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2014广东省高考压轴卷 文科数学 Word版含解析


2014 广东省高考压轴卷文科数学
本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。 参考公式:锥体的体积公式 V ?

1 Sh ,其中 S 是锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.若集合 A ? ??1,0? , B ? ?0,1? ,则 A A. ?0? 2.函数 f ( x) ? A. (??,1) C. ? ??, ?1? B. ??1,0?

B?
C. ?0,1? D. ??1,0,1?

1? x 的定义域是 x ?1
B. ? ??,1?

? ?1,1?
z2 ? z1

D. ? ??, ?1?

? ?1,1?

3.若复数 z1 ? 1 ? i , z2 ? 2i ,则

A. ?1? i B. 1 ? i C. ?2 ? 2i D. 2 ? 2i 4.下列函数中,在其定义域内既是奇函数又是增函数的是 A. y ? sin x B. y ?

1 2x

C. y ? x 3

D. y ? lg ?? x?

5.已知平面向量 a ? (1, 2) , b ? (2, y ) ,且 a // b ,则 a ? 2b = A. (5, ?6) B. (3, 6) C. (5, 4) D. (5,10) 开始 输入 m S=0,i=1 S=S+2i i<m
1

6.阅读如图 1 的程序框图,若输入 m ? 4 ,则输出 S 等于 A.8 B.12 C.20 D.30 7. “ x ? 0 ”是“ x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ”成立的 A.充分非必要条件 B.必要非充分条件

i=i+1 是

否 输出 S 结束

图1

C.非充分非必要条件 D.充要条件

8.以点 (3, ?1) 为圆心且与直线 3x ? 4 y ? 0 相切的圆的方程是 A. ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

B. ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 1
2 2

C. ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

D. ? x ? 3? ? ? y ? 1? ? 2
2 2

9.某几何体的三视图如图 2 所示,则该几何体的体积是 A.

2a a
正视图 左视图

?a
6

3

B.

?a
3

3

C.

2? a 3

3

D. ? a 3

a
俯视图

图2

? x ? y ? 1, ? 10.已知变量 x , y 满足约束条件 ?4 x ? y ? 4 ,目标函数 z ? mx ? y 仅在点 ? 0,1? 处取得最 ? x ? 0, ? 小值,则 m 的取值范围是
A. ? ??, 4 ? B. ? 4, ?? ? C. ? ??,1? D. ?1, ?? ?

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题(11~13 题) 11.在等差数列 ?an ? 中,已知 a3 ? 3 , a2 ? a8 ? 10 ,则 an ? _________. 12.某校高三年级共 1200 人.学校为了检查同学们的健康状况,随机抽取了高三年级的 100 [45,50) [50,55) 名同学作为样本, 测量他们的体重 (单位: 公斤) , 体重的分组区间为[40,45) , , , (55,60) ,[60,65],由此得到样本的频率分布直方图,如图 3.根据频率分布直方图,估计该 校高三年级体重低于 50 公斤的人数为_________.

2

频率 组距

0.06 0.05 0.04 0.03 0.02 40 45 50 55 60 65 图3 13 .已知 a, b, c 分别是 △ ABC 的三个内角 A,B,C 所对的边,若 a ? 1 , b ? 3 ,

体重/公斤

?B ? 60 ,则 AB ? _________.
(二)选做题(14-15 小题,考生只能从中选做一题) 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系 ( ? , ? ) ? ? ? 0, 0 ? ? ?

? ?

??

? 中,曲线 2?
A

? ? 4cos ? ? 3 与 ? (cos? ? sin ? ) ? 1 的交点的极坐标为
________. 15. (几何证明选讲选做题) 如图 4, 圆 O1 和圆 O2 相交于 A, B 两点,过 A 作两圆的切线分别交两圆于 C , D 两点,已知 C O1

O2 B 图4

D

AC ? 5, AD ? 8, AB? 4,则 BD ? _________.

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? 2sin ? (1)求 f (0) 的值; (2)求 f ( x) 的最小正周期; (3)设 ? , ? ? ?0, ? , f ? 2? ? ? ? , f ? 2? ? .求 sin ?? ? ? ? 的值. ?? 3? 5 3 ? 13 ? ? ? 2?
3

?? ?1 x ? ?, x? R . 6? ?2

? ??

?

??

6

?

4? ?

24

17. (本小题满分 13 分) 某校高二年级在 3 月份进行一次质量考试,考生成绩情况如下表所示:

?0, 400?
文科考生 理科考生 60 90

? 400, 480 ? ? 480,550 ? ?550, 750 ?
35 55 19 6 9

x

已知在全体考生中随机抽取 1 名,抽到理科考生的概率是 0.6 . (1)求 x 的值; (2) 图 5 是文科考生不低于 550 分的 6 名学生的语文成绩的茎叶图, 计算这 6 名文科考生的语文成绩的平均分、中位数; (3)在(2)中的 6 名文科考生中随机地选 2 名考生,求恰有一名 考生的语文成绩在 130 分以上的概率.

13 12 11

2 0 1

4 5 8

图5

18. (本小题满分 14 分) 如图 6,四棱锥 P ? ABCD 中, PB ? 底面ABCD , AB // CD , AD ? AB , AB ? 2 ,

AD ? 2 ,PB ? 3 ,E 为 CD 上一点,EC ? 3 ,DE ? 1 .
(1) 证明: BE ? 平面PBC ; (2) 求三棱锥 B ? PAC 的体积.

P

E D A B 图6

C

19. (本小题满分 12 分) 数列 ?an ?? an ? 0? 的首项为 1,且前 n 项和 S n 满足 Sn ? Sn?1 ? 1? n ? 2? . (1)求数列 ?an ? 的通项公式;
4

(2)记 bn ?

an 2, ? ,求数列 ?bn ? 的前 n 项和 Tn . ? n ? 1, 2n

20. (本小题满分 14 分) 已知点 F (0,1) ,点 M 是 F 关于原点的对称点. (1)若椭圆 C1 的两个焦点分别为 F , M ,且离心率为

1 ,求椭圆 C1 的方程; 2

(2)若动点 P 到定点 F 的距离等于点 P 到定直线 l : y ? ?1 的距离,求动点 P 的轨迹 C2 的 方程; (3)过点 M 作(2)中的轨迹 C2 的切线,若切点在第一象限,求切线 m 的方程.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ? x ? ?

1 3 x ? ax ? 4 . 3

(1)讨论 f ? x ? 的单调性; (2)求函数 f ? x ? 在区间 ?0,3? 上的最小值 g ? a ? .

2014 广东省高考压轴卷 数学(文科)试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 【答案】A

5

【解析】 A 2. 【答案】D 【解析】∵ ? 3. 【答案】B 【解析】

B ? ?0? .
?x ? 1 ?1 ? x ? 0 ,∴ ? ,∴函数 f ( x) 的定义域是 ? ??, ?1? x ? ? 1 x ? 1 ? 0 ? ?

? ?1,1? .

2i ?1 ? i ? z2 2i ? ? ? 1? i . z1 1 ? i ?1 ? i ??1 ? i ?

4. 【答案】C 【解析】A 是奇函数但不是增函数;B 既不是奇函数也不是偶函数;C 既是奇函数又是增函 数;D 是偶函数. 5. 【答案】D 【解析】 ∵ a // b ,∴ y ? 2 ? 2 ? 0 ,∴ y ? 4 ,∴ a ? 2b = ?1,2? ? 2 ? 2,4? ? ?5,10? . 6. 【答案】C 【解析】根据程序框图, S ? 2 ? 4 ? 6 ? 8 ? 20 . 7. 【答案】A 【解析】∵ x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ,∴ x ? ?3 或 x ? ?1 ,∴“ x ? 0 ”是“ x 2 ? 4 x ? 3 ? 0 ”成立 的充分非必要条件. 8. 【答案】B 【解析】∵圆心到直线的距离为 d?

3 ? 3 ? 1? 4 32 ? 42

?1 , ∴ 所 求 圆 的 方 程 是

? x ? 3?

2

? ? y ? 1? ? 1 .
2

9. 【答案】A 【解析】根据三视图,该几何体为

1 个圆锥,且底面半径为 a ,高为 2a .∴体积是 4

1 ?1 ? ?a V ? ? ? ? ? a 2 ? 2a ? ? . 4 ?3 6 ?
3

10. 【答案】D 【解析】画出可行域(如图) ,目标函数向上平移至点 A ? 0,1? 时,取得最小值,∴ ?m ? k AB , ∴ m ? 1.

6

y

A O B x

二、填空题:本大题共 5 小题,考生作答 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 11. 【答案】 n 【解析】∵ ?

?a3 ? a1 ? 2d ? 3 ?a1 ? 1 ,∴ ? ,∴ an ? 1 ? (n ? 1) ? n . ?d ? 1 ?a2 ? a8 ? 2a1 ? 8d ? 10

12. 【答案】480 【解析】估计该校高三年级体重低于 50 公斤的人数为 1200 ? ? 0.03? 5 ? 0.05 ? 5? ? 480 . 13. 【答案】2 【解析】根据余弦定理可得 cos 60 ?

AB 2 ? 12 ? 3 ,解得 AB ? 2 . 2 AB

2

, 0? 14. 【答案】 ?1
【解析】 ? (cos ? ? sin ? ) ? 1 化为直角坐标方程 x ? y ? 1 , ? ? 4cos ? ? 3 化为直角坐标方 程 x2 ? y 2 ? 4 x ? 3 .联立解方程组 ?

?x ? y ? 1
2 2 ? x ? y ? 4x ? 3

,解得 ?

?x ? 1 ?x ? 2 或? (舍) ,∴ ? y ? 0 ? y ? ?1

? ? 12 ? 0 2 ? 1, tan ? ?
15. 【答案】

? 0 , 0? . ? 0 ,又 0 ? ? ? ,∴ ? ? 0 .∴交点的极坐标为 ?1 2 1

32 5

【解析】由 AC 与圆 O2 相切于 A ,得 ?CAB ? ?ADB ,同理 ?ACB ? ?DAB , 所以 ?ACB ∽ ?DAB ,∴

AC AB AB ? AD 4 ? 8 32 ? ? ? . ,即 BD ? AD BD AC 5 5

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16. (本小题满分 13 分)

7

解: (1) f (0) ? 2sin ? ? 分

? 1 ? ?? ? ? ?2sin ? ?2 ? ? ?1 . 6 2 ? 6?
T? 2? ? 4? . 1 2

????????????? 2

(2) f ( x) 的最小正周期是 分 (3)∵ f ? 2? ?

?????????????????4

? ?

??

?1 ? ?? ?? 6 3 ? ? 2sin ? ? 2? ? ? ? ? ? 2sin ? ? ,∴ sin ? ? 5 3? 3? 6? 5 ?2 ? ?1 ? 4? ? ? ? 2sin ? ? 2? ? 3 ? ?2 ?



4? ? f ? 2? ? 3 ?
12 13

?? 24 ? ?? ? ? ? ? ? 2sin ? ? ? ? ? 2cos ? ? 2? 13 ? 6? ?





cos ? ?

∵ ? , ? ? ?0, ? , ? 2? ∴ cos ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? ? ? ?

? ??

?3? ?5?

2

4 5 ? 12 ? , sin ? ? 1 ? cos 2 ? ? 1 ? ? ? ? 5 ? 13 ? 13
3 12 4 5 16 ? ? ? ? . ????????? 5 13 5 13 65

2

∴ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ? 13 分 17. (本小题满分 13 分) 解: (1)依题意 分

90 ? 55 ? x ? 9 ? 0.6 ,∴ x ? 26 . 60 ? 35 ? 19 ? 6 ? 90 ? 55 ? x ? 9

??????? 3

(2)这 6 名文科考生的语文成绩的平均分为 x ? 中位数为 x ?

125 ? 128 ? 126.5 2

111 ? 120 ? 125 ? 128 ? 132 ? 134 ? 125 6

??????????????????????? 7

分 (3)从 6 名文科考生中随机地选 2 名考生,基本事件有: (111,120) , (111,125) , (111,128) , (111,132) , (111,134) , (120,125) , (120,128) , (120,132) , (120,134) , (125,128) , (125,132) , 125,134 128,132 128,134 132,134 15 ( ) , ( ) , ( ) , ( ) .共 种. 记“恰有一名考生的语文成绩在 130 分以上”为事件 A,其中有(111,132) , (111,134) , (120,132) , (120,134) , (125,132) , (125,134) , (128,132) , (128,134) .共 8 种.

8

∴恰有一名考生的语文成绩在 130 分以上的概率为 P ? A ? ? 13 分 18. (本小题满分 14 分)

8 . 15

?????????

FC ? 2 (1) 证明: 过 B 作 CD 的垂线交 CD 于 F , 则 BF ? AD ? 2 , EF ? AB ? DE ? 1 ,
在 Rt ?BFE 中, BE ? 在 Rt ?BFC , BC ?

EF 2 ? BF 2 ? 12 ? 2 ? 3 , FC 2 ? BF 2 ? 22 ? 2 ? 6 .
2

2

P

在 ?BCE ,∵ BE 2 ? BC 2 ? EC 2 ,∴ BE ? BC ∵ PB ? 底面ABCD , BE ? 平面ABCD ,∴ PB ? BE 又 PB

E D A B

F

C

BC ? B

∴ BE ? 平面PBC

?????????????????????????????8

分 (2)解:∵ AB // CD , AD ? AB , ∴四边形 ABCD 是梯形, ∴ S梯形ABCD =

1 1 ? ? 2+4 ? ? 2=3 2 , S ?ADC ? ? 4 ? 2 ? 2 2 2 2

∴ S?ABC ? S梯形ABCD ? S?ADC ? 3 2 ? 2 2 ? ∴ VB ? PAC ? VP ? ABC ? 14 分 19. (本小题满分 12 分) 解: (1)∵ Sn ? Sn?1 ? 1 . ∴数列

2.
?????????????

1 1 ? S ?ABC ? PB ? ? 2 ? 3 ? 2 . 3 3

? S ? 构成一个首项为 1,公差为 1 的等差数列
n

∴ Sn ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n ∴ Sn ? n
2

当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n ? (n ?1) ? 2n ?1
2 2

当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 1 ,符合上式
9

∴ an ? 2n ? 1. ??????????????????????????????? 6 分

an 2 n ? 1 ? 2n 2n 1 3 5 2n ? 1 ① ∴ Tn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? 2 2 2 2n 3 5 2n ? 1 ① ×2 得 2Tn ? 1 ? ? 2 ? ? n ?1 ② 2 2 2 1 1 1 2n ? 1 ② -① 得 Tn ? 1 ? 1 ? ? 2 ? n ? 2 ? 2 2 2 2n 1 1 ? n ?1 2n ? 1 1 2n ? 1 ? 2 ? 2 2 ? n ? 1 ? n?2 ? n ??????????????????? 1 2 2 2 1? 2
(2)∵ bn ? 12 分 20. (本小题满分 14 分) 解: (1)依题意,设椭圆 C1 的方程为 C1 :

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) a 2 b2

?c ? 1 ? c 1 ? ∵ ?e ? ? a 2 ? 2 2 2 ? ?c ? a ? b
∴ a2 ? 4, b2 ? 3 ∴椭圆 C1 的方程为 C1 : 分 (2)依题意,动点 P 的轨迹为焦点 F (0,1) 的抛物线, ∴抛物线 C2 的方程为 x ? 4 y . ??????????????????????????
2

y 2 x2 ? ? 1(a ? b ? 0) 4 3

?????????????????5

8分
0 (3)设切点 Q ? x0, ? ( x0 ? 0) .由 y ? ?

? ?

x2 ? 4?

x x ,知抛物线在 Q 点处的切线斜率为 0 , 2 2

10

∴所求切线方程 y ?

2 x0 x ? 0 ( x ? x0 ) , 4 2

即y?

x0 x2 x? 0 . 2 4
2

∵ C2 : x ? 4 y 的焦点 F (0,1) 关于原点的对称点 M (0, ?1) .

? 1) 在切线上, ∴点 M (0,
∴ ?1 ? ?
2 x0 , 4

∴ x0 ? 2 或 x0 ? ?2 (舍去) . ∴所求切线方程为 y ? x ? 1 .??????????????????????????14 分 21. (本小题满分 14 分) 解: (1) f ? ? x ? ? x ? a .
2

①a ? 0 时, f ? ? x ? ? x ? a ? 0 , f ? x ? 在 ( ??, ??) 上单调递增;
2
2 ②a ? 0 时, f ? ? x ? ? x ? a ? x ? ?a

?

?? x ?

?a .

?

令 f ? ? x ? ? 0 ,得 x1 ? ? ?a ? 0 , x2 ?

?a ? 0 .

∴ x ? ? ??, x1 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ; x ? ? x1, x2 ? 时, f ? ? x ? ? 0 ; x ? ? x2 , ??? 时, f ? ? x ? ? 0 . ∴ f ? x ? 在 ? ??, x1 ? , ? x2 , ??? 上单调递增;在 ? x1 , x2 ? 上单调递减.???????8 分 (2)①a ? 0 时,由(1)知 f ? x ? 在 ( ??, ??) 上单调递增, ∴ f ? x ? 在 ?0,3? 上单调递增, ∴ f ? x ? 在 x ? 0 处取得最小值,且 f ? 0? ? 4 . ②a ? 0 时, (i)当 0 ? x2 ? 3 ,即 ?9 ? a ? 0 时,由(1)知 f ? x ? 在 ? 0, x2 ? 上单调递减, ? x2 , ??? 上单
11

调递增, ∴ f ? x ? 在 x ? x2 处取得最小值,且 f

?

?a ?

? 1 ? 3

?a

?

3

? a ? ?a ? 4 ?

4a ?a ?4. 3

(ii)当 x2 ? 3 ,即 a ? ?9 时,由(1)知 f ? x ? 在 ?0,3? 上单调递减, ∴ f ? x ? 在 x ? 3 处取得最小值,且 f ? 3? ?

1 3 ? 3? ? a ? 3 ? 4 ? 13 ? 3a . 3

?4, a ? 0 ? ? 4a ? a ? 4, ?9 ? a ? 0 ??????????????????? 综上所述, g ? a ? ? ? ? 3 13 ? 3a, a ? ?9 ? ?
14 分

12


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