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2016届高考数学复习 第十三章 坐标系与参数方程 理(全国通用)


【大高考】 (三年模拟一年创新)2016 届高考数学复习 第十三章 坐 标系与参数方程 理(全国通用)

A 组 专项基础测试 三年模拟精选 一、选择题

? π? 1.(2015·四川成都模拟)在极坐标系中,过点?2, ?且与极轴平行的直线方程是( 2? ?
A.ρ =2 π B.θ = 2 C.ρ cos θ =2 D.ρ sin θ =2

)

? π? 解析 先将极坐标化成直角坐标表示,?2, ?化为(0,2),过(0,2)且平行于 x 轴的直 2? ?
线为 y=2,再化成极坐标表示,即 ρ sin θ =2.故选 D. 答案 D 二、填空题 2.(2015·湖南十三校模拟)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为?

?x= t, (t 为参 ?y=2t

数), 以原点 O 为极点, x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系, 直线 l 的极坐标方程为 ρ cos θ -ρ sin θ +1=0.则 l 与 C 的交点直角坐标为________. 解析 曲线 C 的普通方程为 y=2x (x≥0),直线 l 的直角坐标方程是 y=x+1,二者联
2

立,求出交点坐标. 答案 (1,2) 3.(2014·黄冈中学、孝感模拟)在极坐标系中,曲线 C1:ρ ( 2cos θ +sin θ )=1 与曲 线 C2:ρ =a(a>0)的一个交点在极轴上,则 a 的值为________. 解析 将极坐标方程化为普通方程,得

C1: 2x+y-1=0, C2:x2+y2=a2.
在 C1 中,令 y=0,得 x= 2 . 2 2 2 2 ? 2 ? ,再将? ,0?代入 C2, 2 ?2 ?

得 a= 答案

1

π? ? 4.(2014·揭阳一模)已知曲线 C1:ρ =2 2和曲线 C2:ρ cos?θ + ?= 2,则 C1 上到 C2 4? ? 的距离等于 2的点的个数为________. π? ? 2 2 2 解析 将方程 ρ =2 2与 ρ cos?θ + ?= 2化为直角坐标方程得 x +y =(2 2) 与 x 4? ? -y-2=0,知 C1 为以坐标原点为圆心,半径为 2 2的圆,C2 为直线,因圆心到直线 x-y -2=0 的距离为 2,故满足条件的点的个数为 3. 答案 3 5.(2014·临川二中模拟)在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 参数方程为?
? ?x=cos α , ?y=1+sin α ?

(α 为参

数),在极坐标系(与直角坐标系 xOy 相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴 为极轴)中,曲线 C2 的方程为 ρ (cos θ -sin θ )+1=0,则曲线 C1 与 C2 的交点个数为 ________. 解析 ∵曲线 C1 参数方程为?
2 2

? ?x=cos α , ?y=1+sin α , ?

∴x +(y-1) =1,是以(0,1)为圆心,1 为半径的圆. ∵曲线 C2 的方程为 ρ (cos θ -sin θ )+1=0, ∴x-y+1=0. 在坐标系中画出圆和直线的图形,观察可知有 2 个交点. 答案 2

? π? 6.(2014·汕头调研)在极坐标系中,ρ =4sin θ 是圆的极坐标方程,则点 A?4, ?到圆 6? ?
心 C 的距离是________. 解析 将圆的极坐标方程 ρ =4sin θ 化为直角坐标方程为 x +y -4y=0,圆心坐标为
2 2

? π? (0 , 2) .又 易知 点 A ?4, ? 的直 角 坐 标系 为 (2 3 , 2) ,故 点 A 到 圆 心的 距 离为 6? ?
(0-2 3) +(2-2) =2 3. 答案 2 3 一年创新演练 π? ? π? ? 7. 在极坐标系中, 点 M?4, ?到曲线 ρ cos?θ - ?=2 上的点的距离的最小值为________. 3 3? ? ? ? 解析 依题意知,点 M 的直角坐标是(2,2 3),曲线的直角坐标方程是 x+ 3y-4=0, |2+2 3× 3-4| 因此所求的距离的最小值等于点 M 到该直线的距离,即为 =2. 2 2 1 +( 3) 答案 2
2
2 2

8.在平面直角坐标系下,曲线 C1:?
?x=2sin θ , ? ?y=1+2cos θ ?

? ?x=2t+2a, ? ?y=-t

(t 为参数),

曲线 C2:?

(θ 为参数),若曲线 C1,C2 有公共点,则实数 a 的取值范围是

________. 解析 曲线 C1 的直角坐标方程为 x+2y-2a=0, 曲线 C2 的直角坐标方程为 x +(y-1) =4,圆心为(0,1),半径为 2, 若曲线 C1,C2 有公共点, |2-2a| 则有圆心到直线的距离 ≤2, 2 1+2 即|a-1|≤ 5, ∴1- 5≤a≤1+ 5, 即实数 a 的取值范围是[1- 5,1+ 5]. 答案 [1- 5,1+ 5] B 组 专项提升测试 三年模拟精选 一、填空题 9.(2015·湖北孝感模拟)已知曲线 C 的参数方程为?
2 2

?x= 2cos t, ?y= 2sin t

(t 为参数),曲线 C 在

点(1,1)处的切线为 l,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,则 l 的 极坐标方程为________. 解析 ?

?x= 2cos t, ?y= 2sin t,

两边平方相加得 x +y =2,

2

2

∴曲线 C 是以(0,0)为圆心,半径等于 2的圆.

C 在点(1,1)处的切线 l 的方程为 x+y=2,令 x=ρ cos θ ,y=ρ sin θ ,
代入 x+y=2,并整理得 ρ cos θ +ρ sin θ =2. 答案 ρ cos θ +ρ sin θ =2 10.(2014·陕西西安八校联考)已知点 P(x,y)在曲线? R)上,则 的取值范围是________. 解析 消去参数 θ 得曲线的标准方程为(x+2) +y =1, 圆心为(-2,0),半径为 1. 设 =k,则直线 y=kx,
3
2 2

? ?x=-2+cos θ , ?y=sin θ ?

(θ 为参数,θ ∈

y x

y x

即 kx-y=0,当直线与圆相切时,圆心到直线的距离 d= 即|2k|= k +1,平方得 1 3 2 2 2 4k =k +1,k = ,解得 k=± , 3 3 由图形知 k 的取值范围是- 即 的取值范围是?- 答案 ?- 二、解答题 3 3 ≤k≤ , 3 3
2

|-2k|

k2+1

=1,

y x

? ?

3 3? , ?. 3 3?

? ?

3 3? , ? 3 3?

11. (2014·厦门二模)在平面直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程是? 为参数). (1)将 C1 的方程化为普通方程;

?x=2+2cos θ , ? ? ?y=2sin θ



π (2)以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.设曲线 C2 的极坐标方程是 θ = , 3 求曲线 C1 与 C2 的交点的极坐标. 解 (1)C1 的普通方程为(x-2) +y =4.
2 2

(2)设 C1 的圆心为 A,∵原点 O 在圆上, 设 C1 与 C2 相交于 O,B,取线段 OB 的中点 C, π ∵直线 OB 倾斜角为 ,OA=2, 3 ∴OC=1,从而 OB=2,

? π? ∴O,B 的极坐标分别为 O(0,0),B?2, ?. 3? ?
12.(2014·郑州质检)已知曲线 C1:? 为参数). (1)化 C1,C2 的方程为普通方程,并说明它们分别表示什么曲线; π (2)过曲线 C2 的左顶点且倾斜角为 的直线 l 交曲线 C1 于 A,B 两点,求|AB|的值. 4 解 (1)C1:(x+2) +(y-1) =1,C2: + =1. 16 9
2 2

? ?x=-2+cos ?y=1+sin ?

t,

t

(t 为参数),C2:?

? ?x=4cos θ , ?y=3sin θ ?



x2

y2

曲线 C1 为圆心是(-2,1)、半径是 1 的圆. 曲线 C2 为中心是坐标原点、焦点在 x 轴上、长轴长是 8、短轴长是 6 的椭圆.
4

2 ? ?x=-4+ 2 s, (2)曲线 C 的左顶点为(-4,0),则直线 l 的参数方程为? (s 为参数), 2 ? ?y= 2 s
2

将其代入曲线 C1 整理可得:s -3 2s+4=0,设 A,B 对应参数分别为 s1,s2,则 s1+s2 =3 2,s1s2=4. 所以|AB|= |s1-s2| = (s1+s2) -4s1s2= 2. 一年创新演练 13. 在直角坐标系中, 以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 已知曲线 C: ρ sin
2 2 2

2

2 ? x =-2+ t, ? 2 θ =2acos θ (a>0),已知过点 P(-2,-4)的直线 l 的参数方程为:? (t 2 ? ?y=-4+ 2 t 为参数),直线 l 与曲线 C 分别交于 M,N 两点. (1)写出曲线 C 和直线 l 的普通方程; (2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比数列,求 a 的值. 解 (1)y =2ax,y=x-2.
2

2 ? x =-2+ t, ? 2 (2)直线 l 的参数方程为? (t 为参数), 2 ? ?y=-4+ 2 t 代入 y =2ax, 得到 t -2 2(4+a)t+8(4+a)=0, 则有 t1+t2=2 2(4+a), t1·t2=8(4 +a), ∵|MN| =|PM|·|PN|, ∴(t1-t2) =(t1+t2) -4t1·t2=t1·t2, 即 a +3a-4=0.解得 a=1 或 a=-4(舍去).
2 2 2 2 2 2

5


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