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2016届高考数学总复习(人教新课标理科)配套课件:选修4-5-2 不等式的证明与柯西不等式(共31张PPT)


第 2 课时 不等式的证明与柯西不等式 2014?考纲下载 1.了解证明不等式的基本方法:比较法、综合法、分析法、 放缩法、数学归纳法. 2.了解柯西不等式、排序不等式以及贝努利不等式. 3.能利用均值不等式求一些特定函数的最值. 请注意! 不等式的证明是中学数学的难点. 柯西不等式只要求会简单 应用. 1.证明不等式的方法 (1)比较法; (2)综合法与分析法; (3)反证法、放缩法; (4)数学归纳法. 2.几个常见不等式 (1)平均值不等式 1 1 1 1 a1+a2+?+an n ≥ a1a2?an ≥ + +?+ . a1 a2 an n (2)贝努利不等式 若 x∈R,且 x>-1,x≠0,n>1,n∈N,则(1+x)n>1+ nx . (3)柯西不等式 2 2 ①设 a1,a2,?,an, b , b ,?, b 是实数,则 ( a + a 2 n 1 2+? n 1 2 ( a b ) ? i i 2 2 2 +a2 )( b + b +?+ b ) ≥ .当且仅当 bi=0(i=1,2,?,n) n 1 2 n i=1 或存在一个数 k,使得 ai=kbi(i=1,2,?,n)时,等号成立. ② 柯 西 不 等 式的 向 量 形式 : 设 α 、 β 是 两 个向 量 , 则 |α·β|≤ |α||β| . 当且仅当 β 是零向量,或存在实数 k,使 α=kβ 时,等号成 立. 1 1 1 a b 1. 已知 0<a< , 且 M= + , N= + , 则 M、 b 1+a 1+b 1+a 1+b N 的大小关系是( A.M<N C.M=N ) B.M>N D.不确定 答案 B 解析 由已知得 0<ab<1, 1 1 a b 故 M-N= + - - 1+a 1+b 1+a 1+b 1-a 1-b 2?1-ab? = + = >0. 1+a 1+b ?1+a??1+b? 故 M>N. 2.若 x,y∈R 且满足 x+3y=2,则 3x+27y+1 的最小值是 ( A.3 9 C.6 答案 D ) 3 B.1+2 2 D.7 1 1 1 3.已知 a,b,c 是正实数,且 a+b+c=1,则 + + 的最 a b c 小值为( A.3 C.9 答案 C ) B.6 D.12 解析 1 1 1 a+b+c a+b+c a+b+c b a + + = + + =3+( + ) a b c a b c a b c a c b +( + )+( + )≥3+2+2+2=9. a c b c 4.函数 f(x)= 3x+ 3?1-x?的最大值=________. 答案 6 解析 3x+ 3?1-x?= 3x+ 3-3x,由柯西不等式,得 ( 3x+ 3-3x)2≤(12+12)[( 3x)2+( 3-3x )2]=6. ∴ 3x+ 3-3x≤ ?1+1?· ?3x+3-3x?= 6. 例1 设 s= 1×2+ 2×3+ 3×4+?+ n?n+1?, 求证: 1 1 2n(n+1)<s<2n(n+2). 【证明】 s> 1×1 + 2×2 + 3×3 + ?+ n×n =1 +2 1 +3+?+n=2n(n+1), 1+2 2+3 3+4 n+?n+1? s< + + +?+ 2 2 2 2 1 1 = [3+5+7+?+(2n+1)]= n(n+2). 2 2 1 1 ∴2n(n+1)<s<2n(n+2). 【答案】 略 探究 1 放缩法是不等式证

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