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高三数学模拟试题(文)


本文由刘顺祥 08213257 贡献 doc 文档可能在 WAP 端浏览体验不佳。建议您优先选择 TXT,或下载源文件到本机查看。 高三数学模拟试题(文) 黄光远 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.定义 A-B={x|x∈A,且 x ? B},若 A={1,3,5,7,9},B={2,3,5}则 A-B 等于 A.A 2.等比数列 A. 4 B.B C.{2} D.{1,7,9} ) {an } 中, a4 = 4 ,则 a2 ? a6 等于( B. 8 C. 16 D. 32 sin 2 x + sin(2 x + 3.y= π 3 ) 的最小正周期是 cos 2 x + cos(2 x + A. π B. π 3 ) C. π 2 π 4 D. π 8 3 , 0) ,则角 A 的内角平分线所在的 3 4.已知三角形 ABC 三个顶点为 直线方程为( A. x ? C. x ? ) A(1,1), B (1 ? 3, 0), C (1 ? y=0 y = 0 或 x+ y ?2 = 0 B. y= 3 3 x +1? 2 2 y?2=0 D. x + 5.如果 a、 是异面直线,给出以下四个结论:①过空间内任何一点可以作一个和 a、b 都平行的平面 ② b 过直线 a 有且只有一个平面和 b 平行 ③有且只有一条直线和 a、 都 垂直 ④过空间内任何一点可以做一 b 条直线和 a、 都相交, b 则正确的结论是 A. B. ② ② ③ C.②③④ D.①②③ ) 6. 已知正三棱锥的侧棱长是底面边长的 2 倍,则侧棱与底面 所成角的余弦值等于( A. 3 6 B. 3 4

C. 2 2 C. (? D. 3 2 7.直线 x + A. (0, y = 1 与圆 x 2 + y 2 ? 2ay = 0(a > 0) 没有公共点,则 a 的取值范围是 2 ? 1) B. ( 2 ? 1, 2 + 1) 2 ? 1, 2 + 1) D. (0, 2 + 1) 8.若 a>0,b>0,则不等式 a> 1 >-b 的解集为 x 1 1 A. (- ,0) U (0, ) b a 1 1 C. (-∞,- ) U ( , +∞) b a 1 1 ,0) U (0, ) a b 1 1 D.(- , ) a b B. (- 9. 已知曲线 y= x2 4 的一条切线的斜率为 1 ,则切点的横坐标为( 2 ) A.1 B.2 C.3 D.4 2 x ? y + 2 ≥ 0 ? 2 2 10.如果点 P 在平面区域 ? x + y ? 2 ≤ 0 上,点 O 在曲 线 x + ( y + 2) = 1 上, 那么 | PQ | 的 最 ? 2y ?1 ≥ 0 ? 小值为 (A) 3 2 (B) 4 5 1 (C) 2 2 ?1 (D) 2 ?1 11. 把边长为 2 的正方形 ABCD 沿对角线 AC 折成直二面角,折成直二面角后,在 A,B,C,D 四点所在 的球 (B) π

面上,B 与 D 两点之间的球面距离为 (A) 2π 2 1 7 (C) π 2 3 7 (D) π 3 ) 12. 在正方体上任选 3 个顶点连成三角形, 则所得的三角形是直角非等腰三角形的概率 为( . A. B. . 2 7 C. D. 4 7 二、 填空题: 本大题共 4 小题, 每小题 5 分, 20 分, 共 把答案填在题中横线上. 13. 在 ( x 4 1 + )10 的展开式中常数项是_____。 (用数字作答) x 的最小值为. 15. y=(4-3sinx) (4-3cosx) · 14.已知长方形 ABCD , AB 率为. 16.下列四 个命题 ①函数 f(x)=x+ = 4 , BC = 3 ,则以 A,B 为焦点,且过 C,D 两点的椭圆的离心 1 的值域是(-∞,-2]∪[2,+∞); x ②已知命题 p 与命题 q,若 p 是 q 的充分不必要条件,则 ③二项式(a+b) 的展开式 中系数最大的项为第 3 项; 4 p 是 q 的充分不必要条件; (把你认为正确的序 ④方程|x|+|y|=1 的曲线围成的图形的面积是 4。其中正确命题的序号是 号都填上) 。 三、 解答题: 本大题共 6 小题, 70 分解答应写出文字说明、 共 证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 10 分) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对应的边分别为 a, b, c , a = 2 3 , tan A+ B C + tan = 4, 2 2 2 sin B cos C = sin A ,求 A, B 及 b, c . 18.(本小题满分 12 分) 甲、乙两个篮球运动员互不影响地在同一位置投球,命中率 分别为 概率为 1 与 p ,且乙投球 2 2 次均未命中的 1 . 16 (Ⅰ)求乙投球的命中率

p; (Ⅱ)求甲投球 2 次,至少命中 1 次的概率; (Ⅲ)若甲、乙两人各投球 2 次,求 两人共命中 2 次的概率. 19. (本小题满分 12 分) 如图, 在三棱锥 P-ABC 中, AC=BC=2, ∠ACB=90°, AP=BP=AB, PC⊥AC. (Ⅰ)求证:PC⊥AB; (Ⅱ)求二面角 B-AP-C 的大小. (Ⅲ)求点 C 到平面 APB 的距离. 20. (本题满分 12 分) 已知 x = 3 是函数 f ( x ) = a ln (1 + x ) + x 2 ? 10 x 的一个极值点。 f ( x ) 的单调区间。 (Ⅰ)求 a ; (Ⅱ)求函数 21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1 的方程为 x2 + y 2 = 1 ,双曲线 C2 的左、右焦点分别为 C1 的左、右顶点,而 C2 的 4 左、右顶点分别是 C1 的左、右焦点. (Ⅰ)求双曲线 C2 的方程; (Ⅱ)若直线 l : y = kx + 2 与椭圆 C1 及双曲线 C2 都恒有两个不同的交点,且 l 与 C2 的两个交 点 A 和 B 满足 OA ? OB < 6 (其中 O 为原点) k 的取值范围 ,求 22. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 的首项 a1 = 5, 前 n 项和为 Sn ,且 Sn+1 = Sn + n + 5(n ∈ N * ) {an + 1} 是等比数列; (I)证明数列 (II )令 f ( x) = a1 x + a2 x 2 + L + an x n ,求函数 f ( x) 在点 x = 1 处的导数 f ′ (1) 并比较 2 f ′(1) 与 23n 2 ? 13n 的大小. 数学参考答案及评分标准 一、 .D 1 2.C 3.C 4.A 5.A 6.A 7. 解: 由圆 x 2 + y 2 ? 2ay = 0(a > 0) 的 3 圆心 (0, a ) 到直线 x + 8. C 9.A y = 1 大于 a ,且 a > 0 ,选 A。 11. 12. 解:在正方体上任选 3 个顶点连成三角形可得 C8 个三角形, 10. 要得直角非等腰三角形, 则每个顶点上可得三个(即正方体的一边与过此点的一条面对 角线), 共有 24 个, . 得 .

24 C83 ,所以选 C。 二、13. 14. 7 2 15. 1 2 tan 16.①③ 三、17.(10 分)解:由 A+ B C C C + tan = 4 得 cot + tan = 4 2 2 2 2 C C sin 1 2 + 2 =4 ∴ ∴ =4 C C C C sin cos sin cos 2 2 2 2 1 ∴ sin C = ,又 C ∈ (0, π ) 2 π 5π ∴ C = ,或 C = 6 6 cos 由 2 sin B cos C 即 sin( B ? C ) = sin A 得 2 sin B cos B = sin( B + C ) ∴B =0 =C B=C = π 6 2π 3 a b c 由正弦定理 = = 得 sin A sin B sin C 1 sin B b=c=a = 2 3× 2 = 2 sin A 3 2 A = π ? (B + C) = 18. 解:本小题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率的基础知识,考查 运用概率知识解 决实际问题的能力.满分 12 分. (Ⅰ)解法一:设“甲投球一次命中” 为事件 A, “乙投球一次命中”为事件 B. 由题意得 解得 (1 ? P(B ))2 = (1 ? p )2 = 1 16 p= 3 5 3 或 (舍去) ,所以乙投球的命中率为 . 4 4 4 = 1 1 1 3 ,于是 P ( B ) = 或 P ( B ) = ? (舍去) ,故 p = 1 ? P ( B ) = . 16 4 4 4 解法二:设设“甲投球一次命中”为事件 A, “乙投球一次命中”为事件 B. 由题意 得 P ( B ) P ( B ) 所以乙投球的命中率为 3 . 4 (Ⅱ)解法一:由题设和(Ⅰ)知 P ( A) = 1 , P (A) = 1 . P A? A = 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 1 ? 解法二: 由题设和(Ⅰ)知 P ( 2 ) 2 3 4 ( A) = 1 , P (A) = 1

2 1 2 故甲投球 2 次至少命中 1 次的概率为 C 2 P 4 1 1 3 1 (Ⅲ)由题设和(Ⅰ)知, P ( A) = , P A = , P (B ) = , P B = 2 2 4 4 ( A)P (A) + P( A)P( A) = 3 () () 甲、乙两人各投球 2 次,共命中 2 次有三种情况:甲、乙两人各中一次;甲中两次, 乙两次均不中;甲 两次均不中,乙中 2 次。概率分别为 1 1 C 2 P ( A)P A ? C 2 P (B )P B = () ( () 1 , 64 9 P A ? A P(B ? B ) = 64 P ( A ? A)P B ? B = ) 3 , 16 ( ) 所以甲、乙两人各投两次,共命中 2 次的概率为 19. 解法一: (Ⅰ)取 AB 中点 D, 连结 PD,CD. ∵AP=BP, ∴PD⊥AB. ∵AC=BC. ∴CD⊥AB. ∵PD∩CD=D. ∴AB⊥平面 PCD. ∵PC ? 平面 PCD, ∴PC⊥AB. (Ⅱ)∵AC=BC,AP=BP, ∴△APC≌△BPC. 又 PC⊥AC, ∴PC ⊥BC. 又∠ACB=90°,即 AC⊥BC, 且 AC∩PC=C, ∴AB=BP, ∴BE⊥AP. ∵EC 是 BE 在 平面 PAC 内的射影, ∴CE⊥AP. ∴∠BEC 是二面角 B-AP-C 的平面角. 在△BCE 中,∠ BCE=90°,BC=2,BE= 3 1 9 11 + + = . 16 64 64 32 3 AB = 6 , 2 ∴sin∠BEC= BC 6 = . BE 3 6 . 3 (Ⅲ)由(Ⅰ)知 AB ⊥ 平面 PCD , ∴ 平面 APB ⊥ 平面 PCD . 过 C 作 CH ⊥ PD ,垂足为 H . Q 平面 APB I 平面 PCD = PD , ∴ CH ⊥ 平面 APB . ∴ CH 的长 即为点 C 到平面 APB 的距离. 由(Ⅰ)知 PC ⊥ AB ,又 PC ⊥ AC ,且 AB I AC = A , ∴ PC ⊥ 平面 ABC . Q CD ? 平面 ABC , ∴ PC ⊥ CD . 1 3 在 Rt △PCD 中, CD = AB = 2 , PD = PB = 6 , 2 2 PC CD 2 3 ∴ PC = PD 2 ? CD 2 = 2 . ∴ CH = = . PD 3 2 3 ∴ 点 C 到平面 APB 的距离为 . 3 a ' 20. 解(Ⅰ)因为 f ( x ) = + 2 x ? 10 1+ x a ' 所以 f ( 3 ) = + 6 ? 10 = 0 4 因此 a = 16 ∴二面角 B-AP-C 的大小为 aresin (Ⅱ)由(Ⅰ)知, f ( x ) = 16 ln (1 + x ) + x 2 ? 10 x, x ∈ ( ?1, +∞ ) f 当 x∈ 当 x∈ 所以 ' ( x) = 2 ( x 2 ? 4 x + 3) 1+ x ( ?1,1) U ( 3, +∞ ) 时, f ' ( x ) > 0 (1,3) 时, f ' ( x ) < 0

f ( x ) 的单调增区间是 ( ?1,1) , ( 3, +∞ ) f ( x ) 的单调减区间是 (1,3) 21. (本小题 12 分) 2 解: (Ⅰ)设双曲线 C2 的方程为 x ? y = 1 ,则 a 2 2 2 2 a b = 4 ? 1 = 3, 再由 a 2 + b 2 = c 2 得 b 2 = 1. x2 故 C2 的方程为 ? y 2 = 1. 3 (II)将 y = kx + 2 代入 x2 + y 2 = 1 得(1 + 4k 2 ) x 2 + 8 2kx + 4 = 0. 4 由直线 l 与椭圆 C1 恒有两个不同的交点得 1 = (8 2 ) 2 k 2 ? 16(1 + 4k 2 ) = 16( 4k 2 ? 1) > 0, 即 1 k2 > . 4 ① x2 将 y = kx + 2 代入 ? y 2 = 1 得(1 ? 3k 2 ) x 2 ? 6 2kx ? 9 = 0 . 3 由直线 l 与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A,B 得 1 ? 3k 2 ≠ 0, ? ? ?? 2 = (?6 2k ) 2 + 36(1 ? 3k 2 ) = 36(1 ? k 2 ) > 0. ? 1 即 k 2 ≠ 且 k 2 < 1. 3 设 A( x A , y A ), B ( x B , y B ), 则 x A + x B = 由 OA ? OB < 6 得 x A x B + y A y B < 6, 而 x A x B + y A y B = x A x B + (kx A + 2 )(kx B + 2 ) 6 2k ?9 , x A ? xB = 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 = (k 2 + 1) x A x B + 2k ( x A + x B ) + 2 = (k 2 + 1) ? = 3k 2 + 7 . 3k 2 ? 1 ?9 6 2k + 2k ? +2 2 1 ? 3k 1 ? 3k 2 3k 2 + 7 15k 2 ? 13 于是 2 > 0. 解此不等式得 < 6, 即 3k ? 1 3k 2 ? 1 k2 > 13 1 或 k 2 < . 15 3 ③ 由①、②、③得 1 1 13 < k 2 < 或 < k 2 < 1. 4 3 15 故 k 的取值范围为 ( ?1,? ? 22. (本小题 12 分) 解:由已知 S n+1 13 3 1 1 3 13 ) U (? ,? ) U ( , ) U ( ,1) 15 3 2 2 3 15 = S n + n + 5(n ∈ N * ) 可得 n ≥ 2, S n = 2 S n?1 + n + 4 两式相减得 S n +1 ? S n = 2( S n ? S n ?1 ) + 1 即 an+1 = 2an + 1 从而 an+1 + 1 = 2 ( an + 1) 当n = 1 时, S 2 = 2 S1 + 1 + 5 则 a2 + a1 = 2a1 + 6 ,又 a1 = 5 所以 a2 = 11 从而 a2 + 1 = 2 ( a1 + 1) 2(an + 1) , n ∈ N * 又 a1 = 5, a1 + 1 ≠ 0 故总有 an+1 + 1 = 从而 an+1 + 1 = 2 即数列 {an + 1} 是等比数列; an + 1 = 3 × 2n ? 1

(II)由(I)知 an 因为 从而 =3 f ( x) = a1 x + a2 x 2 + L + an x n 所以 f ′( x) = a1 + 2a2 x + L f ′(1) = a1 + 2a2 + L + nan = ( 3 × 2 ? 1) + 2 ( 3 × 2 2 ? 1) + L + 1) 2 (2 + 2× 2 + L + n × 2n ) - (1 + 2 + L + n ) = 3 ( n ? 1) ? 2n+1 ? 2 n(n + 1) +6 2 由上 2 f ′(1) ? ( 23n 13n ) = 12 ( n ? 1) ? 2n - 12 ( 2n 2 ? n ? 1) = 12 ( n ? 1) ? 2n ? 12 ( n ? 1) (2n + 1) =12 (n ? 1) ? 2n ? (2n + 当n 当n = 1 时,①式=0 所以 2 f ′(1) = 23n 2 ? 13n ; = 2 时,①式=-12 < 0 (1) < 23n 2 ? 13n n 0 1 = (1 + 1) = Cn + Cn + L + Cnn?1 + Cnn ≥ 2n + 2 > 2n + 1 n 当 n ≥ 3 时, n ? 1 > 0 又 2 所以 ( n ? 1) ? 2n ? ( 2n + 1) ? > 0 即① > 0 从而 2 f ′(1) > 23n2 ? 1

+ nan x n?1 n(3 × 2n ?

1) ? ① ? ? 所以 2 f ′

13n ? ?


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