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奥本海姆 信号与系统 第一章知识点总结


第一章

信号与系统

一.连续时间和离散时间信号 1.两种基本类型的信号: 连续时间信号和离散时间信号。在前一种情况下,自变量是连续可变的, 因此信号在自变量的连续值上都有定义;而后者是仅仅定义在离散时刻点上,也 就是自变量仅取在一组离散值上。为了区分,我们用 t 表示连续时间变量。而用 n 表示离散时间变量, 连续时间变量用圆括号 ??? 把自变量括在里面, 而离散时间 信号则用方括号 ??? 来表示。 2.信号能量与功率 连续时间信号在 ?t1,t 2 ? 区间的能量定义为:E= ? x(t ) dt
t2 t1 2

连续时间信号在 ?t1 , t 2 ? 区间的平均功率定义为:P=
n2

2 t2 1 x ( t ) dt t 2 ? t1 ?t1

离散时间信号在 ?n1 , n2 ? 区间的能量定义为:E= ? x[n]
n ? n1

2

n2 1 2 x(t ) 离散时间信号在 ?n1 , n2 ? 区间的平均功率定义为:P= ? n2 ? n1 ? 1 n ? n1

在无限区间上也可以定义信号的总能量: 连续时间情况下: E? ? lim ? x(t ) dt ? ? x(t) dt
2 2 T ?? ?T ?? ? T ??

离散时间情况下: E ? lim

?

N ??

n?? N

?

?N

x[n] ?

2

n ? ??

? x[n]

??

2

在无限区间内的平均功率可定义为:
P? ? lim
?

?

1 T ?? 2T

?

T

?T

x(t ) dt

2

P? ? lim

?N 1 2 x[n] ? N ?? 2 N ? 1 n?? N

二.自变量的变换
1.时移变换 x(t) ? x(t- t 0 ) 当 t 0 >0 时,信号向右平移 t 0 ;当 t 0 <0 时,信号向左平移 t 0

x[n] ? x[n- n 0 ] 2.反转变换 x(t) ? x(-t) x[n] ? x[-n] 3.尺度变换 x(t) ? x(at)

当 n 0 >0 时,信号向右平移 n 0 ;当 n 0 <0 时,信号向左平移 n 0

信号以 t=0 为轴呈镜像对称 与连续时间的情况相同

a>1 时,x(at) 是将 x(t)在时间上压缩 a 倍 0<a<1 时,x(at)是将 x(t)在时间上扩展 1/a 倍

由于离散时间信号的自变量只能取整数值,因而尺度变换只对连续时间信号而 言。 4.周期信号 周期信号:x(t)=x(t+T) x[n]=x[n+N] 满足此关系的正实数(正整数)中最小的一个,称为信号的基波周期 T0 ?N 0 ? x(t)=c x[n]=c 可视为周期信号,但它的基波周期没有确定的定义。 可以视为周期信号,其基波周期 N 0 ? 1

5.偶信号与奇信号 如果有 x(-t)=-x(t)或 x[-n]=-x[n], 则称该信号为奇信号 如果有 x(-t)=x(t)或 x[-n]=x[n], 则称该信号为偶信号 任何信号都能分解成一个偶信号与一个奇信号之和。 对实信号有:

x(t ) ? xe (t ) ? xo (t )
1 xe (t ) ? [ x(t ) ? x(?t )] 2

其中

1 xo (t ) ? [ x(t ) ? x(?t )] 2
其中

三.指数信号与正弦信号
1.连续时间复指数信号与正弦信号 连续时间复指数信号具有如下形式:x(t)=C e at C 和 a 一般为复数,根据这些

参数值的不同,复指数信号可有几种不同的特征。 ?实指数信号: C 和 a 都为实数,若 a 是正实数,那么 x(t)随 t 的增加而指数增长,若 a 是 负实数,那么 x(t)随 t 的增加而指数衰减,对于 a=0,x(t)为一常数。 ?周期复指数信号:

x(t ) ? e a 为纯虚数,

j?0t

? cos ?0t ? j sin ?0t
2?

x(t)是周期的,其基波周期为: T0 ? ?正弦信号:

?0

x(t ) ? A cos(?0t ? ? )
其基波周期为 T0 ? ④一般复指数信号
2?

?

A j? j?0t A ? j? ? j?0t e e ? e e 2 2

?0

, 基波频率为 ? 0

Ceat ? C e rt cos(?0t ? ? ) ? j C e rt sin(?0t ? ? )

当 r>0 时,是指数增长的正弦振荡。 r<0 时,是指数衰减的正弦振荡。 r=0 时,是等幅的正弦振荡。

2. 离散时间复指数信号与正弦信号 x[n]=C ? n ?实指数信号 C 和 ? 均为实数 当 ? >1 时,呈单调指数增长 0< ? <1 时,呈单调指数衰减 -1< ? <0 时,呈摆动指数衰减 C 和 ? 一般均为复数

? <-1 时,呈摆动指数增长
?正弦信号

e j?0n ? cos?0 n ? j sin ?0 n
A cos( ?0 n ? ? ) ?

x[n] ? A cos(?0 n ? ? )

A A A j ??0 n ?? ? A ? j ??0 n ?? ? ? ( e j? )e j?0n ? ( e ? j? )e ? j?0n e ? e 2 2 2 2

注:离散时间正弦信号不一定是周期的 ?一般复指数信号
C? n ? C ? c o s ?( ?(0 n ? ? ) 0n ? ? ) ? j C ? s i n
n n

对 ? =1,复指数序列的实部和虚部都是正弦序列,对 ? <1,其实部和虚部为 正弦序列乘以一个按指数衰减的序列,对 ? >1,则乘以一个按指数增长的序列。 3.离散时间复指数序列的周期性质 ? 离散时间复指数序列 x[n]= e j?0 n 不一定是周期性的,要具有周期性,必 须具备一定条件。 只有在 2 ? 与 ? 0 的比值是一个有理数时, e j?0 n 才具有周期性。 在满足周期性要求的情况下,总能找到互为质数的两个正整数 m, N 使得:

?0 m ? 2? N
此时 N ?
2?

(m 与 N 无公因子)

??

? 2? ? 0 N m

?0

m 即为该信号的周期, 也称为基波周期, 因此该信号的基波频率为:

?离散时间周期性复指数信号也可以构成一个成谐波关系的信号集。
? kn ? ? j2 ?k ( n ) ? ?e N ? ? ?

k ? 0, ?1, ?2 ??????

该信号集中的每一个信号都是以 N 为周期的, N 是它们的基波周期。 k=0 称为直流分量,k=1 称为基波分量,k=2 称为二次谐波分量等等 注:该信号集中只有 N 个信号是独立的。即当 k 取相连的 N 个整数时所对应的 各个谐波是彼此独立的。 ?信号 e j?0 t 和 e j?0 n 的比较

? 0 不同,信号不同
对任何 期的

频差 相同

2?

的整数倍时,信号

? 0 信号都是周

2? ?0 ? 仅当 N m
周期的

时,信号是

2? 基 波 频 率 ; ?0 ? T0
基波周期:

? ? 基波频率; 0
基波周期:

2? m N

T0

N

四.单位冲激与单位阶跃函数
1.离散时间单位脉冲和单位阶跃序列 ?单位脉冲序列

?单位阶跃序列

离散时间单位脉冲是离散时间单位阶跃的一次差分, 离散时间阶跃是单位样本的 求和函数。 ?单位脉冲的采样性

2.连续时间单位阶跃和单位冲激函数 ?单位阶跃函数

u (t ) ? ?
?单位冲激函数

1
0

, ,

t ?0 t?0

? (t ) ?

du (t ) dt

连续时间单位阶跃是单位冲激的积分函数

连续时间单位冲激可看作连续时间单位阶跃的一次差分 ?δ (t)函数性质 a.δ (t) 是偶函数,δ (-t)=δ (t) b.比例变换特性,δ (at)= c.
1 δ (t) a

u(t ) ? ? ? (? )d?
??

t

?

?

??

? (t )dt ? 1

d.采样性,

x(t )? (t ) ? x(0)? (t ) x(t )? (t ? t0 ) ? x(t0 )? (t ? t0 )

五. 连续时间与离散时间系统
1.系统的互联

?级联 ?并联 ?级联/并联联接 ④反馈联结 六.基本系统性质 1.记忆系统与无记忆系统 如果对自变量的每一个值, 一个系统的输出仅仅决定于该时刻的输入,则称该 系统是无记忆系统,否则就是记忆系统。 恒等系统是一种特别简单的无记忆系统, 离散时间记忆系统的一个例子就是累 加器或相加器。 2.可逆性与可逆系统 一个系统如果在不同的输入下,导致不同的输出,就称该系统是可逆的。 如果一个可逆系统与另一个系统级联后构成一个恒等系统,则称后者是前 者的逆系统。 3.因果性 如果一个系统在任何时刻的输出只决定于现在的输入以及过去的输入, 就称 该系统为因果系统。 这样的系统往往称之为不可预测的系统,因为系统的输出无 法预测未来的输入值。 所有的无记忆系统都是因果的。 4.稳定性 如果一个系统当输入有界时, 产生的输出也是有界的, 则该系统是稳定系统。 否则,就是不稳定系统。 5.时不变性 如果一个系统当输入信号有一个时移时,输出响应也产生同样的时移,除此 之外,输出响应无任何其它变化,则称该系统是时不变的,否则就是时变的。 检验一个系统时不变性的步骤:
( ①令输入为 x 1 t) ,根据系统的描述,确定此时的输出 y1 ?t ?

②将输入信号变为 x 2 ?t ? ,再根据系统的描述确定输出 y 2 ?t ?

③令 x 2 ?t ? = x1 ?t ? t0 ? ,根据自变量变换,检验 y1 ?t ? t0 ? 是否等于 y 2 ?t ? 6.线性 线性系统具有一个很重要的性质就是叠加性质,即:如果某一个输入是由几 个信号的加权组合的话, 那么输出也就是系统对这组信号中每一个的响应的加权 和。 连续时间: ax1 ?t ? ? bx2 ?t ? ? ay1 ?t ? ? by2 ?t ? 离散时间: ax1?n? ? bx2 ?n? ? ay1?n? ? by2 ?n? 对于线性系统来说,叠加性质的一个直接结果就是:在全部时间为零的输入,其 输出也恒为零,即零输入产生零输出。

? 增量线性系统
在连续或离散时间系统中,其中输出由一个线性系统的响应与一个零输入响 应叠加组成;其响应对输入中的变化是线性的;对增量线性系统而言,对任意两 个输入的响应的差是两个输入的差的线性函数(即可加的且齐次的) 。


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