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2.1 平面向量的实际背景及基本概念 课件


第二章

平面向量

第二章

平面向量

第一章

算法初步

2.1 平面向量的实际背景及基本概念

第二章

平面向量

学习导航
学习目标 向量的实际背景, 了解 理解 实例 ― ― → 从位移、力等物理 ― ― → 背景中抽象出向量

向量的概念及向 掌握 相等向量、共线 ― → 向量的概念 量的几何表示 ― 重点难点 重点:向量的概念、共线向量、向量的几何表示. 难点:向量的概念和共线向量.

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第二章

平面向量

新知初探思维启动
1.向量的概念 向量的两个要素:(1)________ ,(2)________ 想一想 1.向量是既有大小,又有方向的量,两个向量能比较

大小吗?

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平面向量

2.向量的表示 (1)有向线段 ___________的线段叫做有向线段,它包含三个要素: _______、 → ______、_________线段 AB 的长度叫做有向线段AB的 → _________,记作 |AB|. (2)向量的表示方法

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平面向量

①几何表示法:常用一条有向线段表示向量. 符号表示:以 ___________、 ____________的有向线段,记 → 作AB.(注意起点、终点顺序) ②用字母表示:向量可用字母 a、 b、 c 等表示 (印刷时用黑 → → → 体 a、 b、 c,书写时用 a、 b、 c ).

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平面向量

→ 3.向量AB的模 (或称长度) → → (1)定义:向量AB的大小; (2)表示: |AB|. 4.特殊向量 (1)零向量 ①定义:长度为 ________的向量;②表示:0. (2)单位向量 定义:长度等于 _____个单位的向量.

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平面向量

5.向量与向量的关系 (1)相等向量 ①定义:_____________________的向量叫做相等向量. ②记法:向量a与b相等,记作a=b. ③表示:________且___________的有向线段表示同一个向量

(2)平行向量(共线向量)
①定义:方向_______________的非零向量叫做平行向量,也 叫做共线向量. ②记法:向量a平行于向量b,记作a∥b. ③规定:________与任一向量平行.
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平面向量

→ → 2.向量AB与向量BA是相等向量吗?

3.平行向量与平行线的区别是什么?

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平面向量

→ → 2.向量AB与向量BA是相等向量吗?

→ → 提示:不是.向量AB与向量BA的大小相等,但是方向相反, 所以这两个向量不是相等向量.
3.平行向量与平行线的区别是什么?

提示:根据定义可知当两个向量平行时,表示它们 的有向线段可以在同一直线上,而两直线平行,则 不可能在同一直线上.

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平面向量

做一做

下列说法正确的是________(填序号).
①单位向量一定相等; ②若a=b,且|a|=0,则b=0; ③坐标平面上的x轴和y轴都是向量.

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平面向量

做一做

下列说法正确的是________(填序号).
①单位向量一定相等; ②若a=b,且|a|=0,则b=0; ③坐标平面上的x轴和y轴都是向量. 答案:②

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平面向量

典题例证技法归纳
题型探究
题型一 向量的有关概念

例1

判断下列命题是否正确,不正确的说明理由:

(1)若向量a与b同向,且|a|>|b|,则a>b; (2)若|a|=|b|,则a与b的长度相等且方向相同或相反; (3)若|a|=|b|,且a与b的方向相同,则a=b;

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平面向量

(4)由于0方向不确定,故0不能与任意向量平行;

(5)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.

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平面向量

(4)由于0方向不确定,故0不能与任意向量平行;

(5)起点不同,但方向相同且模相等的几个向量是相等向量.
【解】 (1)不正确.因为向量由两个因素来确定,即大小和

方向,所以两个向量不能比较大小. (2) 不正确.由 |a|= |b| 只能判断两向量长度相等,不能确定它 们方向的关系. (3) 正确.∵ |a|= |b|,且 a 与 b同向,由两向量相等的条件,可 得a=b.

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平面向量

(4)不正确.依据规定:0与任一向量平行. (5) 正确.对于一个向量只要不改变其大小与方向,是 可以任意移动的. 【名师点评】 (1)理解向量的问题时不可忽视向量的

大小与方向. (2)理解向量的平行问题时不可忽视零向
量的大小为零,方向任意;零向量与任一向量平行; 所有的零向量相等.

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平面向量

跟踪训练
1.在下列说法中,正确的是( )

A.两个有公共起点且共线的向量,其终点必相同 B.模为0的向量与任一非零向量平行 C.向量就是有向线段

D.两个有公共终点的向量一定是共线向量

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平面向量

跟踪训练 1.在下列说法中,正确的是( )

A.两个有公共起点且共线的向量,其终点必相同 B.模为0的向量与任一非零向量平行 C.向量就是有向线段

D.两个有公共终点的向量一定是共线向量
解析:选 B. 在选项 A 中,因为向量的方向和长度未知,所以 向量的终点也未必相同;在选项 C 中,向量与有向线段是两 个不同的概念;在选项 D 中,这两个向量的起点没有确定, 故无法判断它们是否共线.
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平面向量

题型二 例2

向量的表示方法

一辆汽车从 A 点出发向西行驶了 100 千米到达 B 点,

然后又改变方向向西偏北 50° 走了 200 千米到达 C 点,最 后又改变方向,向东行驶了 100 千米到达 D 点. → → → (1)作出向量AB,BC, CD ; → (2)求 |AD |.

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平面向量

【解】

(1)如图所示. → → → → (2)由题意,易知 AB与 CD 方向相反,故 AB 与 CD 共线即 AB∥ CD. → → 又 |AB|= |CD |, ∴四边形 ABCD 为平行四边形. → → ∴ |AD |= |BC|= 200(千米).

【名师点评】

用有向线段表示向量时,先确定起点,再

确定方向,最后依据向量模的大小确定向量的终点.必要 时,需依据直角三角形知识求出向量的方向 (即夹角)或长 度(即模),选择合适的比例关系作出向量.
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平面向量

跟踪训练 2.如图,以1 cm×3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有 向量中,请写出以A为始点的不同的向量.

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平面向量

跟踪训练 2.如图,以1 cm×3 cm方格纸中的格点为始点和终点的所有 向量中,请写出以A为始点的不同的向量.

→ → → → 解:由图可知,以 A 为始点的向量有AB、AC、AD 、AE、 → → → AF、AG 、AH.

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平面向量

题型三

相等向量与共线向量

→ 例3 如图所示, O 是正六边形 ABCDEF 的中心,且OA = a, → → OB= b,OC= c. (1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有哪些? (2)与 a 共线的向量有哪些? (3)请一一列出与 a,b, c 相等的向量.

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平面向量

【解】 → → AO ,FE.

→ → (1)与 a 的长度相等、方向相反的向量有OD, BC,

→ → → → → → → (2)与 a 共线的向量有EF,BC, OD,FE,CB, DO,AO , → → DA,AD . → → → → (3)与 a 相等的向量有EF,DO,CB;与 b 相等的向量有DC, → → → → → EO ,FA;与 c 相等的向量有FO ,ED , AB.

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平面向量

【名师点评】

向量的模是用向量的长度定义的,

共线向量是用向量的方向定义的,而相等向量是用
向量的方向和长度共同定义的,解决本题要弄清这 三个概念的联系与区别.

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平面向量

跟踪训练
3.如图所示,四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形. → (1)写出与向量ED 相等的向量; → (2)写出与向量ED 共线的向量.

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平面向量

跟踪训练
3.如图所示,四边形 ABCD 和 ABDE 都是平行四边形. → (1)写出与向量ED 相等的向量; → (2)写出与向量ED 共线的向量.

→ → 解:(1)DC、AB. → → → → → → → (2)DC、CD 、 EC、CE、AB、BA、 DE.

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平面向量

方法感悟
1.向量与有向线段的区别 (1)向量只有大小和方向两个要素,与起点无关.只要 大小和方向相同,这两个向量就是相等的向量;

(2)有向线段是表示向量的工具,它有起点、大小和方
向三个要素,起点不同,尽管大小和方向相同,也是 不同的有向线段.

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平面向量

2.平行(共线)向量的含义 (1) 平行向量与共线向量是同一概念的不同名称.根据定义 可知,平行(共线)向量所在的直线可以平行,也可以重合.

(2)共线向量所在的直线可以平行,与平面几何中的“共
线”含义不同. (3) 平行向量可以在同一条直线上,与平面几何中“直线平 行”不同,平面中两直线平行是指两直线没有公共点.

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平面向量

精彩推荐典例展示
易错警示 例4
混淆向量的模与绝对值

给出下列四个命题:

①若|a|=0,则a=0;②若|a|= |b|,则a=b或a=- b;③若a∥b,则|a|=|b|;④若a=0,则-a=0. 其中的正确命题有( )

A.1个
C.3个

B.2个
D.4个
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平面向量

【常见错误】

①忽略0与0的区别;

②混淆两个向量的模相等和两个实数相等的概念. ③对两个向量平行的概念理解不透.

【解析】

对于①,前一个零是实数,后一个应是向量

0.对于②,两个向量的模相等,只能说明它们的长度相 等,它们的方向并不确定.对于③,两个向量平行,它 们的方向相同或相反,模未必相等.故选A. 【答案】 A

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平面向量

【失误防范】

(1) 牢记向量是既有大小又有方向

的量,也就是说只要研究向量问题就要从大小和方 向这两个方面进行研究. (2) 注意实数和向量的区别,不能简单地将实数中

的性质直接迁移到向量中.

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平面向量

跟踪训练

4.下列命题中,正确的是(
A.|a|=1?a=±1 B.|a|=|b|且a∥b?a=b C.a=b?a∥b D.a∥0?|a|=0

)

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平面向量

跟踪训练

4.下列命题中,正确的是(
A.|a|=1?a=±1 B.|a|=|b|且a∥b?a=b C.a=b?a∥b D.a∥0?|a|=0

)

解析:选C.两向量的模相等两向量不一定相等,也不一定
方向相同或相反,0与任一向量平行.

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