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高中数学选修2-2知识点、考点


高中数学选修 2-2 知识点、考点
数学选修 2----2 知识点
第一章 知识点:
一.导数概念的引入 1. 导 数 的 物 理 意 义 : 瞬 时 速 率 。 一 般 的 , 函 数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处 的 瞬 时 变 化 率 是

导数及其应用

?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) , ?x

我们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 处的导数,记作 f ?( x0 ) 或 y? |x ? x0 , 即 f ?( x0 ) = lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x

2. 导数的几何意义:曲线的切线.通过图像,我们可以看出当点 Pn 趋近于 P 时,直线 PT 与曲线相切。 容易知道, 割线 PPn 的斜率是 kn ?

f ( xn ) ? f ( x0 ) , 当点 Pn 趋近于 P 时, 函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 xn ? x0 f ( xn ) ? f ( x0 ) ? f ?( x0 ) xn ? x0

处的导数就是切线 PT 的斜率 k,即 k ? lim

?x ?0

3. 导函数:当 x 变化时, f ?( x) 便是 x 的一个函数,我们称它为 f ( x) 的导函数. y ? f ( x) 的导函 数有时也记作 y ? ,即 f ?( x) ? lim

?x ?0

f ( x ? ?x) ? f ( x) ?x

考点:无 知识点:
二.导数的计算 1)基本初等函数的导数公式: 1 若 f ( x) ? c (c 为常数),则 f ?( x) ? 0 ; 2 若 f ( x) ? x ,则 f ?( x) ? ? x
?
? ?1

;

3 若 f ( x) ? sin x ,则 f ?( x) ? cos x 4 若 f ( x) ? cos x ,则 f ?( x) ? ? sin x ;
1

5 若 f ( x) ? a ,则 f ?( x) ? a ln a
x x

6 若 f ( x) ? e ,则 f ?( x ) ? e
x

x

1 x ln a 1 8 若 f ( x) ? ln x ,则 f ?( x) ? x
x 7 若 f ( x) ? log a ,则 f ?( x) ?

2)导数的运算法则 1. [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x) 2. [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) 3. [

f ( x) f ?( x) ? g ( x) ? f ( x) ? g ?( x) ]? ? g ( x) [ g ( x)]2

3)复合函数求导

y ? f (u) 和 u ? g ( x) ,称则 y 可以表示成为 x 的函数,即 y ? f ( g ( x)) 为一个复合函数 y? ? f ?( g ( x)) ? g ?( x)

考点:导数的求导及运算
★1、已知

f ? x ? ? x 2 ? 2 x ? sin ? ,则 f ' ? 0 ? ?
'

★2、若 f ? x ? ? e x sin x ,则 f ★3. f ( x) =ax3+3x2+2 ,
A. 10 3 B. 13 3

? x? ?

19 3

f ?(?1) ? 4 ,则 a=(
C. 16 3 D.

★★4.过抛物线 y=x2 上的点 M ( , ) 的切线的倾斜角是() A.30° B.45° C.60° D.90°

1 1 2 4

9 2 x ? 3与 y 2 三.导数在研究函数中的应用
★★5.如果曲线 y ?

? 2 ? x3 在 x ? x0 处的切线互相垂直,则 x0 =

知识点:
1.函数的单调性与导数: 一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系: 在某个区间 (a, b) 内,如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递增; 如果 f ?( x) ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间单调递减.
2

2.函数的极值与导数 极值反映的是函数在某一点附近的大小情况. 求函数 y ? f ( x) 的极值的方法是: (1) 如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极大值; (2) 如果在 x0 附近的左侧 f ?( x) ? 0 ,右侧 f ?( x) ? 0 ,那么 f ( x0 ) 是极小值; 4.函数的最大(小)值与导数 函数极大值与最大值之间的关系. 求函数 y ? f ( x) 在 [a, b] 上的最大值与最小值的步骤 (1) 求函数 y ? f ( x) 在 (a, b) 内的极值; (2) 将函数 y ? f ( x) 的各极值与端点处的函数值 f (a ) , f (b) 比较, 其中最大的是一个最大值, 最小的是最小值. 四.生活中的优化问题 利用导数的知识,,求函数的最大(小)值,从而解决实际问题

考点:1、导数在切线方程中的应用
2、导数在单调性中的应用 3、导数在极值、最值中的应用 4、导数在恒成立问题中的应用 一、题型一:导数在切线方程中的运用 ★1.曲线 y ? x 在 P 点处的切线斜率为 k,若 k=3,则 P 点为(
3



A.(-2,-8)

B.(-1,-1)或(1,1)

C.(2,8) ★2.曲线 y ?

1 1 D.(- 2 ,- 8 )

1 3 x ? x 2 ? 5 ,过其上横坐标为 1 的点作曲线的切线,则切线的倾斜角为( 3



? A. 6

? B. 4

? C. 3
3 2

3 ? D. 4

二、题型二:导数在单调性中的运用 ★1.(05 广东卷)函数 f ( x) ? x ? 3x ? 1 是减函数的区间为( A. (2, ??) B. (??, 2)
3

)

C. (??, 0)
2

D. (0, 2) )

★2.关于函数 f ( x) ? 2 x ? 6 x ? 7 ,下列说法不正确的是( A.在区间( ? ? ,0)内, f ( x) 为增函数

B.在区间(0,2)内, f ( x) 为减函数
3

C.在区间(2, ? ? )内, f ( x) 为增函数 数

D.在区间( ? ? ,0)

? (2,??) 内, f ( x) 为增函

? ★★3.(05 江西)已知函数 y ? xf ( x) 的图象如右图所示(其中 f '( x) 是函数 f ( x) 的导函数),下面
四个图象中 y ? f ( x) 的图象大致是(

y

1

x
1 2

-2

-1

O -1

y
2 2 1

y
4

y
4 2 1

y

O
-2
-1

x
1 2 -2 -1

O
1

1

x
2

2 1 -2 -1 O

x

-2

-2

-2

-2

-1

O

2

x

A

B

C

D

★★★4、 (2010 年山东 21) (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 1nx ? ax ? (Ⅰ)当 a

1? a ? 1(a ? R). x

? ?1时,求曲线y ? f ( x)在点(2, f (2))处的切线方程;

(Ⅱ)当 a≤

1 时,讨论 f ( x) 的单调性. 2
3 2

三、导数在最值、极值中的运用: ★1. (05 全国卷Ⅰ) 函数 f ( x) ? x ? ax ? 3x ? 9 , 已知 f ( x) 在 x ? ?3 时取得极值, 则a= ( A.2
3



B. 3
2

C. 4

D.5 )

★2.函数 y ? 2 x ? 3x ? 12 x ? 5 在[0,3]上的最大值与最小值分别是( A.5 , - 15 B.5 , 4 C.- 4 , - 15 D.5 , - 16

★★★3.(根据 04 年天津卷文 21 改编)已知函数

f ( x) ? ax 3 ? cx ? d (a ? 0)

是 R 上的奇函数,当

x ? 1 时 f ( x) 取得极值-2.
(1)试求 a、c、d 的值; (2)求 f ( x) 的单调区间和极大值; ★★★4.(根据山东 2008 年文 21 改编)设函数 f ( x) ? x e
2 x ?1

? ax3 ? bx2 ,已知 x ? ?2和x ? 1为

f ( x) 的极值点。
(1)求 a, b 的值;
4

(2)讨论 f ( x) 的单调性;

第二章 推理与证明 知识点:
1、归纳推理 把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳). 简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理。 归纳推理的一般步骤: ? 通过观察个别情况发现某些相同的性质; ; ? 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想) ? 证明(视题目要求,可有可无). 2、类比推理 由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特 征的推理称为类比推理(简称类比) . 简言之,类比推理是由特殊到特殊的推理. 类比推理的一般步骤: ? 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; ? 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想; ? 检验猜想。 3、合情推理 归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、类比, 然后提出猜想的推理. 归纳推理和类比推理统称为合情推理,通俗地说,合情推理是指“合乎情理”的推理. 4、演绎推理 从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的结论,这种推理称为演绎推理. 简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. 演绎推理的一般模式———“三段论” ,包括 ⑴大前提-----已知的一般原理; ⑵小前提-----所研究的特殊情况; ⑶结论-----据一般原理,对特殊情况做出的判断. 5、直接证明与间接证明 ⑴综合法:利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等,经过一系列的推理论证,最后推导出所 要证明的结论成立.要点:顺推证法;由因导果. ⑵分析法:从要证明的结论出发,逐步寻找使它成立的充分条件,直至最后,把要证明的结论归结 为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止. 要点:逆推证法;执果索因. ⑶反证法:一般地,假设原命题不成立,经过正确的推理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从 而证明了原命题成立.的证明方法.它是一种间接的证明方法. 反证法法证明一个命题的一般步骤: (1)(反设)假设命题的结论不成立; (2)(推理)根据假设进行推理,直到导出矛盾为止; (3)(归谬)断言假设不成立; (4)(结论)肯定原命题的结论成立. 6、数学归纳法
5

数学归纳法是证明关于正整数 n 的命题的一种方法. 用数学归纳法证明命题的步骤; * (1) (归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0 (n0 ? N ) 时命题成立; * (2) (归纳递推)假设 n ? k (k ? n 0 , k ? N ) 时命题成立,推证当 n ? k ? 1 时命题也成立. 只要完成了这两个步骤,就可以断定命题对从 n0 开始的所有正整数 n 都成立.

考点:无 第三章 数系的扩充与复数的引入 知识点:
一:复数的概念 (1) 复数:形如 a ? bi (a ? R, b ? R ) 的数叫做复数, a 和 b 分别叫它的实部和虚部. (2) 分类:复数 a ? bi( a ? R, b ? R) 中,当 b ? 0 ,就是实数; b ? 0 ,叫做虚数;当 a ? 0, b ? 0 时,叫做纯 虚数. (3) 复数相等:如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等. (4) 共轭复数:当两个复数实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数互为共轭复数. (5) 复平面:建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x 轴叫做实轴,y 轴除去原点的部分叫做 虚轴。 (6) 两个实数可以比较大小,但两个复数如果不全是实数就不能比较大小。 2.相关公式 ⑴ a ? bi ? c ? di ? a ? b, 且c ? d ⑵ a ? bi ? 0 ? a ? b ? 0 ⑶ z ? a ? bi ?

a2 ? b2

⑷ z ? a ? bi z,z 指两复数实部相同,虚部互为相反数(互为共轭复数). 3.复数运算 ⑴复数加减法: ?a ? bi? ? ?c ? di? ? ?a ? c ? ? ?b ? d ?i ; ⑵复数的乘法: ? a ? bi ?? c ? di ? ? ? ac ? bd ? ? ? bc ? ad ? i ;

⑶复数的除法:

a ? bi ? a ? bi ?? c ? di ? ? c ? di ? c ? di ?? c ? di ?

?

? ac ? bd ? ? ? bc ? ad ? i ? ac ? bd ? bc ? ad i
c2 ? d 2 c2 ? d 2 c2 ? d 2

(类似于无理数除法的分母有理化 ? 虚数除法的分母实数化) 4.常见的运算规律

(1) z ? z ;

(2) z ? z ? 2a, z ? z ? 2bi;
6

(3) z ? z ? z ? z ? a 2 ? b 2 ;(4) z ? z;(5) z ? z ? z ? R

2

2

(6)i 4 n?1 ? i, i 4 n?2 ? ?1, i 4 n?3 ? ?i, i 4 n? 4 ? 1;

(7) ?1 ? i ?

2

1? i 1? i ?1? i ? ? ?i;(8) ? i, ? ?i, ? ? ? ?i 1? i 1? i ? 2?
? 1 ? 3i 3n ?1 2 是 1 的立方虚根,则 1 ? ? ? ? ? 0 , ? ? ? , ? 3n ? 2 ? ? , ? 3n ?3 ? 1 2

2

(9) 设 ? ?

考点:复数的运算
★山东理科 1 若 z ? cos? ? i sin ? ( i 为虚数单位) ,则 z ? ?1的 ? 值可能是
2

? ? ? ? (B) (C) (D) 6 4 3 2 4 ? 3i ★山东文科 1.复数 的实部是( ) 1+2i A. ?2 B. 2 C .3
(A)

D. 4

★山东理科(2)设 z 的共轭复数是 z ,若 z+ z =4, z? z =8,则 (A)i (B)-i (C)±1

z 等于 z
(D) ±i

7



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