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高中数学完整讲义——排列与组合5.排列组合问题的常见模型1


高中数学讲义

排列组合问题的常见模型 1

知识内容
1.基本计数原理 ⑴ 加法原理 分类计数原理:做一件事,完成它有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不同的方法,在第二类办法中 有 m2 种方法,……,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法.那么完成这件事共有 N ? m1 ? m2 ? ? mn 种 不同的方法.又称加法原理. ⑵ 乘法原理 分步计数原理:做一件事,完成它需要分成 n 个子步骤,做第一个步骤有 m1 种不同的方法,做第二个 步 骤 有 m2 种 不 同 方 法 , …… , 做 第 n 个 步 骤 有 mn 种 不 同 的 方 法 . 那 么 完 成 这 件 事 共 有 N ? m1 ? m2 ? ? mn 种不同的方法.又称乘法原理. ⑶ 加法原理与乘法原理的综合运用 如果完成一件事的各种方法是相互独立的, 那么计算完成这件事的方法数时, 使用分类计数原 理.如果完成一件事的各个步骤是相互联系的,即各个步骤都必须完成,这件事才告完成,那么计 算完成这件事的方法数时,使用分步计数原理. 分类计数原理、分步计数原理是推导排列数、组合数公式的理论基础,也是求解排列、组合问 题的基本思想方法,这两个原理十分重要必须认真学好,并正确地灵活加以应用. 2. 排列与组合 ⑴ 排列:一般地,从 n 个不同的元素中任取 m(m ≤ n) 个元素,按照一定的顺序排成一列,叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个排列. (其中被取的对象叫做元素) 排列数:从 n 个不同的元素中取出 m(m ≤ n) 个元素的所有排列的个数,叫做从 n 个不同元素中取出
m 个元素的排列数,用符号 A m n 表示.
(n ? m ? 1) , m ,n ? N? ,并且 m ≤ n . 排列数公式: Am n ? n(n ? 1)(n ? 2) 全排列:一般地, n 个不同元素全部取出的一个排列,叫做 n 个不同元素的一个全排列. n 的阶乘:正整数由 1 到 n 的连乘积,叫作 n 的阶乘,用 n ! 表示.规定: 0! ? 1 .

⑵ 组合:一般地,从 n 个不同元素中,任意取出 m (m ≤ n) 个元素并成一组,叫做从 n 个元素中任取
m 个元素的一个组合. 组合数:从 n 个不同元素中,任意取出 m (m ≤ n) 个元素的所有组合的个数,叫做从 n 个不同元素

中,任意取出 m 个元素的组合数,用符号 Cm n 表示. 组合数公式: Cm n ?
n(n ? 1)(n ? 2) (n ? m ? 1) n! ? , m, n ? N ? ,并且 m ≤ n . m! m !(n ? m)!

n?m m m?1 组合数的两个性质:性质 1: Cm ;性质 2: Cm . (规定 C0 n ? Cn n ?1 ? Cn ? Cn n ? 1)

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⑶ 排列组合综合问题 解排列组合问题,首先要用好两个计数原理和排列组合的定义,即首先弄清是分类还是分步,是排 列还是组合,同时要掌握一些常见类型的排列组合问题的解法: 1.特殊元素、特殊位置优先法 元素优先法:先考虑有限制条件的元素的要求,再考虑其他元素; 位置优先法:先考虑有限制条件的位置的要求,再考虑其他位置; 2. 分类分步法: 对于较复杂的排列组合问题, 常需要分类讨论或分步计算, 一定要做到分类明确, 层次清楚,不重不漏. 3.排除法,从总体中排除不符合条件的方法数,这是一种间接解题的方法. 4. 捆绑法: 某些元素必相邻的排列, 可以先将相邻的元素“捆成一个”元素, 与其它元素进行排列, 然后再给那“一捆元素”内部排列. 5.插空法:某些元素不相邻的排列,可以先排其它元素,再让不相邻的元素插空. 6. 插板法:n 个相同元素, 分成 m(m ≤ n) 组, 每组至少一个的分组问题——把 n 个元素排成一排,
m ?1 从 n ? 1 个空中选 m ? 1 个空,各插一个隔板,有 Cn ?1 .

7.分组、分配法:分组问题(分成几堆,无序).有等分、不等分、部分等分之别.一般地平均 分成 n 堆(组),必须除以 n !,如果有 m 堆(组)元素个数相等,必须除以 m ! 8.错位法:编号为 1 至 n 的 n 个小球放入编号为 1 到 n 的 n 个盒子里,每个盒子放一个小球,要求 小球与盒子的编号都不同,这种排列称为错位排列,特别当 n ? 2 ,3,4,5 时的错位数各为 1,2, 9,44.关于 5、6、7 个元素的错位排列的计算,可以用剔除法转化为 2 个、3 个、4 个元素的错位 排列的问题. 1.排列与组合应用题,主要考查有附加条件的应用问题,解决此类问题通常有三种途径: ① 元素分析法:以元素为主,应先满足特殊元素的要求,再考虑其他元素; ② 位置分析法:以位置为主考虑,即先满足特殊位置的要求,再考虑其他位置; ③ 间接法:先不考虑附加条件,计算出排列或组合数,再减去不符合要求的排列数或组合数. 求解时应注意先把具体问题转化或归结为排列或组合问题; 再通过分析确定运用分类计数原理 还是分步计数原理;然后分析题目条件,避免“选取”时重复和遗漏;最后列出式子计算作答. 2.具体的解题策略有: ① 对特殊元素进行优先安排; ② 理解题意后进行合理和准确分类,分类后要验证是否不重不漏; ③ 对于抽出部分元素进行排列的问题一般是先选后排,以防出现重复; ④ 对于元素相邻的条件,采取捆绑法;对于元素间隔排列的问题,采取插空法或隔板法; ⑤ 顺序固定的问题用除法处理;分几排的问题可以转化为直排问题处理; ⑥ 对于正面考虑太复杂的问题,可以考虑反面. ⑦ 对于一些排列数与组合数的问题,需要构造模型.

典例分析
排队问题 【例1】 三个女生和五个男生排成一排 ⑴ 如果女生必须全排在一起,可有多少种不同的排法? ⑵ 如果女生必须全分开,可有多少种不同的排法? ⑶ 如果两端都不能排女生,可有多少种不同的排法?

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【例2】 6 个人站成一排: ⑴ 其中甲、乙两人必须相邻有多少种不同的排法? ⑵ 其中甲、乙两人不相邻有多少种不同的排法? ⑶ 其中甲、乙两人不站排头和排尾有多少种不同的排法? ⑷ 其中甲不站排头,且乙不站排尾有多少种不同的排法?

【例3】 7 名同学排队照相. ⑴ 若分成两排照,前排 3 人,后排 4 人,有多少种不同的排法? ⑵ 若排成两排照,前排 3 人,后排 4 人,但其中甲必须在前排,乙必须在后排,有多少种不 同的排法? ⑶ 若排成一排照,甲、乙、丙三人必须相邻,有多少种不同的排法? ⑷ 若排成一排照,7 人中有 4 名男生,3 名女生,女生不能相邻,有多少种不同的排法?

【例4】 6 个队员排成一排,

⑴ 共有多少种不同的排法? ⑵ 若甲必须站在排头,有多少种不同的排法?

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⑶若甲不能站排头,也不能站排尾,问有多少种不同的排法?

【例5】 ABCDE 五个字母排成一排,若 ABC 的位置关系必须按 A 在前、B 居中、C 在后的原则,

共有_______种排法(用数字作答) .

【例6】 用 1 到 8 组成没有重复数字的八位数,要求 1 与 2 相邻,3 与 4 相邻, 5 与 6 相邻,而 7 与 8 不相邻,这样的八位数共有_ __个(用数字作答) .

【例7】 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照,要求排成一排, 2 位老人相邻但不排在

两端,不同的排法共有( ) A. 1440 种 B. 960 种

C. 720 种

D. 480 种

【例8】 12 名同学合影,站成前排 4 人后排 8 人,现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排,若

其他人的相对顺序不变,则不同调整方法的总数是( A. C A
2 8 2 3


2 2 A5 D. C8

B. C A

2 8

6 6

C. C A

2 8

2 6

【例9】 记者要为 5 名志愿者和他们帮助的 2 位老人拍照, 要求排成一排, 2 位老人相邻但不排在两端, 不同的排法共有( ) A.1440 种 B.960 种 C.720 种 D.480 种

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【例10】 在数字 1 ,2 ,3 与符号 ? ,? 五个元素的所有全排列中, 任意两个数字都不相邻的全排列个数是 ( ) A. 6 B. 12 C. 18 D. 24

【例11】 计划展出 10 幅不同的画,其中 1 幅水彩、4 幅油画、5 幅国画,排成一列陈列,要求同一品 种的画必须连在一起,并且水彩画不放在两端,那么不同的陈列方式有_____种.

【例12】 6 人站一排,甲不站在排头,乙不站在排尾,共有_________种不同的排法(用数字作答) .

【例13】 一条长椅上有 7 个座位,4 人坐,要求 3 个空位中,有 2 个空位相邻,另一个空位与 2 个相邻 位不相邻,共有几种坐法?

【例14】 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女

生相邻,则不同排法的种数是( A. 360 B. 288

) C. 216 D. 96

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【例15】 古代“五行”学说认为: “物质分金、木、土、水、火五种属性,金克木,木克土,土克水, 水克火,火克金.”将五种不同属性的物质任意排成一列,但排列中属性相克的两种物质不相 邻,则这样的排列方法有 种(结果用数值表示) .

2, 3, 4, 5, 6, 7 的任一排列 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , a6 , a7 中,使相邻两数都互质的排列方 【例16】 在 1,

式共有( A. 288

)种. B. 576

C. 864

D. 1152

Q, R, S? 与 ?0 ,, 1 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9? 中各任取 2 个元素排成一排(字母和数 【例17】 从集合 ?P ,

字均不能重复) .每排中字母 Q 和数字 0 至多只能出现一个的不同排法种数是 _________. (用数字作答)

1 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} 中各任取 2 个元素排成一排 P, Q, R, S} 与 {0 ,, 【例18】 从集合 {O , (字母和

Q 和数字 0 至多只能出现一个的不同排法种数是 数字均不能重复) .每排中字母 O ,

_________. (用数字作答)

【例19】 6 个人坐在一排 10 个座位上,问

⑴ 空位不相邻的坐法有多少种? ⑵ 4 个空位只有 3 个相邻的坐法有多少种? ⑶ 4 个空位至多有 2 个相邻的坐法有多少种?

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【例20】 3 位男生和 3 位女生共 6 位同学站成一排,若男生甲不站两端,3 位女生中有且只有两位女

生相邻,则不同排法的种数是( A. 360 B. 288

) C. 216

D. 96

【例21】 12 名同学合影, 站成了前排 4 人后排 8 人, 现摄影师要从后排 8 人中抽 2 人调整到前排,

其他人的相对顺序不变,则不同调整的方法的总数有(
2 2 A3 A. C8 2 6 A6 B. C8 2 2 A6 C. C8



2 2 A5 D. C8

【例22】 两部不同的长篇小说各由第一、二、三、四卷组成,每卷 1 本,共 8 本.将它们任意地排

成一排,左边 4 本恰好都属于同一部小说的概率是_______.

【例23】 2007 年 12 月中旬,我国南方一些地区遭遇历史罕见的雪灾,电煤库存吃紧.为了支援南

方地区抗灾救灾,国家统一部署,加紧从北方采煤区调运电煤.某铁路货运站对 6 列电煤 货运列车进行编组调度,决定将这 6 列列车编成两组,每组 3 列,且甲与乙两列列车不在 同一小组. 如果甲所在小组 3 列列车先开出, 那么这 6 列列车先后不同的发车顺序共有 ( ) A. 36 种 B. 108 种 C. 216 种 D. 432 种

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数字问题 【例24】 给定数字 0 、 1 、 2 、 3 、 5 、 9 ,每个数字最多用一次, ⑴ 可能组成多少个四位数?⑵ 可能组成多少个四位奇数? ⑶ 可能组成多少个四位偶数?⑷ 可能组成多少个自然数?

【例25】 用 0 到 9 这 10 个数字,可组成多少个没有重复数字的四位偶数?

【例26】 在 1,3,5,7,9 中任取 3 个数字,在 0,2,4,6,8 中任取两个数字,可组成多少个不

同的五位偶数.

2, 3, 4, 5 排 成 一 个 数 字 不 重 复 的 五 位 数 a1 , a2 , a3 , a4 , a5 , 满 足 【例27】 用 1,

a1 ? a2 , a2 ? a3 , a3 ? a4 , a4 ? a5 的五位数有多少个?

1 2, , 9 这十个数字组成无重复数字的四位数, 【例28】 用 0 ,, 若千位数字与个位数字之差的绝对值是

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2 ,则这样的四位数共有多少个?

1,2 , 3, 4, 5, 6 组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字 【例29】 用数字 0 ,

之和为偶数的四位数共有______个(用数学作答) .

2, 3, 4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1 , 2, 3, 4 的蓝色卡片,从这 8 【例30】 有 4 张分别标有数字 1 ,

张卡片中取出 4 张卡片排成一行.如果取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10 ,则不同的排法 数一共有 种. 432 ;

【例31】 有 8 张卡片分别标有数字 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7 , 8 ,从中取出 6 张卡片排成 3 行 2 列,要 求 3 行中仅有 中间行的两张卡片上的数字之和为 5 ,则不同的排法共有( ) .. A. 1344 种 B. 1248 种 C. 1056 种 D. 960 种

2, 3, 4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1 , 2, 3, 4 的蓝色卡片,从这 8 【例32】 有 4 张分别标有数字 1 ,

张卡片中取出 4 张卡片排成一行.如果取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10 ,则不同的排法 共有____种(用数字作答) .

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【例33】 用 1,2,3,4,5,6 组成六位数(没有重复数字) ,要求任何相邻两个数字的奇偶性不同, 且 1 和 2 相邻,这样的六位数的个数是__________(用数字作答) .

【例34】 用数字 1, 2,3, 4,5 可以组成没有重复数字,并且比 20000 大的五位偶数共有( A. 48 个 B. 36 个 C. 24 个 D. 18 个



3, 8, 9, 10 这 6 个数中,取出两个,使其和为偶数,则共可得到 【例35】 从 1,2 ,

个这样的

不同偶数?

【例36】 求无重复数字的六位数中,能被 3 整除的数有______个.

1,2 , 3, 4, 5, 6 组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字 【例37】 用数字 0 ,

之和为偶数的四位数共有

个(用数学作答) .

1 2, 3, 4, 5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的 【例38】 从 0 ,,

个数为( A. 300

) B. 216 C. 180 D. 162

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1 2, 3, 4, 5 这六个数字中任取两个奇数和两个偶数,组成没有重复数字的四位数的 【例39】 从 0 ,,

个数为( A. 300

) B. 216 C. 180 D. 162

【例40】 从 1 到 9 的九个数字中取三个偶数四个奇数,试问:

⑴能组成多少个没有重复数字的七位数?其中任意两偶数都不相邻的七位数有几 个? ⑵ 上述七位数中三个偶数排在一起的有几个? ⑶ ⑴ 中的七位数中,偶数排在一起、奇数也排在一起的有几个? ⑷⑴ 其中任意两偶数都不相邻的七位数有几个?

【例41】 用 0 到 9 这九个数字.可组成多少个没有重复数字的四位偶数?

2, 3, 4 的红色卡片和 4 张分别标有数字 1 , 2, 3, 4 的蓝色卡片,从这 8 【例42】 有 4 张分别标有数字 1 ,

张卡片中取出 4 张卡片排成一行.如果取出的 4 张卡片所标数字之和等于 10 ,则不同的排法 共有______种(用数字作答) .

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2, 3, 4, 5 组成的所有没有重复数字的 5 位数中,大于 23145 且小于 43521 的数 【例43】 在由数字 1,

共有( A. 56 个

)个 B. 57 个 C. 58 个 D. 60 个

【例44】 由 0,1,2,3,4 这五个数字组成的无重复数字的四位偶数,按从小到大的顺序排成一个

数列 ?an ? ,则 a19 ? _____. A. 2014 B. 2034 C. 1432 D. 1430

【例45】 从数字 0、 1、 3、 5、 7 中取出不同的三个作系数,可组成多少个不同的一元二次方程
ax 2 ? bx ? c ? 0 ,其中有实数根的有几个?

? 2, ? 1, 0 ,, 1 2, 3, 4? 中任选三个不同元素作为二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的系数, 【例46】 从 ??3 , 问能
组成多少条图像为经过原点且顶点在第一象限或第三象限的抛物线?

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