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高一数学上学期周末检测试 题


高一数学周末检测试题
满分 150 分 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求 的.

9. 已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,当 x ? 0时,f ( x) ? x ? x ,则当 x ? 0时,f ( x) ? (
3



(A) f ( x) ? x ? x
3

(B) f ( x) ? ? x ? x
3

(C) f ( x) ? ? x ? x
3

(D) f ( x) ? x ? x
3

3? 1. 若 ?2,
A. 5

M
B. 6

?1, 2, 3, 4, 5?, 则M的个数为:
C. 7
2

10. 如果一个正三棱锥的底面边长为 6,侧棱长为 15 ,那么这个三棱锥的体积是( )

D. 8

f ( x) ?

3x

2. 函数
? 1 ? ? ? , ?? ? 3 ? ? A.

1? x

? lg(3 x ? 1)

9 A. 2

B. 9

27 C. 2

9 3 D. 2

的定义域是:
? 1 1? ?? , ? C. ? 3 3 ?

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 把答案填在题中的横线上.
? 1 ? ? ? ,1? D. ? 3 ?

1? ? ? ??, ? ? 3? ? B.

11. 圆台的上,下底面积分别为 ? ,4? ,侧面积为 6? ,则这个圆台的体积是

3. 一个圆柱的侧面展开图是正方形,这个圆柱的表面积与侧面积之比是:

1 ? 2? A. 2?

1 ? 4? B. 4?
1 2

1 ? 2?
C.

1 ? 4?
D.
1 3

1 x2 ? x ? 3 4 y?( ) 2 12. 对于函数 的值域
13. 若 lg 2 ? a, lg 7 ? b ,则

?

?

lg 28 5 =

.

4. 下列函数中既是奇函数,又是其定义域上的增函数的是: A. y ? x B. y ? x C. y ? x D. y ? x 5. 一个几何体的主视图和左视图都是底边长为 2, 高为 2 的等腰三角形, 它的俯视图是一个半径为 1 的圆及圆心, 则这个几何体的全面积为 ( )
2 ?3

14. .两个半径为 1 的铁球,熔化成一个球,则这个球的半径为 。 15. 如图,一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 的正方形,俯视图是一个圆,那么这个几何体的侧面 积为____________ 主视图 左视图 .

A.3 ?

B. 5?

C.

?

5 ?1 ?

?

D.

?

5 ?1 ?
) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 若 0 ? x ? 2 ,求函数 y ? 4
7 -129.6
x? 1 2

?

6. 一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面,球心到这个平面的距离是 4cm,则该球的体积是 (

100? cm3 A. 3
已知函数

208? cm3 B. 3

500? cm3 C. 3

416 3? 3 cm 3 D.

f ? x?
1

的图像是连续不断的,有如下的
2 21.5 3 -7.82 4 11.57

x, f ? x ?
5

对应值表:
6 -126.7

? 3 ? 2 x ? 5 的最大值和最小值.

x
f ? x?
那么函数 A. 2 个 8. 若函数 A.

123.5

-53.7

f ? x?

在区间

?1,6? 上的零点至少有:
C. 4 个 D. 5 个

B. 3 个

f ? x?

在 R 上是单调递减的奇函数,则下列关系式成立的是: B.

f ?3? ? f ? 4?

f ? 3? ? ? f ? ?4?

C.

? f ? ?3? ? f ? ?4?

D.

f ? ?3? ? f ? ?4?

17.(本小题满分 12 分)

f ( x) ? x ?
已知函数

2 x.

19. (本小题满分 12 分) 某化工厂生产一种溶液,按市场要求,杂质含量不能超过 0.1%,若最初时含杂质 2%,每过滤一次可使杂质含量

(1)判断 f ( x) 的奇偶性,并证明你的结论; (2)证明:函数 f ( x) 在

1 减少 3 ,问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求?
(已知 lg 2 ? 0.3010 , lg3 ? 0.4771 )

?

2 ,?? 内是增函数.

?

2 18. (本小题 12 分)已知 a ? a

1

?

1 2

? 3 ,求
2 ?2

(1) a ? a

?1

; (2) a ? a ; (3) a ?a

?1

20. (本小题 13 分)绿缘商店每月按出厂价每瓶 3 元够进一种饮料,根据以前的统计数据,如零售价每瓶定为 4 元,每月可销售 400 瓶;若零售价每降低 0.05 元,则可多销售 40 瓶。在每月的进货量当月销售完的前提下,请 你给该商店设计一个方案:销售价应定为多少元和从工厂够进多少瓶,才可以使获得最大利润?

.

a ? 0, f ( x) ?
21. (本小题 14 分)设 (1)求 a 的值;

ex a ? a e x 是 R 上的偶函数.

(2)证明: f ( x ) 在 (0, ??) 上是增函数.

答案: 一. B D A C-

c B C B-

故 f ( x) 在

? 2,+??内是增函数
? 1 2

(12 分)

7 3 ? 二. 11. 3

? 2? ? ? ??, 2 ? ? 12. ?
? 1

1? a 13. 2 a ? b

14. (2 分)

15. ?

18.解: (1)由 a ? a
1 ?

1 2

? 3 ,得
1 ? 1 1 ? 1

x x 2 三. 16. 解:原式可变形为 y ? 4 ? 4 ? 3 ? 2 ? 5 ,

2 2 2 a ? a ?1 ?( a ? a2 ) 2 ? 2 a a 2 ?( a ? a 22 ) ? 2 ?9 ?2……………( ?7 4 分)

1

y?


2 1 ? ? 2x ? ? 3 ? 2x ? 5 ? 0 ? x ? 2? 2

( 2) (a ? a ) ? (a ? a ) ?4aa
2

?1

?1 2

?1

? (a ? a ?1) 2 ?4 ? 49 ? 4 ? 45 ……………(3 分)
……………(1 分)

(4 分)

所以, a ? a (3) a ?a
2 ?2

?1

? ? 45 ? ?3 5

1 y ? t 2 ? 3t ? 5 ?1 ? t ? 4 ? x 2 令 2 ? t ,则问题转化为 y?
将函数配方有

? (a ? a ?1) 2 ?2aa ?1 ? (a ? a ?1) 2 ?2 ? 49 ? 2 ? 47 ……………(4 分)
n

(6 分)

1 1 2 ? t ? 3? ? ?1 ? x ? 4 ? 2 2

2 ?2? 1 2 ?? ? 100 3 3 ?3? , n 19.解:每过滤一次可使杂质含量减少 ,则杂质含量降为原来的 ,那么过滤 次后杂质含量为
(2 分) 结合按市场要求杂质含量不能超过 0.1%,

(8 分)

根据二次函数的区间及最值可知:

1 x 当 t ? 3 ,即 2 ? 3 时,函数取得最小值,最小值为 2 . 5 当 t ? 1 ,即 x ? 0 时,函数取得最大值,最大值为 2 .
17. 解: (1)函数的定义域是 ?? ?,0? ? ?0,???

(10 分)

1 2 ?2? ?2? ? ? ? ? 0.1% ? ? ? 20 , 则有 100 ? 3 ? ,即 ? 3 ?


n

n

(6 分) (8 分)

n ? lg 2 ? lg3? ? ? ?1? lg 2?
n? 1 ? lg 2 ? 7.4 lg 3 ? lg 2 ,



(12 分) (1 分) 故

(10 分) (12 分)

? f (? x) ? ? x ?

2 2 ? ?( x ? ) ? ? f ( x ) ?x x
(5 分)

考虑到 n ? N ,故 n ? 8 ,即至少要过滤 8 次才能达到市场要求.

? f ( x) 是奇函数
(2)设

x1 , x2 ? 2, ? ? ,且 x1 ? x 2
f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? x1 ? 2 2 ? ( x2 ? ) x1 x2

?

?

4? x ? 40 ? 400 20.解:设销售价为 x 元/瓶,则根据题意(销售量等于进货量) ,正好当月销售完的进货量为 0.05 ,即
400(9-2x)瓶. (3 ? x ? 4) 此时所得的利润为 f ( x) ? 400(9 ? 2x)( x ? 3) ? 400(?2x ?15x ? 27)
2

(6 分)



(7 分)

? ( x1 ? x2 ) ? ( ? ( x1 ? x2 )(

2 2 ? ) x1 x2

? ?800( x 2 ?

x1 x2 ? 2 ) x1 x2
x?
(11 分) 当

15 27 15 225 27 ? ? x ? ) ? ?800 ?( x ? ) 2 ? ? ? 2 2 4 16 2? ?

? ?800( x ?

? 2 ? x1 ? x2 ,? x1 ? x2 ? 0, x1 x2 ? 2 ? 0, x1 x2 ? 0 (10 分)

15 2 ) ?450 4

? f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0,即f ( x1 ) ? f ( x2 )

15 4 =3.75 时,函数取得最大值 450(元).

400(9-2x)=400(9-2 ?
这时进货量为

15 )=600 4 (瓶).

即当销售价定为 3.75 元,从工厂够进 600 瓶时,获得最大利润 450 元. 21.解: (1)∵ f ( x ) 是 R 上的偶函数, ∴ f (?1) ? f (1) ,……………(1 分)

f (?1) ?
又因为

e ?1 a 1 1 ? a 2e 2 ? ?1 ? ? a?e ? , a e a?e a ?e

e a e 2 ? a 2 a 2 ?e 2 f (1) ? ? ? ? a e a?e a ?e
2

……………(2 分)

比较两式得, a ? 1 .又 a ? 0, 故a ? 1 . ……………(2 分) (2)设

0 ? x 1? x 2 ,
1 1 ? (e x 1 ? x 1 ) x2 e e

f ( x 2 ) ? f ( x 1) ? e x 2 ? ? e x 2 ?e x 1 ?

1 1 ? x1 x2 e e 1 ? (e x 2 ?e x 1 )(1 ? x 1 ? x 2 ) e

……………(3 分)

e ? 1, 0 ? x 1 ? x 2 , ?e ? e
x2

? e x1 , e

x1? x 2

? 1, 1
x1?x 2

1
x1?x 2

? 1,?1 ?

? (e x 2 ?e x 1 )(1 ?

e 1

?0

e x1?x 2 ? f ( x 2 ) ? f ( x 1) ? 0 ? f ( x 2 ) ? f ( x 1)

)?0

……………(4 分)

所以 f ( x ) 在 (0, ??) 上为增函数 . ……………(2 分)


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