?.

t ln t 设 g(t)= - +1(t>0), 2 2 1 1 t-1 则 g′(t)= - = (t>0), 2 2t 2t 令 g′(t)=0,得 t=1. 当 t∈(0,1)时,g′(t)<0;当 t∈(1,+∞)时,g′(t)>0, 3 所以 g(t)min=g(1)= , 2 3 3 所以 AB≥ ,所以 AB 的最小值为 . 2 2 1 1 13.已知函数 f(x)= x3+ kx2+k(k∈R). 3 2 (1)若曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线的斜率为 12,求函数 f(x)的极值; (2)设 k<0,g(x)=f′(x),求 F(x)=g(x2)在区间(0, 2]上的最小值. 1 1 解 (1)函数 f(x)= x3+ kx2+k 的导数为 f′(x)=x2+kx. 3 2 由题意可得 f′(2)=4+2k=12,解得 k=4, 1 即 f(x)= x3+2x2+4,f′(x)=x2+4x. 3 当 x>0 或 x<-4 时,f′(x)>0,f(x)单调递增; 当-4<x<0 时,f′(x)<0,f(x)单调递减. 可得 f(x)的极小值为 f(0)=4, 44 f(x)的极大值为 f(-4)= . 3 (2)由题意得 g(x)=x2+kx. k k2 k 设 t=x2∈(0,2],可得 F(x)=h(t)=t2+kt=(t+ )2- ,k<0,- >0. 2 4 2 k k k2 ①当-4<k<0 时,- ∈(0,2),h(t)min=h(- )=- ; 2 2 4 k ②当 k≤-4 时,- ∈[2,+∞),h(t)在(0,2)上单调递减,h(t)min=h(2)=4+2k. 2 k ? ?- 4 ,-4<k<0, 综上可得,h(t)min=? ? ?4+2k,k≤-4.
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