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1.4三角函数的图象与性质同步测试题


1.4 三角函数的图象与性质同步测试题 A卷 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1. 【命题意图】本题考查特殊角的三角函数值. 若 sin 2? ? A. ? ?

3 ,则 ? 的值可以是( 2

) C. ? ?

?
6

B. ? ?

?
3

?
2

D. ? ? ?

2. 【命题意图】本题考查三角函数的奇偶性. 若 f(x) cos

?x
2

是周期为 2 的奇函数,则 f(x)可以是 B.cos

( D.cosπ x



A.sin

?x
2

?x
2

C.sinπ x

3. 【命题意图】本题考查诱导公式. 已知 f (? ) ? sin( A. ?

3? 31? ? ? ) tan(? ? ? ) ,则 f (? ) 的值为( 2 3
B.



1 2

1 2

C.

3 2

D. ?

3 2

4. 【命题意图】本题考查正、余弦函数图象和三角函数求值域的方法. 4、方程 sinx = lgx 的实根有 A.1 个 B .2 个 C.3 个 5. 【命题意图】本题考查三角函数单调性的求法. 函数 y ? sin(?2 x ? D. 无穷多个 ( )

?
6

) 的单调递增区间是(



A. [? ? ? 2k? , ? ? 2k? ]( k ? Z ) B. [ ? ? 2k? , 5? ? 2k? ]( k ? Z ) 6 6 6 3 ? 5 ? ? 5 ? C. [ ? k? , D. [ ? k? , ? k? ]( k ? Z ) ? k? ](k ? Z ) 6 6 3 6 6. 【命题意图】本题考查 y=Asin(ω x+φ )的图像性质. 已知 y=Asin(ω x+φ )在同一周期内,x= 解析式为

? 1 4? 1 时有最大值 , x = 时有最小值- ,则函数的 2 9 2 9
( )

x ? ? ) 3 6 1 x ? C.y= sin ( ? ) 2 3 6
A.y=2sin(

1 ? sin(3x+ ) 2 6 1 ? D.y= sin(3x- ) 2 6
B.y=

7. 【命题意图】本题考查函数零点以及非特殊角的三角函数值.

设函数 f ( x) ? 4sin(2 x ? 1) ? x ,则在下列区间中函数 f ( x) 存在零点的是( A. [?4, ?2] B. [?2,0] C. [0, 2] D. [2, 4]



8. 【命题意图】本题考查三角 函 数的单调性 下列函数中,周期为 ? ,且在 [ (A) y ? sin(2 x ? (C) y ? sin( x ?

? ?

?
2 )

, ] 上为减函数的是 4 2
(B) y ? cos(2 x ? (D) y ? cos( x ?

)

?
2 )

)

?

?
2

2

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 9. 【命题意图】本题考查函数定义域的求法. 函数 y ? lg(cos 2 x) 的定义域是 10. 【命题意图】本题考查三角函数的值域. 函数 f ( x) ? 3sin( x ? .

?
6

) 区间 [0, ? ] 上的值域为
2

.

11. 【命题意图】本题考查三角函数的对称性 函数 y ? cos(2 x ?

5? ) 的对称轴为 6

.

12. 【命题意图】本题考查三角函数的图像性质 下列说法正确的是(填上你认为正确的所有命题的代号)____。 ①函数 y=-sin(kπ +x)(k∈Z)的奇函数; ②函数 y=sin(2x+

? ? )关于点( ,0)对称; 3 12

③△ABC 中,cosA>cosB 的充要条件是 A<B; ④函数 y=cos2x+sinx 的最小值是 1 三、解答题:本大题共 3 小题,共 30 分. 13.(本小题满分 10 分) 【命题意图】本题考查正弦函数的图像性质. 求函数 f ( x) ? lg(sin x) 的定义域. 14. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本题考查三角函数的单调性. 求函数 f ( x) ? 2 sin(? x) 的单调区间 B卷 一、选择题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分. 1. 【命题意图】本题考查方程有根问题.

关 于 x 的 方 程 4 c oxs? ( ) A. [0,8]

2

s ixn ? m?

恒有 ?4 0实数解,则 m 的取值范围是 C. [0,5] D. [ ? 1,+∞)

B.[ ? 1,8]

2.【命题意图】本题考查三角函数给值求角问题. 若 cosx=0,则角 x 等于( A.kπ (k∈Z) C. )

π +2kπ (k∈Z) 2

π +kπ (k∈Z) 2 π D.- +2kπ (k∈Z) 2
B.

二、填空题:本大题共 2 小题,每小题 5 分,共 10 分. 3. 【命题意图】本题考查余弦函数的图象性质 使 cosx=

1? m 有意义的 m 的取值范围为 1? m

4. 【命题意图】本题考查三角函数的值域. 已知 sin x ? sin y ?

2 2 2 ,则 ? sin y ? cos x 的取值范围是 3 3

三、解答题:本大题共 2 小题,共 20 分. 5.(本小题满分 10 分) 【命题意图】本题考查三角函数的值域. 求函数 f ( x) ? 2 cos x ? 5 sin x ? 4 的值域
2

6. (本小题满分 10 分) 【命题意图】本题考查五点法作函数图象. 已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?
3

)( x ? R) .

(1) 用 “五点作图法” 画出函数 f ( x) 的图象;

(2)若 f ( x) ?

2 , 求x 的取值范围. 2
C卷

1. 【命题意图】本题考查三角函数、对数函数 图象,考查函数图象的变换. 已知函数 y ? sin ax ? b( a ? 0) 的图象如图所

x? b ) 示,则函数 y ? log 的图象可能是 a (
( ).

2.(本小题满分 10 分) 【命题意图】本题考查三角函数对称中心问题,考查恒成立问题. 已知函数 f ( x) ? 1 ? 2 sin(2 x ?

?
3

).

(Ⅰ)求 f ( x ) 的对称中心; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? m ? 2 在 x ? ? , ? 上恒成立,求实数 m 的取值范围 4 2

?π π? ? ?

答案及详细解析:
A卷 1.A 【解题思路】当 ? ?

?
6

时, sin 2? ?

3 ,故选 A. 2

2.A 【解题思路】因为 sin 3. D 【解题思路】 f (? ) ? sin(

?x
2

cos

?x
2

= sinπ x,为周期为 2 的奇函数,故选 A.

3? ? ? ) tan(? ? ? ) ? cos ? tan ? ? sin ? , 2

f (?
4. C

31? 31? ? 3 ) ? sin(? ) ? ? sin ? ? 3 3 3 2

【解题思路】画图易得 y=sinx 与 y = lgx 有三个交点,故方程 sinx = lgx 的实根有 3 个. 5. C 【解题思路】因为 y ? sin( ?2 x ? ∴ x ?[

?

?
3

? k? ,

5? ? k? ] . 6

? ? ? 3? ) ? ? sin(2 x ? ) ,∴ 2 x ? ? [ ? 2k? , ? 2 k? ] 6 6 6 2 2
? 1 4? 1 时有最大值 , x = 时有最小值- 代入 2 9 2 9

6.B 【解题思路】由最值,排除 A;再由 x= 验证可知选 B. 7.C

【解题思路】 f (0) ? 4sin1 ? 0 , f (2) ? 4sin 5 ? 2 ? 0 ,故存在零点的区间为 [0, 2] . 8.A 【解题思路】解析:C、D 中函数周期为 2 ? ,所以错误 当 x ?[

? ?

? ? ? 3? ? , ] 时, 2 x ? ? ?? , ? ,函数 y ? sin(2 x ? ) 为减函数 2 ? 2 ? 4 2 2

而函数 y ? cos(2 x ? 9. (?

?
2

) 为增函数,所以选 A

?
4

? k? ,

?
4

? k? )(k ? Z )

【解题思路】 .要使原式有意义, 则需满足 cos 2x ? 0 ,2 x ? (? ∴ x ? (? 10. [ ?

?
2

? 2 k? ,

?
2

? 2k? )(k ? Z ) ,

?
4

? k? ,

?
4

? k? )(k ? Z )

3 3 3 , ] 2 2

【 解 题 思 路 】 当 x ? [0,

?
2

] 时 , x?

?

? 1 3 ? ? ] , , sin( x ? ) ? [? , ? [ ? , ] 6 2 2 6 6 3

? 3 3 3 3 3 3 3sin( x ? ) ? [? , ] ,即此时函数 f ? x ? 的值域是 [ ? , ]. 6 2 2 2 2
11. x ?

k? 5? 5? , k ? Z 【解题思路】由 2 x ? ? ? k? , k ? Z 解得对称轴方程 2 12 6 k? 5? , k ?Z x? ? 2 12
12. 【解题思路】y=-sin(kπ +x)= ? sin x ,故为奇函数,故①正确;当 x ?

?
2

时,y=0,

故②正确;由余弦函数的图像性质可得③正确;y=cos2x+sinx= -sin2x+sinx+1= -(sinx-

5 .故当 sinx=-1 时,函数取得最小值是-1 故④错误,因此①②③正确. 4 13.由 sin x ? 0 得 2k? ? x ? ? ? 2k? (k ? z ) ,因此,函数的定义域为
+

1 2 ) 2

(2k? ,? ? 2k? )(k ? z)
14.解: f ( x) ? 2 sin(? x) ? ?2 sin x

所以,函数在 [? 所以,函数在 [

?
2

? 2k? ,

?
2

? 2k? ], k ? Z 上单调递减.

?
2

? 2k? ,

3? ? 2k? ], k ? Z 上单调递增。 2

B卷 1.D 【解题思路】首先应保证 cos x ? 0 ( 1 ) ;又要使函数 y ? log 1 (cos x) 为减函数可使函数
2

;易知只有选项 D 符合(1) (2). ? ? cos x 为增函数(2) 1.A 【解题思路】令 t ? cos x ,则 ?1 ? t ? 1且原方程变形为 ?t ? 4t ? m ? 3 ? 0 ,
2

∴ m ? t ? 4t ? 3 ? (t ? 2) ? 1 , t ? ? ?1,1? ,∴ 0 ? m ? 8 .
2 2

π +kπ )=0,故选 B. 2 1? m 3. m≤0 【解题思路】由 ?1 ? ? 1 得,m≤0 1? m 1 7 2 4 1 1 4. [ , ] 【解题思路】 ? sin y ? cos 2 x ? ? sin x ? cos 2 x ? (sin x ? ) 2 ? .又 12 9 3 3 2 12 2 2 ? sin y ? ? sin x , ∴ ?1 ? ? sin x ? 1 ,得 3 3 1 1 1 1 7 1 7 ? ? sin x ? 1,? ? (sin x ? )2 ? ? .即所求取值范围为 [ , ] 3 12 2 12 9 12 9
2.B【解题思路】2. cos( 5. f ( x) ? 2 cos x ? 5 sin x ? 4 ? ?2 sin x ? 5 sin x ? 3
2 2

5 19 ? ?2(sin x ? ) 2 ? ,??5 分 4 8
当 sin x ? ?1 时, f ( x) 取得最小值-6,当 sin x ? 1时, f ( x) 取得最大值 0. ??10 分 6.解: (I)? f ( x) ? cos(2 x ?

?
3
0

) ,列表如下:

2x ?

?
3

?

?
3

x
f ? x?

0

? 6
1

? 2 5 ? 12
0

π

2 ? 3
-1

3 ? 2 11 ? 12
0

5 ? 3
π

1 2

1 2

图象如图:??5 分 (II)∵ cos(2 x ?

?
3

)?

2 , 2

? 2k? ?

?
4

4 7 2k? ? ? 2 x ? 2k? ? ? , 12 12 ? 7 k? ? ? x ? k? ? , k ? Z , 24 24

? 2x ?

?
3

? 2k? ?

?

?

? x的范围是{x | k? ?
??10 分

?

24

? x ? k? ?

7 ? , k ? Z}. 24

C卷

1. C 【 解 题 思 路 】 由 给 定 的 图 象 可 知 , 函 数 y ? s i na x? b( a 的 ? 0 ) 最小正周期为

T ? 4? ? ? ?

1 ,且 0 ? b ? 1 ,则函数 y ? log a ( x ? b) 的图象应如 C 所示,故选 C。 2

2.解: (Ⅰ) f ( x) ? 1 ? 2 sin(2 x ? 由 2x ?

?

3

)

π k? π ? k? (k ? Z ) 得, x ? ? (k ? Z ) ,??????????????3 分 3 2 6 k? π ? ,1)(k ? Z ) ????????????5 分 2 6
?π π?

所以,原函数的对称中心为 (

(Ⅱ)∵ f ( x) ? m ? 2 ? f ( x) ? 2 ? m ? f ( x) ? 2 , x ? ? , ? ,???????????7 分 ?4 2?
∴ m ? f ( x)max ? 2 且 m ? f ( x)min ? 2 ,∴1 ? m ? 4 ,即 m 的取值范围是 (1, 4) .??10 分

A 卷备选题 1.如果下图是周期为 2π 的三角函数 y=f(x)的图象,那么 f(x)可以写成
y 1 O 1 1 x

A.sin(1+x)

B.sin(-1-x)

C.sin(x-1)

D.sin(1-x)

2.若函数 f(x)=3sin(ω x+ ? )对任意的实数 x,都有 f( 等于_____________. 3.已知函数 y=

π π π +x)= f( -x) ,则 f( ) 6 6 6

1 ? 5 sin(2x+ )+ (x∈R), 2 6 4

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到? 1. D 分析:函数 y=f(x)的图象过点(1,0) ,即 f(1)=0,可排除 A、B.又因为 y=f(x) 的图象过点(0,b) ,b>0,即 f(0)>0,可排除 C,故选 D. 点拨:解“给图定式”型选择题,可采用特殊点代入法. 2. 3 或-3 分析:根据已知条件确定它的对称轴,对称轴与曲线的交点是三角函数的最值 点. 点拨:正弦波在最值处取得对称轴 . 3.分析: (1)y 取最大值时,只需 2x+

? ? ? = +2kπ ,(k∈Z) ,即 x= +kπ ,(k∈Z) 。 6 2 6 ? 所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为{x|x= +kπ ,k∈Z} 6
(2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换:

? ? ,得到函数 y=sin(x+ )的图像; 6 6 1 ( ii )把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的 倍(纵坐标不变) ,得到函数 2
(i)把函数 y=sinx 的图像向左平移

y=sin(2x+

? )的图像; 6
1 倍(横坐标不变) ,得到函数 2

( iii )把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的 y=

1 ? sin(2x+ )的图像; 2 6
(iv)把得到的图像向上平移

综上得到 y=

1 ? 5 sin(2x+ )+ 的图像. 2 6 4

5 1 ? 5 个单位长度,得到函数 y= sin(2x+ )+ 的图像。 4 2 6 4

点拨:本题主要考查三角函数的图像和性质. B 卷备选题 1.若函数 f ( x) ? sin(?x ? ? ) 的图象(部分且 | ? |? ? )如图 1-9-7 所示,则 ?和? 的取值是 A. ? ? 1, ? ?

?

3 1 ? C. ? ? , ? ? 2 6

B. ? ? 1, ? ? ?

?

3 1 ? D. ? ? , ? ? ? 2 6 1 倍,再将图象沿 3

2.若函数 y=sinx 的图象上的每个点的纵坐标不变,将横坐标缩小为原来的 x 轴向左

π 个单位,则变换后的图象所对应的函数解析式是_____________. 3 π 3.已知函数 f ( x) ? 2 2 sin(2 x ? ) . 4
(1)用“五点法”画出它的一个周期内的图像; (2)求它的振幅、周期、及初相; (3)求 f ( x) 的最小正周期、 f ( x) 的最大值及此时 x 的集合; (4)证明:函数 f ( x) 的图像关于直线 x ? ?

π 对称. 8

2? ? 2? 1 2? = ;函数图像经过最高点( ,代 ? (? ) = 4? , ? ? ,1 ) 3 3 4? 2 3 1 2? ? ? ? 入函数解析式,得 1 ? sin( ? ? ? ) , ? ? ? 2k ? ? , k ? Z , ? ? . 2 3 3 2 6 1 2. y ? ? sin 3x 分析:y=sinx 的图象上的每个点的纵坐标不变,将横坐标缩小为原来的 3 π π 倍, 得到 y=sin3x, 再将图象沿 x 轴向左 个单位, y ? sin 3( x ? ) ? sin(3x ? ? ) ? ? sin 3x . 3 3
1.C 分析: T ? 4 ?


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