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高中数学人教A版必修5《3.3.3简单的线性规划问题2》课件


y

——线性规划的简单应用

o

x

? x ? y ? 5 ? 0, ? 1、 已知 x、y满足 ? x ? 3, ? x ? y ? k ? 0, ?
且z=2x+4y的最小值为-6,则常数 k等于 ( D )

A. 2

B. 9

C. 3 10

D. 0

? x ? y ? 5≥ 0 ? 2.已知x , y 满足约束条件 ? x ? y ≥ 0 , 求 ? x≤3 ? ? Z ? 2 x ? y的最小值.
?x ? y≤4 ? 3.已知 ? y ≥ x , 求Z ? 2 x ? 4 y的最大值 ? x≥1 ? ?求U ? x 2 ? y 2的最大值 关键是找准 几何意义 y ?求M ? 的取值范围 x

例 1: 某工厂生产甲、乙两种产品 . 已知生产甲种产品 1t 需
消耗A种矿石10t、B种矿石5t、煤4t;生产乙种产品1t需消 耗 A 种矿石 4t 、 B 种矿石 4t 、煤 9t. 每 1t 甲种产品的利润是 600元,每1t乙种产品的利润是1000元.工厂在生产这两种产 品的计划中要求消耗 A种矿石不超过300t 、消耗B 种矿石不 超过200t、消耗煤不超过360t.甲、乙两种产品应各生产多 少吨(精确到0.1t),能使利润总额达到最大? 列表:设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元
消耗量 产品 资源

甲产品 (1t)

乙产品 (1t)

资源限额 ( t)

A种矿石(t)

B种矿石(t)
煤(t) 利润(元)

10 5 4 600

4 4 9 1000

300

200 360

消耗量 产品

列表: 资源
A种矿石(t)

甲产品 xt (1t)

乙产品 (1t)

yt

资源限额 ( t)

B种矿石(t)
煤(t) 利润(元)

10 5 4 600

4 4 9 1000

300
200 360

把题中限制条件进行转化:
? 10x+4y≤300 ? 5x+4y≤200 ? ? ? 4x+9y≤360 ? x≥0 ? ? ? y ≥0

设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z元

约束条件

目标函数:

z=600x+1000y.

解:设生产甲、乙两种产品.分别为x t、yt,利润总额为z=600x+1000y元, 那么

{
l l

10x+4y≤300 5x+4y≤200 4x+9y≤360 x≥0 y ≥0

y

75

z=600x+1000y.
作出以上不等式组所表示的可行域 作 出 一 组 平 行 直 线
50 40

M (12.4,34.4) 4x+9y=360

600x+1000y=t,
经过可行域上的点M时,目标函数 在y轴上截距最大.
10

此时z=600x+1000y取得最大值. 0 5x+4y=200 由 4x+9y=360 解得交点M的坐标为(12.4,34.4)

{

10 20 30 40 5x+4y=200

90

x

10x+4y=300 600x+1000y=0

答:应生产甲产品约12.4吨,乙产品约34.4吨,能使利润总额达到最大。

例2 要将两种大小不同规格的钢板截成 A、B、C三种规格, 每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示 :
规格类型 钢板类型

A规格 2 1

B规格 1 2

C规格 1 3

第一种钢板 X张 第二种钢板 y张

今需要A,B,C三种规格的成品分别为15,18,27块,问 各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品,且使所 用钢板张数最少。 解:设需截第一种钢板x张,第一种钢板y张,则

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0 y≥0

目标函数为 z=x+y
作出可行域(如图)

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N y≥0 y∈N

y
15

作出一组平行直线z=x+y,

C(4,8) 10 目标函数z= x+y 8 A(18/5,39/5) 6 x+y =0 4 2 0 2 4 6 8

B(3,9)

调整优值 法
12 18 27

x

2x+y=15

x+y=12 x+2y=18

x+3y=27

当直线经过点A时z=x+y=11.4, 但它不是最优整数解.

作直线x+y=12

在可行域内,直线x+y=12经过的整点是B(3,9)和C(4,8),它们是最优解 答(略)

y

{

2x+y≥15, x+2y≥18, x+3y≥27, x≥0, x∈N y≥0 y∈N

15 9

打网格线 法
B(3,9)
C(4,8)

目标函数t = x+y

A(18/5,39/5)

x+y =0

2 1 0 12

78
2x+y=15

18

作出一组平行直线t = x+y, 当直线经过点A时t=x+y=11.4,但它不是最优整数解,

x+2y=18 x+3y=27

27

x

在可行域内打出网格线, 将直线x+y=11.4继续向上平移,
经过可行域内的整点B(3,9)和C(4,8)时,t=x+y=12是最优解.答:(略)

不等式组

?x ? 0 ? 表示的平面区域内的整数点共有 ?y ? 0 y ?4 x ? 3 y ? 12 ?
4
3

巩固练习1:



)个

2 1

0

1

2

3

4

x

4x+3y=12

在可行域内找出最优解、线性规划整数 解问题的一般方法是:
1.若区域“顶点”处恰好为整点,那么它就是最优解;
(在包括边界的情况下) 2.若区域“顶点”不是整点或不包括边界时,应先求出 该点坐标,并计算目标函数值Z,然后在可行域内适当 放缩目标函数值,使它为整数,且与Z最接近,在这条 对应的直线中,取可行域内整点,如果没有整点,继续 放缩,直至取到整点为止。 3.在可行域内找整数解,一般采用平移找解法,即打网 络、找整点、平移直线、找出整数最优解

解线性规划应用问题的一般步骤:
1)理清题意,列出表格: 2)设好变元并列出不等式组和目标函数 3)由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域; 4)在可行域内求目标函数的最优解 5)还原成实际问题 (准确作图,准确计算)

1、求z=2x+y的最大值,使式中x、y满足下列条件:

? x ? y ? 1, ? ? y ? x, ? y ? 0, ?
答案:当x=1,y=0时,z=2x+y有最大值2。

2 :求z=3x+y的最大值,使式中x、y满足下列条件:

?2x ? 3 y ? 24 ?x ? y ? 7 ? ? ?y ? 6 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

y 8
(0,6) C(3,6) y=6 2x+3y=24

x-y=7
3x+y=29

B(9,2)
O A (7,0)
3x+y=0

12

x

答案:当x=9,y=2时,z=3x+y有最大值29.

求z=300x+900y的最大值和最小值,使式 中x、y满足下列条件:

?2 x ? y ? 300 ? x ? 2 y ? 250 ? ? ?x ? 0 ? ?y ? 0
x+3y=0

y
2x+y=300 A 125
300x+900y=112500

C
x+2y=250 150 B 250

300x+900y=0

O

答案:当x=0,y=0时,z=300x+900y有最小值0. 当x=0,y=125时,z=300x+900y有最大值112500.

表示的平面区域的面积是(

)

则D中的点到直线x+y=10距离的最大值是_________

3.某家具厂有方木料90m3,木工板600m3, 准备加工成书桌和书橱出售,已知生产每 张书桌需要方木料 0.1m3 、木工板 2m3 ;生 产每个书橱需要方木料 0.2m3 ,木工板 1m3 , 出售一张书桌可以获利80元,出售一张书 橱可以获利120元; (1)怎样安排生产可以获利最大? (2)若只生产书桌可以获利多少? (3)若只生产书橱可以获利多少?

分析:
产品
资源 方木料 m
3

书桌(张) 0.1 2

书橱(张) 0.2 1

资源限额 m3 90 600

木工板 m3

利润 (元)

80

120

由上表可知: (1)只生产书桌,用完木工板了,可生产书桌 600÷2=300张, 可获利润:80×300=24000元,但木料没有用完 (2)只生产书橱,用完方木料,可生产书橱90÷0.2=450 张,可 获利润120×450=54000元,但木工板没有用完

3.某家具厂有方木料90m3,木工板600m3,准备加工成书桌和书橱出售,已知
生产每张书桌需要方木料 0.1m3 、木工板 2m3 ;生产每个书橱需要方木料 0.2m3 , 木工板1m3,出售一张书桌可以获利80元,出售一张书橱可以获利120元
(1)怎样安排生产可以获利最大?

解:

(2)若只生产书桌可以获利多少? (3)若只生产书橱可以获利多少?
(1)设生产书桌x张,书橱y张,利 润为z元, 则约束条件为

y
600 A(100,400)

{

0.1x+0.2y≤90 2x+y≤600 x,y∈N*

450

x+2y-900=0
300

Z=80x+120y 0 作出不等式表示的平面区域, 将直线z=80x+120y平移可知: 当生产 100 张书桌, 400 张书橱时利润最大为 z=80×100+120×400=56000元

x
900

2x+y-600=0

(2)若只生产书桌可以生产300张,用完木工板,可获利 24000元;
(3)若只生产书橱可以生产450张,用完方木料,可获利54000元。

4.某运输公司接受了向抗洪抢险地区每天至少运送180吨支援物资 的任务,该公司有8辆载重量为6吨的A型卡车和4辆载重量为10吨 的B型卡车,有10名驾驶员;每辆卡车每天往返的次数为A型卡车 4次,B型卡车3次,每辆卡车每天往返的成本费A型卡车为320元, B型卡车为504元,问如何安排车辆才能使该公司所花的成本费最 低,最低为多少元?(要求每型卡车至少安排一辆)

解:设每天调出的A型车x辆,
B型车y辆,公司所花的费用为 z元,则

y

4x+5y=30

x+y=10

x=8

{

x≤8 y≤4 x+y≤10

24x+30y≥180

x,y∈N* Z=320x+504y

4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 7 8

y=4

X

作出可行域 作出可行域中的整点,

可行域中的整点(5,2)使Z=320x+504y取得最 小值,且Zmin=2608元

320x+504y=0

5、咖啡馆配制两种饮料.甲种饮料每杯含奶粉9g 、咖啡 4g、糖3g,乙种饮料每杯含奶粉4g 、咖啡5g、糖10g.已 知每天原料的使用限额为奶粉3600g ,咖啡2000g 糖 3000g,如果甲种饮料每杯能获利0.7元,乙种饮料每杯能 获利1.2元,每天在原料的使用限额内饮料能全部售出,每 天应配制两种饮料各多少杯能获利最大? 解:将已知数据列为下表:
甲产品 消耗量 产品 (1 杯) 资源 奶粉(g) 咖啡(g) 乙产品(1 杯)

资源限额(g)

9 4

4 5

3600 2000

糖(g)
利润(元)

3
0.7

10
1.2

3000

设每天应配制甲种饮料x杯,乙种饮料y杯,则

作出可行域: 目标函数为:z =0.7x +1.2y 作直线l:0.7x+1.2y=0, 把直线 l 向右上方平移至 l1 的位置 时, 直线经过可行域上的点C,且与原 点距离最大, 此时z =0.7x +1.2y取最大值 解方程组

?9 x ? 4 y ? 3600 ?4 x ? 5 y ? 2000 ? ? ?3 x ? 10 y ? 3000 ?x ? 0 ? ? ?y ? 0

y _ 900 _

400 _ 300 _ 7 x + 12 y = 0 _ 0 _ 400 _ C ( 200 , 240 ) _ 3 x + 10 y = 3000 _
_ 0

1000 5 _00 _ 4 x + 5 y = 2000 _

x _

, ?4 x ? 5 y ? 2000 ? , ?3x ? 10y ? 3000

9 _ x + 4 y = 3600

得点C的坐标为(200,240)

思考题: 求不等式|x| + |y| ≤2表示的平面区域的面积
解: |x| + |y| ≤2等价于: x+y ≤2 x-y ≤2 或 x≥0 或 x≥0 y≥0 y≤0
y 2 -2

-x+y ≤2 或 x≤0 y≥0

-x-y ≤2 x≤0 y≤0

o -2

2

x

S=8


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