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高中数学(新人教A版选修1-1)同步测试题:第2章 2.1合情推理与演绎证明 测试2


合情推理与演绎推理测试题 2(选修 1-2)
班级 姓名 学号 得分

一、选择题: 1、与函数 y ? x 为相同函数的是( A. y ? ) D. y ? log2 2 x

x

2

x2 B. y ? x

C. y ? e ln x ).

2、下面使用类比推理正确的是 (

A.“若 a ? 3 ? b ? 3 ,则 a ? b ”类推出“若 a ? 0 ? b ? 0 ,则 a ? b ” B.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ”类推出“ (a ? b)c ? ac ? bc ”

a?b a b ? ? (c≠0) ” c c c n n (ab) ? a nbn ” 类推出“ (a ? b) ? a n ? bn ” D.“
C.“若 (a ? b)c ? ac ? bc ” 类推出“ 3、 有一段演绎推理是这样的: “直线平行于平面,则平行于平面内所有直线;已知直线

b? ? 平面 ? ,直线 a ? 平面 ? ,直线 b ∥平面 ? ,则直线 b ∥直线 a ”的结论显然是错误
的,这是因为 ( A.大前提错误 ) B.小前提错误 C.推理形式错误 D.非以上错误 ) 。

4、用反证法证明命题: “三角形的内角中至少有一个不大于 60 度”时, 反设正确的是 ( A.假设三内角都不大于 60 度; C.假设三内角至多有一个大于 60 度;
n

B.假设三内角都大于 60 度; D.假设三内角至多有两个大于 60 度。
2

5、当 n ? 1,2,3,4,5,6 时,比较 2 和 n 的大小并猜想
n 2 A. n ? 1 时, 2 ? n n 2 C. n ? 4 时, 2 ? n n 2 B. n ? 3 时, 2 ? n n 2 D. n ? 5 时, 2 ? n

( )

6、已知 x, y ? R, 则" xy ? 1"是" x ? y ? 1" 的(
2 2

) D.既不充分也不必要条件 1 0.5 2 1 a b

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

c 7、在下列表格中,每格填上一个数字后,使每一行成等差数 列,每一列成等比数列,则 a+b+c 的值是( A. 1 B. 2 C.3 D.4 )

8、 对“a,b,c 是不全相等的正数” ,给出两个判断: ① (a ? b) 2 ? (b ? c)2 ? (c ? a) 2 ? 0 ;② a ? b, b ? c, c ? a 不能同时成立, 下列说法正确的是( ) A.①对②错 C.①对②对 B.①错②对 D.①错②错

9、设 a, b, c 三数成等比数列,而 x , y 分别为 a , b 和 b, c 的等差中项,则 A. 1 B. 2 C. 3 D.不确定

a c ? ?( x y



?x 10、 定义运算 : x ? y ? ? ?y
A. x ? y ? y ? x C. ( x ? y) ? x ? y
2 2 2

( x ? y) ( x ? y),

的是( 例如3 ? 4 ? 4, 则下列等式不能成立 ....



B. ( x ? y) ? z ? x ? ( y ? z ) D. c ? ( x ? y) ? (c ? x) ? (c ? y) (其中 c ? 0 )

题号 答案

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

二、填空题: 11、一同学在电脑中打出如下若干个圈:○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若 将此若干个圈依此规律继续下去 , 得到一系列的圈 , 那么在前 120 个圈中的●的个数 是 。

12、 类比平面几何中的勾股定理:若直角三角形 ABC 中的两边 AB、AC 互相垂直,则三角形
2 2 2 三边长之间满足关系: AB ? AC ? BC 。若三棱锥 A-BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两

两互相垂直,则三棱锥的侧面积与底面积之间满足的关系为

.

13、从 1 ? 1 ,1 ? 4 ? ?(1 ? 2) , 1 ? 4 ? 9 ? 1 ? 2 ? 3 ,1 ? 4 ? 9 ? 16 ? ?(1 ? 2 ? 3 ? 4) ,…, 推广到第 n 个等式为_________________________. 14、 已知 a1 ? 3 ,an ?1 ?

3an , 试通过计算 a2 ,a3 , 推测出 an =___________. a4 ,a5 的值, an ? 3

三、解答题: 15、在△ABC 中,证明:

cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 。 2 2 a b a b

16、设 a, b, x, y ? R ,且 a ? b ? 1 , x 2 ? y 2 ? 1 ,试证: ax ? by ? 1 。
2 2

17、用反证法证明:如果 x ?

1 2 ,那么 x ? 2 x ? 1 ? 0 。 2

18 、已知数列 a1 , a 2 , ? , a30 ,其中 a1 , a 2 , ? , a10 是首项为 1 ,公差为 1 的等差数列;

a10 , a11 , ? , a 20 是公差为 d 的等差数列; a 20 , a 21 , ? , a30 是公差为 d 2 的等差数列 (d ? 0) .
(1)若 a 20 ? 40 ,求 d ; (2)试写出 a 30 关于 d 的关系式,并求 a 30 的取值范围; (3)续写已知数列,使得 a30 , a31 , ? , a 40 是公差为 d 3 的等差数列,……,依次类推, 把已知数列推广为无穷数列. 提出同(2)类似的问题( (2)应当作为特例) ,并进行研究, 你能得到什么样的结论?

合情推理与演绎推理测试题(选修 1-2)
答案提示
1——10、

DCABD

BAABC

11、____14__________ 12、 S ?BCD ? S ?ABC ? S ?ACD ? S ?ABD
2 2 2

2

2

2

2

13、 1 ? 2 ? 3 ? 4 ? … ? (?1) n?1 ? n 2 ? (?1) n?1 ? (1 ? 2 ? 3 ? ? ? ? ? n) 14、________

3 ______ n

15、证明:

cos 2 A cos 2 B 1 ? 2 sin 2 A 1 ? 2 sin 2 B ? ? ? a2 b2 a2 b2

? sin 2 A sin 2 B ? 1 1 ? 2 ? 2 ? 2? ? a2 ? b2 ? ? a b ? ?
sin 2 A sin 2 B ? 由正弦定理得: a2 b2
? cos 2 A cos 2 B 1 1 ? ? 2 ? 2 2 2 a b a b
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

16、证明: 1 ? (a ? b )(x ? y ) ? a x ? a y ? b x ? b y

? a 2 x 2 ? 2aybx? b 2 y 2 ? (ax ? by) 2
故 ax ? by ? 1 17、假设 x ? 2 x ? 1 ? 0 ,则 x ? ?1 ? 2
2

容易看出 ? 1 ?

2?

1 1 ,下面证明 ? 1 ? 2 ? 。 2 2

要证: ? 1 ? 2 ? 只需证: 2 ? 只需证: 2 ?

1 , 2

3 , 2

9 4

上式显然成立,故有 ? 1 ? 2 ? 综上, x ? ?1 ?

1 。 2

2?

1 1 。而这与已知条件 x ? 相矛盾, 2 2

因此假设不成立,也即原命题成立。 18、解: (1) a10 ? 10. a 20 ? 10 ? 10d ? 40, ? d ? 3 . (2) a30 ? a20 ? 10d 2 ? 10 1 ? d ? d 2
2 ?? 1? 3? a 30 ? 10? ? d ? ? ? ? , 2? 4? ? ?? ?

?

?

(d ? 0) ,

当 d ? ( ? ?, 0 ) ? ( 0, ? ? ) 时, a30 ?? 7.5, ? ? ? . (3)所给数列可推广为无穷数列 ? a n ? ,其中 a1 , a 2 , ? , a10 是首项为 1,公差为 1 的 等差数列,当 n ? 1 时,数列 a10n , a10n?1 , ?, a10 ( n?1) 是公差为 d n 的等差数列. 研究的问题可以是: 试写出 a10 ( n?1) 关于 d 的关系式,并求 a10 ( n?1) 的取值范围. 研究的结论可以是:由 a40 ? a30 ? 10d 3 ? 10 1 ? d ? d 2 ? d 3 , 依次类推可得

?

?

a10( n?1) ? 10 1 ? d ? ? ? d

?

n

?

? 1 ? d n?1 ?10 ? , d ? 1, ?? 1? d ? d ? 1. ?10(n ? 1),

当 d ? 0 时, a10 ( n?1) 的取值范围为 ( 10, ? ? ) 等.


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