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导数典型例题 (1)


导数典型例题
高中数学导数的定义,公式及应用总结
导数的定义 : 当自变量的增量 Δ x=x-x0,Δ x→0 时函数增量 Δ y=f(x)- f(x0)与自变量增量之比的极限存在 且有限,就说函数 f 在 x0 点可导,称之为 f 在 x0 点的导数(或变化率 ). 函数 y=f(x)在 x0 点的导数 f'(x0)的几何意义:表示函数曲线在 P0[x0,f(x0)] 点的切线斜 率(导数的几何意义是该函数曲线在这一点上的切线斜率)。 一般地,我们得出用函数的导数来判断函数的增减性(单调性 )的法则:设 y=f(x )在(a,b)内 可导。如果在( a,b)内,f'(x)>0,则 f(x)在这个区间是单调增加的(该点切线斜率增大,函数曲 线变得“陡峭”,呈上升状)。如果在( a,b)内,f'(x)<0,则 f(x)在这个区间是单调减小的。所 以,当 f'(x)=0 时,y= f(x )有极大值或极小值,极大值中最大者是最大值,极小值中最小者是最小 值 求导数的步骤 : 求函数 y=f(x)在 x0 处导数的步骤: ① 求函数的增量 Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0) 导数公式: ① C'=0(C 为常数函数); cosx; e^x; (cosx)' = - sinx; ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q*);熟记 1/X 的导数 (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 (Inx)' = 1/x(ln 为自然对数) (1/x)'=-x^(-2) ③ (sinx)' = ⑤ (e^x)' = (logax)' ② 求平均变化率 ③ 取极限,得导数。

(a^x)' = a^xlna (ln 为自然对数)

=(xlna)^(-1),(a>0 且 a 不等于 1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) 导数的应用 : 1.函数的单调性 (1)利用导数的符号判断函数的增减性

利用导数的符号判断函数的增减性,这是导数几何意义 一般地,在某个区间 (a,b) 注意:在某个区 (2)求函

在研究曲线变化规律时的一个应用,它充分体现了数形结合的思想. 个区间内单调递减.

内,如果 f'(x)>0,那么函数 y=f(x)在这个区间内单调递增;如果 f'(x)<0,那么函数 y=f(x)在这 如果在某个区间内恒有 f'(x)=0,则 f(x)是常数函数. 间内,f'(x)>0是 f(x)在此区间上为增函数的充分条件,而不是必要条件,如 f(x)=x3 在 R 内是增函 数,但 x=0 时 f'(x)=0。也就是说,如果已知 f(x)为增函数,解题时就必须写 f'(x)≥0。 ①确定 f(x)的定义域; 2.函数的极值 (1)函数的极值的判定 3.求函数极值的步骤 ①如果在两侧符号相同,则不是 f(x)的极值点; ②如果在附近的 左右侧符号不同,那么,是极大值或极小值 . ②求导数; 数单调区间的步骤(不要按图索骥 缘木求鱼 这样创新何言? 1.定义最基础求法 2.复合函数单调性 ) ③由(或)解出相应的 x 的范围.当 f'(x)>0 时,f(x) 在相应区间上是增函数;当 f'(x)<0 时,f(x)在相应区间上是减函数.

①确定函数的定义域; 求方程及的所有实根; 4.函数的最值

②求导数;

③在定义域内求出所有的驻点与导数不存在的点,即

④检查在驻点左右的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大

值;如果左负右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值. (1)如果 f(x)在[a,b]上的最大值(或最小值)是在 (a,b)内一点处取得的,显然这个最大值(或 最小值)同时是个极大值(或极小值),它是 f(x)在(a,b)内所有的极大值(或极小值)中最大的(或 最小的),但是最值也可能在[ a,b]的端点 a 或 b 处取得,极值与最值是两个不同的概念. 求 f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 5.生活中的优化问题 生活中经常遇到求利润最大、用料最省、效率最高等问题,这些问题称为优化问题,优化问题也称 为最值问题.解决这些问题具有非常现实的意义.这些问题通常可以转化为数学中的函数问题,进而转 化为求函数的最大(小)值问题. ①求 f(x)在(a,b)内的极值; 值与 f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值. (2) ②将 f(x)的各极

导数作为考试内容的考查力度逐年增大 .考点涉及到了导数的所有内容,如导数的定义,导数的几何 意义、物理意义,用导数研究函数的单调性,求函数的最(极)值等等,考查的题型有客观题(选择题、 填空题) 、主观题(解答题) 、考查的形式具有综合性和多样性的特点 .并且,导数与传统内容如二次函数、 二次方程、三角函数、不等式等的综合考查成为新的热点 .

一、与导数概念有关的问题
【例 1】 函数 f(x)=x(x-1) (x-2)?(x-100)在 x=0 处的导数值为 A.0 B.1002
?x?0

C.200 =

D.100 !

解法一 f'(0)= lim

f (0 ? ?x) ? f (0) ?x

lim

?x?0

?x(?x ? 1)( ?x ? 2) ?(? ? 100) ? 0 ?x

= lim (Δ x-1)(Δ x-2)?(Δ x-100)=(-1) (-2)?(-100)=100!
?x?0

∴选 D.

解法二 设 f(x)=a101x101+ a100x100+?+ a1x+a0,则 f'(0)= a1,而 a1=(-1) (-2)?(-100)=100!. ∴选 D. 点评 解法一是应用导数的定义直接求解,函数在某点的导数就是函数在这点平均变化率的极限 .解 法二是根据导数的四则运算求导法则使问题获解 . 【例 2】 已知函数 f(x)= c n ? c n x ?
0 1

1 2 2 1 k k 1 n n cn x ? ? ? cn x ? ? ? cn x ,n∈N*,则 2 k n
.

lim

f (2 ? 2?x) ? f (2 ? ?x) ?x ?x?0

= =2 lim

解 ∵

lim

?x?0

f (2 ? 2?x) ? f (2 ? ?x) ?x

?x?0

f (2 ? 2?x) ? f (2) 2?x

+

??x?0

lim

f ?2 ? (??x)? ? f (2) ? ?x

=2f'(2)+ f'(2)=3 f'(2),

又∵f'(x)= cn ∴f'(2)=

1

2 k k ?1 n n?1 ? cn x ? ? ? cn x ? ? ? cn x ,

1 1 1 n 1 2 2 k k n n (2 cn ? 2 cn ? ? ? 2 cn ? ? ? 2 cn )= [(1+2)n-1]= (3 -1). 2 2 2
,且其定义形式可以是 lim
f ( x0 ? m?x) ? f ( x0 ) ? m?x

点评 导数定义中的“增量Δ x”有多种形式,可以为正也可以为负,如
??x?0

lim

f ( x0 ? m?x) ? f ( x0 ) ? m?x

?x?0

,也可以是 lim

?x?0

f ( x) ? f ( x 0 ) x ? x0

(令

Δ x=x-x0 得到) , 本题是导数的定义与多项式函数求导及二项式定理有关知识的综合题, 连接交汇、 自然, 背景新颖 . 【 例 3 】 如 圆 的 半 径 以 2 cm/s 的 等 速 度 增 加 , 则 圆 半 径 R=10 cm 时 , 圆 面 积 增 加 的 速 度 是 . 解 ∵S=π R2,而 R=R(t), Rt? =2 cm/s,∴ S t? = (π ∴ S t? /R=10=4π R/R=10=40π cm2/s. 点评 R 是 t 的函数,而圆面积增加的速度是相当于时间 t 而言的( R 是中间变量) ,此题易出现“∵ S=π R2,S'=2π R,S'/R=10=20π cm2/s”的错误 .本题考查导数的物理意义及复合函数求导法则,须注 意导数的物理意义是距离对时间的变化率, 它是表示瞬时速度, 因速度是向量, 故变化率可以为负值 .2004 年高考湖北卷理科第 16 题是一道与实际问题结合考查导数物理意义的填空题, 据资料反映: 许多考生在 求出距离对时间的变化率是负值后,却在写出答案时居然将其中的负号舍去,以致痛失 4 分.

? R 2 )? t =2π R· Rt =4π R,

二、与曲线的切线有关的问题
【例 4】 以正弦曲线 y=sinx 上一点 P 为切点的切线为直线 l,则直线 l 的倾斜角的范围是 A. ?0,

? π ? ? 3π ? ∪ ,π ? 4? ? ? ?4 ? ?

B.

?0,π ?

C. ?

?π 3π ? , ?4 4 ? ?

D.

? π ? ?π 3π ? 0, ∪ ? , ? ? ? 4? ? ?2 4 ?

解 设过曲线 y=sinx 上点 P 的切线斜率角为 α ,由题意知,tanα =y'=cosx. ∵cosx∈[-1,1], ∴tanα ∈[-1,1],又α ∈ 故选 A. 点评 函数 y=f(x)在点 x0 处的导数 f' (x0)表示曲线, y=f(x)在点( x0, f(x0))处的切线斜率,即 k=tan α (α为切线的倾斜角 ) ,这就是导数的几何意义 .本题若不同时考虑正切函数的图像及直线倾斜角的范 围,极易出错 . 【例 5】 曲线 y=x3-ax2 的切线通过点( 0,1 ) ,且过点( 0,1)的切线有两条,求实数 a 的值. 解 ∵点(0,1)不在曲线上,∴可设切点为( m,m3-am2).而 y'=3x2-2ax, ∴k 切=3m3-2am,则切线方程为 y=(3m3-2am)x-2m3-am2. ∵切线过( 0,1) ,∴2m3- am2+1=0.(*) 设( *)式左边为 f(m),∴f(m)=0,由过(0,1)点的切线有 2 条,可知 f(m)=0 有两个实数解,其等 价于“f(m)有极值,且极大值乘以极小值等于 0,且 a ≠0”.

π ? ? 3π ? ?0,π ? ,∴α ∈ ? ?0, ? ∪ ? ,π ? . ? 4? ?4 ?

由 f(m)=2m3-am2+1,得 f' (m)= 6m3-am2=2m(3m-a),令 f'(m)=0,得 m=0,m= ∴a≠0,f(0)·f(

a , 3

a 1 3 )=0,即 a≠0,a +1=0,∴a=3. 3 27

点评 本题解答关键是把“切线有 2 条”的“形”转化为“方程有 2 个不同实根”的“数” ,即数形 结合,然后把三次方程( *)有两个不同实根予以转化 .三次方程有三个不同实根等价于“极大值大于 0, 且极小值小于 0”.另外,对于求过某点的曲线的切线,应注意此点是否在曲线上 .

三、与函数的单调性、最(极)值有关的问题
【例 6】 以下四图,都是同一坐标系中三次函数及其导函数的图像,其中一定不正确的序号是

A.①、②

B.①、③

C.③、④

D.①、④

解 由题意知导函数的图像是抛物线 .导函数的值大于 0,原函数在该区间为增函数;导函数的值小 于 0,原函数在该区间为减函数,而此抛物线与 x 轴的交点即是函数的极值点,把极值点左、右导数值 的正负与三次函数在极值点左右的递增递减结合起来考虑,可知一定不正确的图形是③、④,故选 C. 点评 f'(x)>0(或 <0)只是函数 f'(x)在该区间单递增(或递减)的充分条件,可导函数 f'(x)在 (a, b)上单调递增(或递减)的充要条件是:对任意 x∈ (a,b),都有 f'(x)≥0(或 ≤0)且 f'(x)在 (a,b)的任 意子区间上都不恒为零 .利用此充要条件可以方便地解决 “已知函数的单调性, 反过来确定函数解析式中 的参数的值域范围”问题 .本题考查函数的单调性可谓新颖别致 . 【例 7】函数 y=f(x)定义在区间( -3 ,7)上,其导函数如图所示,则函数 y=f(x)在区间(-3,7)上 极小值的个数是 个. 观察这 5 点,故在 如使 f' 右负点是 以称得上 解 如图,A、O、B、C、E 这 5 个点是函数的极值点, 个极值点左、右导数的正、负,可知 O 点、C 点是极小值 区间(-3,7)上函数 y=f(x)的极小值个数是 2 个. 点评 导数 f' (x)=0 的点不一定是函数 y=f(x)的极值点, (x)=0 的点的左、右的导数值异号,则是极值点,其中左正 极大值点, 左负右正点是极小值点 .本题考查函数的极值可 是匠心独运 . 【例 8】 设函数 f(x)与数列 {an}满足关系:①a1>α ,其中α 是方程 f(x)=x 的实数根;②an+1=f(an),n ∈N ;③ f(x)的导数 f'(x)∈(0,1). (1)证明:an>α ,n∈N*; (2)判断 an 与 an+1 的大小,并证明你的结论 . (1)证明: (数学归纳法)
*

当 n=1 时,由题意知 a1>α ,∴原式成立. 假设当 n=k 时,ak>α ,成立. ∵f'(x)>0,∴f(x)是单调递增函数 . ∴ak+1= f(ak)> f(α )=α , (∵ α 是方程 f(x)= x 的实数根) 即当 n=k+1 时,原式成立 . 故对于任意自然数 N*,原式均成立 . (2)解:g(x)=x-f(x),x≥α ,∴g'(x)=1-f'(x),又∵ 0< f'(x)<1,∴g'(x)>0. ∴ g ' (x)在

?α ,??? 上是单调递增函数.

而 g'(α )=α -f(α )=0,∴ g'(x)>g(α ) (x>α ),即 x>f(x). 又由(1)知,an>α ,∴an>f(an)=an+1. 点评 本题是函数、方程、数列、导数等知识的自然链接,其中将导数知识融入数学归纳法,令人耳 目一新 .

四、与不等式有关的问题
【例 9】 设 x≥0,比较 A=xe x,B=lg(1+x),C=
-

x 1? x

的大小 .

解 令 f(x)=C-B= ∴ f( x) 为

x 1? x

-lg(1+x),则 f'(x)=

( 1 ? x ? 1) 2 2(1 ? x) 1 ? x

>0,

?0,??? 上的增函数,∴f(x)≥f(0)=0,∴C≥B.
-

令 g(x)=B-A=lg(1+x)-xe x,则当 x≥0 时,g'(x)= ∴ g (x)为

?0,??? 上的增函数,∴g(x)≥g(0)=0,∴B≥A.

1 ? e ? x (1 ? x 2 ) ≥ 0, 1? x

因此, C≥B≥A(x=0 时等号成立) . 点评 运用导数比较两式大小或证明不等式,常用设辅助函数法,如 f(a)=φ (a),要证明当 x>a 时, 有 f(a)=φ (a),则只要设辅助函数 F(x)= f(a)-φ (a),然后证明 F(x)在 x>a 单调递减即可,并且这种设辅助 函数法有时可使用多次, 2004 年全国卷Ⅱ的压轴题就考查了此知识点 .

五、与实际应用问题有关的问题
【例 10】 某汽车厂有一条价值为 a 万元的汽车生产线,现要通过技术改造来提高该生产线的生产 能力,提高产品的增加值,经过市场调查,产品的增加值 y 万元与技术改造投入 x 万元之间满足:① y 与(a-x)和 x2 的乘积成正比;②当 x ? 数,且 t∈ ?0,2 .

?

a x 时,y=a3.并且技术改造投入比率: ∈ ?0, t ? ,其中 t 为常 2 2( a ? x )

(1)求 y=f(x)的解析式及定义域; (2)求出产品的增加值 y 的最大值及相应的 x 值. 解: (1)由已知,设 y=f(x)=k(a-x)x2, ∵当 x ?

a a a2 时,y= a3,即 a3=k· · ,∴k=8,则 f(x)=8-(a-x)x2. 2 2 4

∵0<

2at 2at x ≤t,解得 0<x≤ .∴函数 f(x)的定义域为 0<x≤ . 2t ? 1 2t ? 1 2( a ? x ) 2a , 3

(2)∵f'(x)= -24x2+16ax=x(-24x+16a),令 f'(x)=0,则 x=0(舍去) ,x?

2a 2a 时,f'(x)>0,此时 f(x)在(0, )上单调递增; 3 3 2a 当 x> 时,f'(x)<0,此时 f(x)是单调递减. 3
当 0<x< ∴当

2at 2a 2 a 32 3 a ; ≥ 时,即 1≤t≤2 时, ymax=f( )= 2t ? 1 3 3 27



2at 2 a 2at 32a 3 t 2 < 时,即 0<t<1 时,ymax=f( )= . 2t ? 1 3 2t ? 1 (2t ? 1) 3 2a 32 3 2at a ,当 0<t<1 时,投入 万元,最大增加值是 万元,最大增 3 27 2t ? 1

综上,当 1≤t≤2 时,投入

32a 3 t 2 加值是 . (2t ? 1) 3
点评 f'(x0)=0,只是函数 f(x)在 x0 处有极值的必要条件,求实际问题的最值应先建立一个目标函数, 并根据实际意义确定其定义域,然后根据问题的性质可以断定所建立的目标函数 f(x)确有最大或最小值, 并且一定在定义区间内取得,这时 f(x)在定义区间内部又只有一个使 f' (x0)=0 的点 x0,那么就不必判断 x0 是否为极值点,取什么极值,可断定 f(x0)就是所求的最大或最小值 .



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