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【一本通】2014届高考数学一轮复习 第14章 第76讲 离散型随机变量的均值与方差课件 理


1.设某随机试验的结果只有A和两种,且P ? A ? ? p. ?1 ? A发生 ? p ? 令随机变量X ? ? ,则E ? X ? ?   .  ?0 ? A不发生 ? ? 2.设随机变量? ~B ? n, 0.6 ?,且E ?? ? ? 3,则P ?? ? 1?
4

的值是 3 ? 0.4   .

解析:由E ?? ? ? 0.6n ? 3,解得n ? 5.所以P ?? ? 1? ? C 0.6 ?1 ? 0.6 ? ? 3 ? 0.4 .
1 5 4 4

3.设?的概率分布表如下,又设? ? 2? ? 5,则 E ?? ? ? 32 .
3

1 1 1 1 17 解析:因为E ?? ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? , 6 6 3 3 6 17 32 所以E ?? ? ? E ? 2? ? 5 ? ? 2E ?? ? ? 5 ? 2 ? ? 5 ? . 6 3

5 4.若?的概率分布表如下,则V (? ) ?   64

1 1 1 1 解析:因为E ?? ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 4 ? ? 2.5, 4 4 4 4 1 1 2 2 所以V ?? ? ? ?1 ? 2.5 ? ? ? ? 2 ? 2.5 ? ? ? 4 4 1 1 5 2 2 ? 3 ? 2.5? ? ? ? 4 ? 2.5? ? ? , 4 4 4 1 5 所以V (? ) ? V ?? ? ? . 16 64

5.某人投篮,投进的概率是,用? 表示他投篮
3 3次的进球数,则随机变量?的标准差 ?   2 5

求随机变量的均值
【例1】1? 一批产品共100件,其中有10件次品,为 ? 了检验其质量,从中随机抽出5件,求这5件产品 中次品数的期望值;

? 2 ? 袋中有20个大小相同的球,其中记上0号的有
10个,记上n号的有n个(n=1, 2,3, 4).现从袋中任 取一球.? 表示所取球的标号.求?的分布列和 期望.

【解析】1? 设次品数为随机变量X. ? 根据题意,X服从超几何分布, 即X~H ? 5,10,100 ?, nM 5 ?10 所以其期望E ? X ? ? ? ? 0.5 N 100

? 2 ? ?的分布列为
ξ P 0
1 2

1
1 20

2
1 10

3
3 20

4

1 5

所以由期望的定义可得 1 1 1 3 1 E ?? ?=0 ? +1? +2 ? +3 ? +4 ? =1.5. 2 20 10 20 5

一般情况下,随机变量的期望要利用定 n 义式 E(X)=? xi pi ,其中x1,x2,…,xn为 i ?1 随机变量X的取值,p1,p2,…,pn分别 为对应的概率.当随机变量服从特殊分 布时,其均值(期望)可以直接利用公式 求解.

【变式练习 】 1 (2011 ? 泰州期末卷)甲、乙等六名志愿 者被随机地分到A、B、C、D、E五个不同的岗位服 务,每个岗位至少有一名志愿者.

?1? 求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率; ? 2 ? 设随机变量? 为这六名志愿者中参加C岗位 服务的人数,求?的分布列及期望E ?? ?.

解析: ? 记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事 ?1
4 A4 1 件S A,那么P ? S A ? ? 2 5 ? , C6 A5 75

1 即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是 . 75 ? 2 ? 随机变量? 可能取的值为1, 2. 事件“? ? 2”是指有两人同时参加C岗位服务, C A 1 则P ?? ? 2 ? ? ? . C A 5
2 6 2 6 4 4 5 5

4 所以P ?? ? 1? ? 1 ? P ?? ? 2 ? ? . 5 故?的分布列是:

6 E ?? ? ? 5

求随机变量的方差

【例2】把4个球随机地投入4个盒子中去, 设? 表示空盒子的个数,求E ?? ? 、V ?? ?.

【解析】? 的所有可能取值为0,1, 2, 3. A 6 P(? ? 0) ? ? ; 4 64 1 2 3 C 4 C 4 A3 36 P(? ? 1) ? ? ; 4 4 64 2 2 2 2 2 C 4 A2 ? C 4 C 4 A2 21 P(? ? 2) ? ? ; 4 4 64 1 C4 1 P(? ? 3) ? 4 ? . 4 64 所以? 的概率分布表为
4 4 4

ξ P

0
6 64

1
36 64

2
21 64

3
1 64

81 1695 所以E ? ? ? = ,V ? ? ? ? 2 . 64 64

本题的关键是正确理解ξ的意义,写出ξ的分 布列.本题中,每个球投入到每个盒子的可 能性是相等的.总的投球方法数为44,空盒

子的个数可能为0,此时投球方法数为A44=
4!,所以P(ξ=0) =

4 ! 6 ? 4 ? ;空盒子的个数 4 64

为1时,此时投球方法数为CCA,所以P(ξ=1)
36 .同样可分析P(ξ=2),P(ξ=3). 64

【变式练习2】掷两个骰子,当至少有一个5
点或6点出现时,就说这次试验成功.求在 30次试验中成功次数η 的期望和方差.

【解析】依题意知?~B(30,p),其中p ? 1- 4 4 5 ? ? , 6 6 9 5 50 5 4 所以E ?? ?=30 ? = ,V ?? ?=30 ? ? = 9 3 9 9 200 . 27

期望和方差的实际 应用
【例3】某城市有甲、乙、丙3个旅游景点, 一位客人游览这3个景点的概率分别为0.4、 0.5、0.6,且客人是否游览哪个景点互不影 响.设ξ 表示客人离开该城市时游览的景点 数与没有游览的景点数之差的绝对值.求ξ 的概率分布及数学期望.

【解析】分别记“客人游览甲景点”、客人游览乙景点”、 “ “客人游览丙景点”为事件A1、A2、A3 . 由已知,A1、A2、A3相互独立,且P( A1 ) ? 0.4, P( A2 ) ? 0.5,P ( A3 ) ? 0.6. 客人游览的景点数的可能取值为0, 2 3. 1,,相应地, 客人没有游览的景点数的可能取值为3,, 0,所以? 2 1, 的可能取值为1, 3.

P(? ? 3) ? P( A1 ? A2 ? A3 ) ? P ( A1 ? A2 ? A3 ) ? P( A1 ) ? P( A2 ) ? P( A3 ) ? P ( A1 ) ? P ( A2 ) ? P ( A3 ) ? 0.24, P(? ? 1) ? 1 ? 0.24 ? 0.76. 所以?的概率分布表为:
ξ 1
0.76

2
0.24

P

E(ξ)=1×0.76+3×0.24=1.48.

解决期望与方差的应用问题的关键在于 弄清随机变量、期望、方差的实际意义.

【变式练习3】某保险公司新开设了一项保 险业务.若在一年内事件E发生,则该公 司要赔偿a元.设一年内事件E发生的概率 为p.为使公司收益的期望值等于a的10%, 则公司应该要求投保人交多少保险金?

【解析】设保险公司要求投保人交x元保险金, 以保险公司的收益额X作为随机变量,则X的 分布列为下表:

X P

x 1-p

x-a p

E ? X ?=x(1-p )+( x-a ) p=x-ap, 所以x-ap=0.1a,解得x=(0.1+p )a. 即投保人交(0.1+p ) a元保险金时,能够使公 司收益的期望值等于a的10%.

1. 设随机变量ξ~B(n , p),且E(ξ)=1.6 , V(ξ)=1.28,则 n= 8 , p= 0.2.
【解析】因为E(ξ)=np=1.6, V(ξ)=np(1-p)=1.28,所以 n=8 , p=0.2.

2.随机变量X 的概率分布如下:

则E ? X ? ?

2.6    .

解析:因为0.2 ? 0.3 ? p ? 0.3 ? 1,所以p ? 0.2. 所以E ? X ? ? 1? 0.2 ? 2 ? 0.3 ? 3 ? 0.2 ? 4 ? 0.3 ? 2.6.

3.一射手对靶射击,直到第一次命中为止, 每次命中率为0.6,现在共有4颗子弹,则
297 尚余子弹数目?的期望为 125

解析:P ?? ? 0 ? ? ?1 ? 0.6 ? 0.6 ? ?1 ? 0.6 ?
3

4

24 16 8 ? ? ? , 625 625 125 3 2 P ?? ? 1? ? ?1 ? 0.6 ? 0.6 ? , 5 6 3 P ?? ? 2 ? ? ?1 ? 0.6 ? 0.6 ? ,P ?? ? 3? ? 0.6 ? . 25 5 8 12 6 3 297 E ?? ? ? 0 ? ? 1? ? 2? ? 3? ? . 125 125 25 5 125

4.甲、乙、丙三人分别独立进行某项测试,已知甲 2 能通过测试的概率是 ,甲、乙、丙三人都能通过 5 3 测试的概率是 ,甲、乙、丙三人都不能通过测试 20 3 的概率是 ,且乙通过的概率比丙大,求测试结束 40 后通过的人数?的数学期望.

【解析】设乙、丙各自通过测试的概率分别 为 x、y.
3 ?2 ? 5 xy ? 20 ? ? ?x ? 3 , 解得 ? ?3 依题意得 ? (1 ? x )(1 ? y ) ? ? 40 ?y ? ?5 ? ? ?x ? y ? ?

3 4 . 1 2

ξ的可能取值为0,1,2,3. P(ξ=0)=
3 ; P(ξ=3)= 40 3 ; 20

2 3 1 2 3 1 P (? ? 1) ? ? (1 ? )(1 ? ) ? (1 ? ) ? ? (1 ? ) 5 4 2 5 4 2 2 3 1 7 ? (1 ? )(1 ? ) ? ? 5 4 2 20 17 P (? ? 2) ? 1 ? P (? ? 0) ? P (? ? 1) ? P (? ? 3) ? 40 3 7 17 3 33 所以E (? ) ? 0 ? ? 1 ? ? 2 ? ? 3 ? ? 40 20 40 20 20

5.现要从甲、乙两个工人中选派一人参加技术比

赛,已知他们在同样的条件下每天的产量相等,
而出次品的个数的概率分布表如下: 次品数ξ(甲) P 次品数η(乙) P 0 0.1 0 0.3 1 0.3 1 0.5 2 0.2 2 0.4 3 0.2

根据以上条件,试问选派谁去参加技术比赛较合

适?
【解析】E(ξ)=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3, E(η)=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3. 由于E(ξ)=E(η), 则甲与乙出现次品数的平均水平基 本一致,因此还需考查稳定性.

V(ξ)=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2 ×0.4=0.41. V(η)=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2 ×0.2+(3-1.3)2×0.2 =1.21. 由于V(ξ) < V(η),则得知乙波动较大, 稳定性较差,故应选派甲去参加比赛较合 适.

1.求期望、方差的关键是写出概率分布表.一 般分为四步:①确定ξ的取值;②计算出 P(ξ=k);③写出概率分布表;④利用E(ξ) 的计算公式计算. 2. 注 意 期 望 与 方 差 的 性 质 的 应 用 , E(aξ+b)=aE(ξ)+b, V(aξ+b)=a2V(ξ). 在计算 复杂的随机变量的期望与方差时,利用这 些性质可以使问题变得非常简单.

3.在实际应用时,若期望相等或相差不大,则主要
比较方差的大小,方差越小,则稳定性越好.

4.二项分布是一种重要的常用的分布,它与独立
重复试验密切相关. 若ξ~B(n , p),则E(ξ)=np , V(ξ)= np(1-p).


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