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数学理卷·2014届湖北省武昌区高三元月调研考试(2014.01)WORD版


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湖北武昌区 2014 届高三上学期期末学业质量调研

数学(理)试题
本试题卷共 4 页,共 21 题。满分 150 分,考试用时 120 分钟。 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.设 m∈R, m 2 ? m ? 2 ? (m 2 ? 1)i是纯虚数,其中i 是虚数单位,则 m= A.1 B.一 1 C.一 2 D.2 2.已知全集为 R,集合 A=协 I 岫≤1) ,集合 B={xlx2-.4x 一 5<o) ,则(驰)n 船 A. (0,2] B. (一 1,0] ? (2,5) C.[2,5)D. (一 l,0) ? [2,5) 3.某程序框图如图所示,执行该程序,若输入的 p 为 24,则输出的乃,S 的值分别为 A.n=4,S=30 B.n=5,S=30 C.n=4,S=45 D.n=5,S=45

4.函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0, 如图所示,则 ? , ? 的值分别是 A. 2, ? C. 4, ?

?? ? ? ? ? ) 的部分图象 2 2

?

?

3

B. 2, ? D. 4,

?
6

?
3

6

5. 已知指数函数 y ? f ( x) 、 对数函数 y ? g ( x ) 和幂函数 y ? h( x) 的图象都经过点 P ( 如果 f ( x1 ) ? g ( x2 ) ? h( x3 ) ? 4, 那么x1 ? x2 ? x3 ? ] A.

1 , ,2) 2

7 6

B.

6 6

C.

5 4

D.

3 2

6.已知以下三视图中有三个同时表示某一个三棱锥,则不是该三棱锥的三视图是

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7.过双曲线 M: x ?
2

y2 ? 1 的左顶点 A 作斜率为 l 的直线 l,若 l 与双曲线舾的两条渐近线 b2

分别相交于 j5}、C,且|AB|=|BC|,则双曲线 M 的离心率是 A. 10 B. 5 C.

10 3

D.

5 2

8.给出以下结论: ①在四边形 ABCD 中,若 AC ? AB ? AD, 则ABCD 是平行四边形; ②在三角形 ABC 中,若 a=5,b=8,C=60°,则 BC ? CA ? 20; ③已知正方形 ABCD 的边长为 l,则 | AB ? BC ? AC |? 2 2; ④已知 AB ? a ? 5b, BC ? 2a ? 8b, CD ? 3(a ? b), 则A, B, C 三点共线. 其中正确结论的个数为 A.1 B.2 C.3 D.4 2 9.物体 A 以速度 v=3f +l(t 的单位:s,v 的单位:m/s)在一直线上运动,在此直线上与 物体 A 出发的同时,物体 j5}在物体 A 的正前方 5 m 处以速度 v=l0t(t 的单位:s,v 的 单位:m/s)的速度与 A 同向运动,当两物体相遇时,相遇地与物体 A 的出发地的距 离是 A.1 20 m B.1 30 m C.140 m D。1 50 m 10 . 已 知 函 数

????

??? ? ????

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ????

??? ?

??? ?

??? ?

nx |,? 0 x? e , ?| 1 f ( x) ? ? 若 a, b,互不相等 c 且 , f (? a) x? e . ?2 ? l nx ,
值范围为 A. (1+e,1+e+e2)
2

f( ?b)

f则 ( c) ? , ? a 的 b 取c

B. (上+2e,2+e2)

C.( 2 1 ? e ,2+e2)D. (2 1 ? e 2 , ? 2e ) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.请将答案填在答题卡对应题号的位 置上.答错位置,书写不清,模棱两可均不得分. 11.某校从高一年级学生中随机抽取部分学生,将他 们的模块测试成绩分为 6 组:[40,50),[50,60) , [60,70) ,[70,80) ,[80,90) ,[90,100]加以统计,得 到如图所示的频率分布直方图,已知高一年级共 有学生 600 名,据此估计,该模块测试成绩不少 于 60 分的学生人数为 . 12.在区间(0,1)内随机地取出两个数,则两数之和小于

1 e

6 的概率是 5

.

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? x ? y ? 2 ? 0, ? 13.设 z ? kx ? y , 其中实数x,y满足 ? x ? 2 y ? 5 ? 0, 若当且仅当 x=3,y=1 时,z 取得最大 ? y ? 2 ? 0. ?
值,则 k 的取值范围为 . 14.如图,在圆内画 1 条线段,将圆分成两部分;画 2 条相交线段,将圆分割成 4 部分;画 3 条线段,将圆最多分割成 7 部分;画 4 条线段,将圆最多分割成.11 部分,那么, (I)在圆内画 5 条线段,将圆最多分割成 部分; (Ⅱ)在圆内画 n 条线段,将圆最多分割成 部分。

15.某地西红柿从 2 月 1 日起开始上市,通过市场调查,得到西红柿种植成本 Q(单位:元 /100 kg)与上市时间£(单位:天)的数据如下表:

根据上表数据, 从下列函数中选取一个函数描述西红柿种植成本 Q 与上市时间 z 的变化关系. Q=at+b, Q=at2+bt+c, Q=a·bt,Q=a·logat. 利用你选取的函数,求得: (I)西红柿种植成本最低时的上市天数是 ; (Ⅱ)最低种植成本是 (元/100 kg) . 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. (本小题满分 1 2 分) 在△ABC 中,已知 3 sin 2 B ? 1 ? cos 2 B. (I)求角 B 的值; (Ⅱ)若 BC=2,A=

?
4

,求△ABC 的面积.

17. (本小题满分 12 分) 在公差不为零的等差数列{ an }中,已知 a1=l, .且 a1,a2,a5 依次成等比数列.数列{ bn }满足

bn ?1 ? 2bn ? 1且bn ? 3. .
(I)求{柚,{6nJ 的通项公式; (Ⅱ)设数列{
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2 1 }的前 n 项和为 Sn,试比较 Sn 与 1 一 的大小. an ? an ?1 bn
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18. (本小题满分 12 分) 如图,在长方体 A BCD—A1B1C1D1 中,点 E,F 分别在 BB1,DD1 上,且 AE⊥AB,A F⊥ A1D. (I)求证:A1C⊥平面 A EF; (Ⅱ)若 AB=4,AD=3,AA1=5,求平面 A EF 和平面 D1B1BD 所成的角的正弦值.

19. (本小题满分 12 分) 某市高中结业考试数学和物理两科,其考试合格指标划分为:分数大于或等于 85 为合 格,小于 85 为不合格.现随机抽取这两科各 100 位学生成绩,结果统计如下:

(I)试分别估计数学和物理合格的概率; (Ⅱ)抽取—位同学数学成绩,若成燃可得 4 个学分,若是不合格则扣除 0.5 个学分; 抽取二位同学物理成绩,若成绩合格可得 5 个学分,若不合格则扣除 1 个学分.在(I) 的前提下, (i)记 X 为抽查 1 位同学数学成绩和抽查 1 位同学物理成绩所得的总学分,求随机变量 X 的分布列和数学期望; (ii)求抽查 5 位同学物理成绩所得的总学分不少于 14 个的概率.

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20. (本小题满分 13 分)

x2 y 2 2 已知椭圆 C : 3 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的右焦点为 F,离心率为 ,过点 F 且与石轴垂 2 a b
直的直线被椭圆截得的线段长为 2 ,O 为坐标原点. (I)求椭圆 C 的方程; (Ⅱ)设经过点 M(0,2)作直线 A B 交椭圆 C 于 A、B 两点,求△AOB 面积的最大值; (Ⅲ)设椭圆的上顶点为 N,是否存在直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,使点 F 为△PQN 的垂 心?若存在,求出直线 l 的方程;若不存在,请说明理由.

21. (本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? ln( x ? a ) ? x 的最大值为 0,其中 a>0. (I)求 a 的值; (Ⅱ)若对任意的 x ? [0, ??), 有f ( x) ? kx 成立,求实数 k 的最大值;
2

(Ⅲ)证明

? 2i ? 1 ? ln(2n ? 1) ? 2(n ? N
i ?1

n

2

*

)

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武昌区 2014 届高三年级元月调研考试 理科数学试题参考答案及评分细则
一、选择题: 1.C 2.B 二、填空题: 11.480 3.B 4.A 12. 5.D 6.D 7.A 8.C 9.B 10.B

17 1 (或 0.68) 13. (? ,1) 25 2 n?n ? 1? 14. (Ⅰ)16; (Ⅱ) 1 ? 15. (Ⅰ)120;(Ⅱ)80 2
三、解答题: 16. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)因为 3 sin 2 B ? 1 ? cos 2 B ,所以 2 3 sin B cos B ? 2sin B .
2

因为 0 ? B ? ? , 所以 sin B ? 0 ,从而 tan B ? 3 ,

π .…………………………………………………………………(6 分) 3 ? π AC BC (Ⅱ)因为 A ? , B ? ,根据正弦定理得 , ? 4 3 sin B sin A BC ? sin B 所以 AC ? ? 6. sin A
所以 B ? 因为 C ? ? ? A ? B ?

5? ? ? 6? 2 5? ,所以 sin C ? sin . ? sin( ? ) ? 12 4 6 4 12 1 3? 3 .……… ………………(12 分) AC ? BC sin C ? 2 2
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所以△ ABC 的面积 S ?
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17. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ) 因为 a1 ? 1 ,且 a1 , a 2 , a5 依次成等比数列,
2 所以 a 2 ? a1 ? a5 ,即 ?1 ? d ? ? 1 ? ?1 ? 4d ? , 2

所以 d 2 ? 2d ? 0 ,解得 d ? 2 ( d ? 0 不合要求,舍去). 所以 a n ? 1 ? 2?n ? 1? ? 2n ? 1 . 因为 bn ?1 ? 2bn ? 1 ,所以 bn ?1 ? 1 ? 2(bn ? 1). 所以 ?bn ? 1? 是首项为 b1 ? 1 ? 2,公比为 2 的等比数列. 所以 bn ? 1 ? 2 ? 2n ?1 ? 2n. 所以 bn ? 2n ? 1. ……………………………………………………………(6 分) (Ⅱ)?

2 2 1 1 ? ? ? . a n ?an ? 2 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

1 1 1 1 1 1 1 ? ) ? 1? ? Sn ? ( ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( 1 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1
于是 S n ? (1 ?

1 1 1 1 1 2n ? 2 n ) ? 1? ?1? n ? n ? ? . bn 2n ? 1 2 ? 1 2 ? 1 2n ? 1 (2n ? 1)(2 n ? 1)
1 ; bn

所以,当 n ? 1, 2 时, 2n ? 2n , S n = 1 ?

当 n ? 3 时, 2n ? 2n , S n < 1 ? 18. (本小题满分 12 分) 解: (Ⅰ)方法一:

1 .………………………………………(12 分) bn

? A1C ? AE ? ( A1 B ? BC ) ? AE ? BC ? AE ? BC ? ( AB ? BE ) ? 0 ,

? A1C ? AE ;
? A1C ? AF ? ( A1 D ? DC ) ? AF ? DC ? AF ? DC ? ( AD ? DF ) ? 0 ,
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? A1C ? AF . ? A1C ? 平面 AEF .
方法二: …………………………(6 分) z

? BC ? 平面 ABB1 A1 , AE ? 平面 ABB1 A1 ,
∴ BC ? AE . 又∵ AE ? A1 B ,∴ AE ? 平面 A1 BC . ∵ A1C ? 平面 A1 BC ,∴ AE ? A1C . y 同理可证 AF ? A1C . ∵ AE ? AF ? A , ∴ A1C ? 平面 AEF . …………………………………(6 分) (Ⅱ)如图,以为 AB 为 x 轴, AD 为 y 轴, AA1 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 因 为 AB ? 4 , AD ? 3 , AA1 ? 5 , 得 到 下 列 坐 标 : A(0,0,0) , B (4,0,0) , x

C (4,3,0) , D(0,3,0) , A1 (0,0,5) , B1 (4,0,5) , C1 (4,3,5) D1 (0,3,5) .
由(Ⅰ)知, A1C ? (4,3,?5) 是平面 AEF 的一个法向量. 设平面 D1 B1 BD 的法向量为 a ? ? x, y,0 ? ,则 a ? B1 D1 ? 0 .

? B1 D1 ? (?4,3,0) ,? ?4 x ? 3 y ? 0 .
令 x ? 3 , y ? 4 ,则 a ? ?3,4,0 ? . ∴ cos ? a, AC ??

a ? A1C | a | ? | A1C |

?

3 ? 4 ? 4 ? 3 ? 0 ? (?5) 3 2 ? 4 2 ? 0 2 ? 4 2 ? 3 2 ? (?5) 2

?

12 2 . 25

∴ sin ? ? 1 ? (

12 2 2 337 . ) ? 25 25
437 .………………(12 分) 25

∴平面 AEF 和平面 D1 B1 BD 所成的角的正弦值为 19. (本小题满分 12 分)

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解: (Ⅰ)数学合格的概率约为

40 ? 32 ? 8 4 ? . 100 5 40 ? 29 ? 6 3 物理合格的概率约为 ? .…………………………………………(4 分) 100 4 (Ⅱ) (ⅰ)随机变量 X 的所有取值为 9,4.5,3,-1.5. 4 3 3 1 3 3 ; P? X ? 9 ? ? ? ? ; P? X ? 4.5? ? ? ? 5 4 5 5 4 20 4 1 1 1 1 1 . P? X ? 3? ? ? ? ; P? X ? ?1.5? ? ? ? 5 4 5 5 4 20 所以,随机变量 X 的分布列为: 9 4.5 3 ? 1.5 X 3 3 1 1 P 5 20 5 20 3 3 1 1 EX ? 9 ? ? 4.5 ? ? 3 ? ? (?1.5) ? ? 6.6 .…………………………(9 分) 5 20 5 20 (ⅱ)抽查 5 位同学物理分数,合格 n 人,则不合格有 5 ? n 人,
总学分为 5n ? (5 ? n) ? 6n ? 5 个. 依题意,得 5n ? (5 ? n) ? 14 ,解得 n ?

所以 n ? 4 或 n ? 5 . 设“抽查 5 位同学物理分数所获得的学分不少于 14 分”为事件 A ,
4 则 P ( A) ? C5 ( )4 ?

19 . 6

3 4

1 3 5 81 .……………………………………(12 分) ?( ) ? 4 4 128

20. (本题满分 13 分) 解: (Ⅰ)设 F (c,0) ,则

c 2 ,知 a ? 2c . ? a 2

过点 F 且与 x 轴垂直的直线方程为 x ? c ,代入椭圆方程,有

( ?c ) 2 y 2 2 ? 2 ? 1 ,解得 y ? ? b. 2 2 a b
于是 2b ?

2 ,解得 b ? 1 .
2, c ? 1.

又 a 2 ? c 2 ? b 2 ,从而 a ? 所以椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1 . …………………………………………(4 分) 2

(Ⅱ)设 A( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) .由题意可设直线 AB 的方程为 y ? kx ? 2 .

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? y ? kx ? 2, ? 由 ? x2 消去 y 并整理,得 ? 2k 2 ? 1? x 2 ? 8kx ? 6 ? 0 . 2 ? ? y ? 1, ?2
由 ? ? (8k ) 2 ? 24(2k 2 ? 1) ? 0 ,得 k 2 ? 由韦达定理,得 x1 ? x 2 ? ?

3 . 2

8k 6 . , x1 x 2 ? 2 2 2k ? 1 2k ? 1

? 点 O 到直线 AB 的距离为 d ?

2 1? k
2

, AB ?

x ?x ? ?1 ? k ? ? ??
2 1 2

2

? 4 x1 x2 ? , ?

? S ?AOB ?

1 8(2k 2 ? 3) | AB | d ? ( x1 ? x 2 ) 2 ? 4 x1 x 2 ? . 2 (2k 2 ? 1) 2
3 ,知 t ? 0 . 2

设 t ? 2k 2 ? 3 ,由 k 2 ? 于是 S ?AOB ?

8t ? (t ? 4) 2

8 . 16 t ? ?8 t

由t ?

2 16 7 .当且仅当 t ? 4, k 2 ? 时等号成立. ? 8 ,得 S ?AOB ? 2 t 2 2 .…………………………………………(8 分) 2

所以△ AO B 面积的最大值为

(Ⅲ)假设存在直线 l 交椭圆于 P , Q 两点,且 F 为△ PQN 的垂心. 设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x 2 , y 2 ), 因为 N (0,1) , F (1,0) ,所以 k NF ? ?1 . 由 NF ? PQ ,知 k PQ ? 1 .设直线 l 的方程为 y ? x ? m , 由?

? y ? x ? m, 得 3 x 2 ? 4mx ? 2m 2 ? 2 ? 0 . 2 2 x ? 2 y ? 2 , ?

由 ? ? 0 ,得 m 2 ? 3 ,且 x1 ? x 2 ? ? 由题意,有 NP ? FQ ? 0 .

2m 2 ? 2 4m , x1 x 2 ? . 3 3

因为 NP ? ( x1 , y1 ? 1), FQ ? ( x 2 ? 1, y 2 ) ,
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所以 x1 ( x 2 ? 1) ? y 2 ( y1 ? 1) ? 0 ,即 x1 ( x 2 ? 1) ? ( x 2 ? m)( x1 ? m ? 1) ? 0 , 所以 2 x1 x 2 ? ( x1 ? x 2 )(m ? 1) ? m 2 ? m ? 0 . 于是 2 ?

2m 2 ? 2 4 ? m(m ? 1) ? m 2 ? m ? 0 . 3 3
4 或 m ? 1. 3

解得 m ? ?

经检验,当 m ? 1 时,△ PQN 不存在,故舍去 m ? 1 . 当m ? ?

4 4 时,所求直线 l 存在,且直线 l 的方程为 y ? x ? .……………(13 分) 3 3 1 x ? a ?1 . ?1 ? ? x?a x?a

21. (本题满分 14 分) 解: (Ⅰ) f ( x) 的定义域为 ?? a,?? ? , f ?( x) ? 由 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ? a ? ? a . 当 ? a ? x ? 1 ? a 时, f
/

?x ? ? 0 ;当 x ? 1 ? a 时, f / ?x ? ? 0 .

所以, f ( x) 在 x ? 1 ? a 处取得最大值. 由题意知 f ?1 ? a ? ? ?1 ? a ? 0 ,所以 a ? 1 .…………………………………(4 分) (Ⅱ) (1)当 k ? 0 时,由 f (1) ? ln 2 ? 1 ? 0 ,知 k ? 0 不合题意.
2 2 (2)当 k ? 0 时,设 g ? x ? ? f ? x ? ? kx ? ln( x ? 1) ? x ? kx .

1 ? x(2kx ? 2k ? 1) . ? 1 ? 2kx ? x ?1 x ?1 2k ? 1 1 令 g ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 , x 2 ? ? ? ?1 ? ? ?1 . 2k 2k 1 2k ? 1 ①当 k ? ? 时, x 2 ? ? ? 0 , g ?( x) ? 0 在 x ? (0,??) 上恒成立, 2 2k
则 g ?( x) ? 因此 g ( x) 在 [0,??) 上单调递增,从而总有 g ( x) ? g (0) ? 0 , 即 f ( x) ? kx 在 [0,??) 上恒成立.
2

1 2k ? 1 2k ? 1 ? k ? 0 时, x 2 ? ? ? 0 ,对于 x ? (0,? ) , g ?( x) ? 0 , 2 2k 2k 2k ? 1 因此 g ( x) 在 (0,? ) 上单调递减. 2k
②当 ?
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2k ? 1 ) 时, g ( x0 ) ? g (0) ? 0 , 2k 1 2 即 f ( x 0 ) ? kx0 不成立.故 ? ? k ? 0 不合题意. 2 1 综上, k 的最大值为 ? . ……………………………………………………(8 分) 2 1 (Ⅲ)由(Ⅱ)得: ln( x ? 1) ? x ? ? x 2 对任意的 x ? [0,+?) 恒成立. 2 1 即 x ? ln( x ? 1) ? x 2 对任意的 x ? [0,+?) 恒成立. 2
因此,当取 x 0 ? (0,? 取x ?

2 2 2 2 ( i ? 1,2,3, ? , n) ,则 , ? ln( ? 1) ? 2i ? 1 2i ? 1 2i ? 1 (2i ? 1) 2



2 2 . ? [ln(2i ? 1) ? ln(2i ? 1)] ? 2i ? 1 (2i ? 1) 2

当 n ? 1 时, 2 ? ln 3 ? 2 ,不等式成立; 当 n ? 2 时,

?[
i ?1

n

n 2 2 ? ln(2i ? 1) ? ln(2i ? 1)] ? ? ? ln(2n ? 1) . 2i ? 1 i ?1 2i ? 1

因为

2 2 1 1 , ? ? ? 2 (2i ? 3)(2i ? 1) 2i ? 3 2i ? 1 (2i ? 1)
n 1 2 1 1 ? 2. ? ln( 2 n ? 1 ) ? 2 ? ln 3 ? ( ? ) ? 2 ? ln 3 ? 1 ? ? ? 2n ? 1 2i ? 1 i ?1 2i ? 1 i ? 2 2i ? 3 n n

所以

综上,

? 2i ? 1 ? ln?2n ? 1? ? 2 .
i ?1

2

………………………………………(14 分)

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