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2014年高考浙江理科数学试题及答案(精校版)



2014 年普通高等学校招生全国统一考试(浙江卷)



学(理科)
) )

一. 选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1. 设全集 U ? {x ? N | x ? 2} ,集合 A ? {x ? N | x 2 ? 5} ,则 CU A ? ( A.

?

B. {2}

C. {5}

D. {2, 5}

2. 已知 i 是虚数单位, a, b ? R ,则“ a ? b ? 1 ”是“ (a ? bi )2 ? 2i ”的( A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 某几何体的三视图(单位:cm)如图所示,则此几何体的表面积是( A. 90 cm
2 2

)

B. 129 cm

2 2

C. 132 cm D. 138 cm 4. 为了得到函数 y ? sin 3x ? cos 3x 的图像, 可以将函数 ) y ? 2 cos3x 的图像( ? ? A. 向右平移 个单位 B. 向左平移 个单位 4 4 ? ? C. 向右平移 个单位 D. 向左平移 个单位 12 12 6 4 m n 5. 在 (1 ? x) (1 ? y ) 的 展 开 式 中 , 记 x y 项 的 系 数 f ( m, n) , 则 f ( 3 ,? 0 f) ? ( 2f , 1 ? ) f (= 1 , 2 ) ( 0 , 3 ) ( ) A. 45 B. 60 C. 120 D. 210 3 2 6. 已知函数 f ( x) ? x ? ax ? bx ? c ,且 0 ? f ( ?1) ? f ( ?2) ? f (?3) ? 3 ( A. c ? 3 B. 3 ? c ? 6 C. 6 ? c ? 9 D. c ? 9 7. 在同一直角坐标系中,函数 f ( x) ? x ( x ? 0) , g ( x) ? loga x 的图像可能是(
a

) )

8. 记 max{x, y} ? ?

? x, x ? y ?y, x ? y , min{x, y} ? ? ,设 a, b 为平面向量,则( ? y, x ? y ?x, x ? y



A. min{| a ? b |,| a ? b |} ? min{| a |,| b |} B. min{| a ? b |,| a ? b |} ? min{| a |,| b |} C. max{| a ? b |2 ,| a ? b |2 } ?| a |2 ? | b |2 D. max{| a ? b |2 ,| a ? b |2 } ?| a |2 ? | b |2 9. 已知甲盒中仅有 1 个球且为红球,乙盒中有 m 个红球和 n 个篮球 (m ? 3, n ? 3) ,从乙
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盒中随机抽取 i (i ? 1, 2) 个球放入甲盒中. (a)放入 i 个球后,甲盒中含有红球的个数记为 ?i (i ? 1, 2) ; (b)放入 i 个球后,从甲盒中取 1 个球是红球的概率记为 pi (i ? 1, 2) . 则 ( ) A. p1 ? p2 , E(?1 ) ? E (?2 ) C. p1 ? p2 , E (?1 ) ? E (?2 ) B. p1 ? p2 , E (?1 ) ? E (?2 ) D. p1 ? p2 , E (?1 ) ? E(?2 )

10. 设函数 f1 ( x) ? x 2 , f 2 ( x) ? 2( x ? x 2 ) , f 3 ( x ) ?

i 1 | sin 2? x | ,ai ? ,i ? 0, 1, 2, 3 99 ?, 99 , 记 I k ?| fk (a1 ) ? f k (a0 ) | ? | f k (a2 ) ? f k (a1 ) | ? ? | f k (a99 ) ? f k (a98 ) | , k ? 1, 2, 3 则 ( ) A. I1 ? I 2 ? I 3 B. I 2 ? I1 ? I 3 C. I1 ? I 3 ? I 2 D. I 3 ? I 2 ? I1

二. 填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分.
11. 若某程序框图如图所示,当输入 50 时,则该程序运算后输出 的结果是________. 12. 随机变量 ? 的取值为 0,1,2,若 P (? ? 0) ?

D (? ) =________.

1 , E (? ) ? 1 ,则 5

?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 13.当实数 x, y 满足 ? x ? y ? 1 ? 0 时, 1 ? ax ? y ? 4 恒成立, ?x ? 1 ?
则实数 a 的取值范围是________. 14. 在 8 张奖券中有一、二、三等奖各 1 张,其余 5 张无奖.将这 8 张奖券分配给 4 个人, 每人 2 张, 不同的获奖情况有_____种 (用 数字作答).

? x 2 ? x, x ? 0 ? 15.设函数 f ( x ) ? ? 2 若 f ( f ( a )) ? 2 ,则实数 a 的取 ? ?? x , x ? 0
值范围是______ 16. 设 直 线 x ? 3 y ? m ? 0 ( m ? 0 ) 与 双 曲 线

x2 y2 ? ? 1 ( a ? 0, b ? 0 )两条渐近线分别 a2 b2 交于点 A,B.若点 P(m,0) 满足 | PA |?| PB | ,则
该双曲线的离心率是__________ 17、如图,某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前 的点 A 处进行射击训练.已知点 A 到墙面的距离 为 AB, 某目标点 P 沿墙面上的射击线 CM 移动, 此人为了准确瞄准目标点 P, 需计算由点 A 观察 ? 点 P 的仰角 的 大 小 . 若 AB ? 15m ,
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AC ? 25m , ?BCM ? 30? ,则 tan ? 的最大值是
ABC 所成角)

(仰角 ? 为直线 AP 与平面

三. 解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18.(本题满分 14 分) 在△ ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c.已知 a ? b, c ?

3

cos A ? cos B ? 3 sin A cos A ? 3 sin B cos B
2 2

(Ⅰ )求角 C 的大小; (Ⅱ )若 sin A ?

4 ,求△ ABC 的面积. 5

19.(本题满分14分) 已知数列 {an } 和 {bn } 满足 a1 a2 a3

an ? ( 2)bn ( n? N*). 若 {an } 为等比数列,且

a1 ? 2, b3 ? 6 ? b2 (Ⅰ ) 求 an 与 bn ; 1 1 (Ⅱ ) 设 cn ? ? (n ? N *) .记数列 {cn } 的前 n 项和为 Sn , an bn (i)求 Sn ; (ii)求正整数 k ,使得对任意 n ? N * 均有 Sk ? Sn .

20.(本题满分 15 分) 如图,在四棱锥 A ? BCDE 中,平面 ABC ?平面 BCDE , ?CDE ? ?BED ? 90? ,

AB ? CD ? 2 , DE ? BE ? 1 , AC ? 2 . (Ⅰ ) 证明: DE ?平面 ACD ; (Ⅱ ) 求二面角 B ? AD ? E 的大小.

第 3 页 共 16 页

21(本题满分15分) 如图,设椭圆 C:

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 动直线 l 与椭圆 C 只有一个公共点 P,且点 P a2 b2

在第一象限. (Ⅰ ) 已知直线 l 的斜率为 k ,用 a, b, k 表示点 P 的坐标; (Ⅱ ) 若过原点 O 的直线 l1 与 l 垂直,证明:点 P 到直线 l1 的距离的最大值为 a ? b .

22.(本题满分 14 分)

已知函数 f ? x ? ? x ? 3 x ? a (a ? R).
3
2

(Ⅰ ) 若 f ? x ? 在 ? ?1,1? 上的最大值和最小值分别记为 M (a ), m(a ) ,求 M (a ) ? m(a ) ; (Ⅱ ) 设 b ? R, 若 ? ? f ? x ? ? b? ? ? 4 对 x ?? ?1,1? 恒成立,求 3a ? b 的取值范围.

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2014 年高考浙江理科数学试题参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. 在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.【解析】 A ? {x ? N | x 2 ? 5} = {x ? N | x ? 5} , CU A ? {x ? N | 2 ? x ? 5} ? {2} 【答案】B 2.【解析】当 a ? b ? 1 时, (a ? bi )2 ? (1 ? i )2 ? 2i ,反之, (a ? bi )2 ? 2i 即 a ? b ? 2abi ? 2i ,则 ?
2 2

?a 2 ? b2 ? 0 ? 2 ab ? 2

解得 ?

?a ? 1 ?a ? ?1 或? ?b ? 1 ?b ? ?1
1 ? 3 ? 4 ? 138 . 2 )]

【答案】A 3.【解析】由三视图可知直观图左边一个横放的三棱柱右侧一个长方体,故几何体的表面 积为: S ? 2 ? 4 ? 6 ? 2 ? 3 ? 4 ? 3 ? 6 ? 3 ? 3 ? 3 ? 4 ? 3 ? 5 ? 2 ? 【答案】D 4.【解析】 y ? sin 3x ? cos 3 x ? 而y? 由 3( x ?

2 sin(3x ? 2

?
4

) = 2 sin[3( x ?

?
12

2 cos 3x ? 2 sin(3x ?

?

) = 2 sin[3( x ?

?
6

)]

?
6

12 ? 故只需将 y ? 2 cos3x 的图象向右平移 个单位. 故选 C 12
【答案】C
10 5.【解析】令 x ? y ,由题意知 f (3, 0) ? f (2,1) ? f (1, 2) ? f (0, 3) 即为 (1 ? x) 展开

) ? 3( x ?

?
12

) ,即 x ? x ?

?

式中 x

3

7 的系数,故 f (3, 0) ? f (2,1) ? f (1, 2) ? f (0, 3) = C10 ? 120 ,故选 C

【答案】C 6. 【 解 析 】 由 f ( ? 1) ? f (? 2 )? f

??1 ? a ? b ? c ? ?8 ? 4a ? 2b ? c ( ? 得 3) ? 解得 ??1 ? a ? b ? c ? ?27 ? 9a ? 3b ? c
, 由

?a ? 6 3 2 , 所 以 f ( x) ? x ? 6 x ? 11x ? c ? ?b ? 11 0 ? ?1 ? 6 ? 11 ? c ? 3 ,即 6 ? c ? 9 ,故选 C
【答案】C
a

0 ? f ( ?1) ? 3



7.【解析】函数 f ( x) ? x ( x ? 0) , g ( x) ? loga x 分别的幂函数与对数函数
a 答案 A 中没有幂函数的图像 , 不符合;答案 B 中, f ( x) ? x ( x? 0)中 a ? 1 ,

g ( x) ? loga x 中 0 ? a ? 1 ,不符合;答案 C 中, f ( x) ? xa ( x ? 0)中 0 ? a ? 1 ,
a g ( x) ? loga x 中 a ? 1 , 不 符 合 ; 答 案 D 中 , f ( x) ? x (x ? 0中 ) 0? a ?1 , g ( x) ? loga x 中 0 ? a ? 1 ,符合. 故选 D

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【答案】D 8.【解析】由向量运算的平行四边形法可知 min{| a ? b |,| a ? b |} 与 min{| a |,| b |} 的大小 不确定,平行四边形法可知 max{| a ? b |,| a ? b |} 所对的角大于或等于 90 ? ,由余弦定 理知 max{| a ? b |2 ,| a ? b |2 } ?| a |2 ? | b |2 , (或 max{| a ? b | ,| a ? b | } ?
2 2

| a ? b |2 ? | a ? b |2 2(| a |2 ? | b |2 ) ? ?| a |2 ? | b |2 ). 2 2

【答案】D 9.【解析 1】 p1 ?

m n 1 2m ? n , ? ? ? m ? n m ? n 2 2(m ? n )

2 1 1 2 Cn Cn 2 Cm 1 Cm 3m2 ? 3m ? 2mn ? n 2 ? n p2 ? 2 ? 2 ? 2 = 3(m ? n)(m ? n ? 1) Cm?n 3 Cm?n 3 Cm?n

∴ p1 ? p2 ? 故 p1 ? p2

2m ? n 5mn ? n(n ? 1) 3m2 ? 3m ? 2mn ? n 2 ? n - = ?0 , 2(m ? n ) 6(m ? n )(m ? n ? 1) 3(m ? n)(m ? n ? 1)

n m , P(?1 ? 2) ? m?n m?n n m 2m ? n ? 2? ? ∴ E (?1 ) ? 1 ? m?n m?n m?n
又∵ P(?1 ? 1) ?
2 n(n ? 1) 又 P(?2 ? 1) ? Cn ? 2 Cm?n (m ? n)(m ? n ? 1)

P(?2 ? 2) ? P(?2 ? 3) ?

1 1 Cn Cm 2mn ? 2 Cm?n (m ? n)(m ? n ? 1) 2 Cm m(m? 1) ? 2 Cm?n (m ? n)(m ? n ? 1)

∴ E (?2 ) ? 1 ?

n(n ? 1) 2mn m(m ? 1) ? 2? ? 3? (m ? n )(m ? n ? 1) (m ? n )(m ? n ? 1) (m ? n )(m ? n ? 1)

3m2 ? n 2 ? 3m ? n ? 4mn = (m ? n)(m ? n ? 1)
m(m ? 1) ? mn 3m2 ? n 2 ? 3m ? n ? 4mn 2m ? n ?0 - = m ? n (m ? n )(m ? n ? 1) (m ? n)(m ? n ? 1) 所以 E (?2 ) ? E (?1 ) ,故选 A

E (?2 ) ? E (?1 ) =

【答案】A 【解析 2】 :在解法 1 中取 m ? n ? 3 ,计算后再比较。

1 2i ? 1 ? i ? ? i ?1? 10.【解析】由 ? , ? ?? ? ? 99 99 ? 99 ? ? 99 ?
故 I1 ?

2

2

1 1 3 5 ( ? ? ? 99 99 99 99

?

2 ? 99 ? 1 1 992 )? ?1 99 99 99
第 6 页 共 16 页

由2

i i ?1 ? i ? ? i ?1? 1 99 ? (2i ? 1) ? ?? ? ?? | | ? ? 2? 99 99 ? 99 ? ? 99 ? 99 99
1 50(98 ? 0) 98 100 ?2? ? ?1 99 2 ? 99 99 99
? | sin(2? 99 98 ) | ? | sin(2? ) |) 99 99

2

2

故 I2 ? 2 ?

1 1 0 2 1 I 3 ? ( | sin(2? ) | ? | sin(2? ) | ? | sin(2? ) | ? | sin(2? )| ? 3 99 99 99 99

1 25 74 ) ? 2 sin(2? )] ? 1 3 99 99 故 I 2 ? I1 ? I 3 ,故选 B
= [2 sin(2? 【答案】B 【解析 2】估算法: I k 的几何意义为将区间 [0,1] 等分为 99 个小区间,每个小区间的端 点的函数值之差的绝对值之和.如图为将函数 f1 ( x) ? x 2 的区间 [0,1] 等分为 4 个小区间 在 [0,1] 上 递 增 , 此 时 f1 ( x ) I1 ?| f (a1 ) ? f (a0 ) | ? | f (a2 ) ? f (a1 ) | ? | f (a3 ) ? f (a2 ) | ? | f (a4 ) ? f (a3 ) | =A 同理对题中给出的 I 1 同样有 I1 ? 1 ; 1H1 ? A 2 H2 ? A 3H 3 ? A 4 H 4 ? f (1) ? f (0) ? 1 , 1 1 4 而 I 2 略小于 2 ? ? 1 , I 3 略小于 4 ? ? ,所以估算得 I 2 ? I1 ? I 3 2 3 3 的 情 形 , 因

【答案】B

三. 填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.【解析】第一次运行结果 S ? 1, i ? 2 第二次运行结果 S ? 4, i ? 3 第三次运行结果 S ? 11, i ? 4 第四次运行结果 S ? 26, i ? 5 第五次运行结果 S ? 57, i ? 6 此时 S ? 57 ? 50 ,∴输出 i ? 6 , 【答案】6 12.【解析】设 ? ? 1 时的概率为 p , ? 的分布列为
由 E (? ) ? 0 ?

? P

0

1

2

? 的分布列为即为


1 1 3 ? 1 ? p ? 2 ? (1 ? p ? ) ? 1 ,解得 p ? 5 5 5
? P 0 1 2

1 5

p

1? p ?

1 5

1 5

3 5

1 5

第 7 页 共 16 页

1 3 1 2 2 E (? ) ? (0 ? 1) 2 ? ? (1 ? 1) 2 ? ? (2 ? 1) 2 ? ? . 【答案】 5 5 5 5 5 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 13.【解析】作出不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 所表示的 ?x ? 1 ?
区 域 如 图 , 由 1 ? ax ? y ? 4 恒 成 立 , 故

3 A(1, 0), B(2,1), C (1, ) 2

三 点 坐 标 代 入

? ?1 ? a ? 4 3 ? 1 ? ax ? y ? 4 ,均成立得 ?1 ? 2a ? 1 ? 4 解得 1 ? a ? , ∴实数 a 的取值范围是 2 ? 3 ?1 ? a ? ? 4 ? 2 3 3 [1, ] , 【答案】 [1, ] 2 2 ?x ? 2 y ? 4 ? 0 ? 【解析 2】作出不等式组 ? x ? y ? 1 ? 0 所表示的区域如图,由 1 ? ax ? y ? 4 得,由 ?x ? 1 ?
图分析可知,a ? 0 且在 A(1, 0) 点取得最小值, 在 B(2,1) 取得最大值,故 ? 得1 ? a ?

?a ? 1 ?2a ? 1 ? 4

3 3 3 ,故实数 a 的取值范围是 [1, ] , 【答案】 [1, ] 2 2 2

2 2 14. 【解析 1】 不同的获奖分两种, 一是有一人获两张奖券, 一人获一张奖券, 共有 C3 A4 ? 36
3 二是有三人各获得一张奖券,共有 A4 ? 24 ,因此不同的获奖情况共有 36 ? 24 ? 60 种

【解析 2】将一、二、三等奖各 1 张分给 4 个人有 4 ? 64 种分法,其中三张奖券都分 给一个人的有 4 种分法,因此不同的获奖情况共有 64-4=60 种. 【答案】60
3

15.【解析】由题意 ?

? f (a ) ? 0
2

2 ? f (a ) ? f (a ) ? 2 ?? f (a ) ? 2 ?a ? 0 ?a ? 0 ∴ 当? 2 或? 2 解得 a ? 2 ? a ? a ? ?2 ? ? a ? ?2

或?

? f (a ) ? 0

,解得 f ( a ) ? ?2

【答案】 (??, 2]

b b x 和 y ? ? x ,分别与 a a ?am ?bm ?am bm , ) , B( , ), 直线 l : x ? 3 y ? m ? 0 联立方程组,解得, A( a ? 3b a ? 3b a ? 3b a ? 3b
16.【解析 1】由双曲线的方程可知,它的渐近线方程为 y ?
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设 AB 中点为 Q ,由 | PA |?| PB | 得,则

?am ?am ?bm bm ? ? Q( a ? 3b a ? 3b , a ? 3b a ? 3b ) 2 2 2 2 a m 3b m ,? 2 ) , 即 Q(? 2 PQ 与已知直线垂直, 2 a ? 9b a ? 9b2 3b 2 m ? 2 1 a ? 9b 2 ? ?1 即 得 ∴ kPQ kl ? ?1 , 即 2 a m 3 ? 2 ?m a ? 9b 2 c2 5 c 5 2 2 2 2 2 2a ? 8b ,即 2a ? 8(c ? a ) ,即 2 ? ,所以 e ? ? a 4 a 2 2 2 x y 【解析 2】不妨设 a ? 1 ,渐近线方程为 2 ? 2 ? 0 即 b2 x 2 ? y 2 ? 0 1 b 2 2 2 ?b x ? y ? 0 由? 消去 x 得 (9b2 ? 1) y 2 ? 6b2 my ? b2 m ? 0 ?x ? 3y ? m ? 0 3b 2 m 设 AB 中点为 Q( x0 , y0 ) ,由韦达定理得: y0 ? ……① , 9b 2 ? 1 y0 1 y0 1 又 x0 ? 3 y0 ? m , 由 kPQ kl ? ?1 得 ? ?1 即 得 ? ?1 得 x0 ? m 3 3 y0 ? 2 m 3
3 3b2 m 3 m 代入① ? m 得 2 5 9b ? 1 5 1 1 5 5 c 5 2 2 2 2 得b ? ,所以 c ? a ? b ? 1 ? ? ,所以 c ? ,得 e ? ? c ? 4 4 4 2 a 2 5 【答案】 2 y0 ?
17. 【 解 析 1 】 : ∵AB=15cm , AC=25cm , ∠ABC=90° , ∴BC=20cm , 过 P 作 PP′ ⊥BC , 交 BC 于 P′ , 1 ? 当 P 在 线 段 BC 上 时 , 连 接 AP′ , 则 ta n? ?

0 设 BP′=x , 则 CP′=20 -x , ( 0 ? x ?2

PP ' AP '



?? 由 ∠BCM=30° , 得 PP' ? CP' tan 30

3 3

( 20 ?x

)

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在 直 角 △ ABP′ 中 , AP' ? ∴tan ? ? 令 y?

PP ' 3 ? AP ' 3 20 ? x

225? x2 20 ? x

225 ? x 2

225 ? x 2

, 则 函 数 在 x ∈[0 , 20] 单 调 递 减 ,

20 3 4 3 ? 45 9 225 ? 02 PP ' 2 ? 当 P 在 线 段 CB 的 延 长 线 上 时 , 连 接 AP′ , 则 ta n? ? AP ' 设 BP′=x , 则 CP′=20+x , (x?0 ) 3 由 ∠BCM=30° , 得 PP' ? CP' tan 30 ?? ( 20 ?x ) 3
∴x=0 时 , ta n? 取 得 最 大 值 为

3 3

20 ? 0

?

在 直 角 △ ABP′ 中 , AP' ? ∴tan ? ? 令 y?

PP ' 3 ? AP ' 3 20 ? x
2

225? x2 20 ? x


225 ? x 2

225 ? x

,则 y ' ?

225 ? 20 x

(225 ? x 2 ) 225 ? x 2



225 45 45 ? 时 y ' ? 0 ;当 x ? 时 y' ? 0 20 4 4 45 20 ? 45 5 4 所以当 x ? 时 ymax ? ? 4 3 45 225 ? ( )2 4 45 3 5 5 3 此时 x ? 时 , t a n? 取 得 最 大 值 为 ? 4 3 3 9 5 3 综 合 1 ? , 2 ? 可 知 ta n? 取 得 最 大 值 为 9
所以,当 0 ? x ? 【 解 析 2】 :如 图 以 B 为 原 点 , BA 、 BC 所 在 的 直 线 分 别 为 x,y 轴 , 建 立 如 图 所 示 的 空 间 直 角 坐 标 系 , ∵AB=15cm ,AC=25cm ,∠ABC=90° ,∴BC=20cm ,由

, ∠BCM=30° , 可 设 P( 0 x
x ? 20 ) ( ,' 0 ,) x , P0

3 , ?( 2x0 ( )其) 中 3 , A(15, 0, 0) , 所 以

3 (20 ? x ) PP ' 3 3 tan ? ? ? ? 2 2 AP ' 3 15 ? x

20 ? x 225 ? x 2
第 10 页 共 16 页

设 f(x) ? tan ? ?

225 ? x 2 225 45 45 ?? ? x ? 20 时 y ' ? 0 所以,当 x ? ? 时 y ' ? 0 ;当 ? 20 4 4 45 20 ? 45 3 5 3 45 4 ? 所以当 x ? ? 时 f ( x ) max ? f ( ? ) ? 4 4 3 9 45 225 ? ( ) 2 4
所 以 t a n? 取 得 最 大 值 为

3 3

20 ? x

( x ? 20 ) , f '(x) ? ?

3 225 ? 20 x 3 (225 ? x 2 ) 225 ? x 2

5 3 9 【 解 析 3 】 : 分 析 知 , 当 tan ? 取 得 最 大 时 , 即 ? 最 大 , 最 大 值 即 为 平 面 ACM 与
地 面 ABC 所 成 的 锐 二 面 角 的 度 量 值 , 如 图 , 过 B 在 面 BCM 内 作 BD ? BC 交 CM 于 D , 过 B 作 BH ? AC 于 H , 连 DH , 则 ? BHD 即 为 平 面 ACM 与 地 面 ABC 所 成 的 二 面 角 的 平 面 角 ,tan ? 的 最 大 值 即 为 tan ?BHD , 在 Rt ?ABC 中 ,

AB BC 15 20 ? =12 , AC 25 20 3 DB ? BC tan 30? ? 3 20 3 DB 5 3 ? m ) a x ? ta ? n BHD ? ? 3 所 以 ( ta n = BH 12 9
由 等 面 积 法 可 得 BH ? 三. 解答题:本大题共 5 小题,共 72 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

1 ? cos 2 A 1 ? cos 2 B 3 3 ? ? sin 2 A ? sin 2 B , 2 2 2 2 3 1 3 1 sin 2 A ? cos 2 A ? sin 2 B ? cos 2 B 即 2 2 2 2 ? ? sin(2 A ? ) ? sin(2 B? ) 6 6 ? ? 由 a ? b 得 A ? B ,又 A ? B ? (0, ? ) ,得 2 A ? ? 2 B? ? ? 6 6 2? ? 即 A? B ? ,所以 C ? 3 3 4 a c 8 ? (Ⅱ ) c ? 3 , sin A ? , ,得 a ? 5 sin A sinC 5 3 由 a?c 得 A?C , 从 而 cos A ? 故 sin B ? sin( A ? C ) 5
18.【解析】 : (Ⅰ )由题得
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4?3 3 10 1 8 3 ? 18 所以,△ ABC 的面积为 S ? ac sin B ? 2 25 bn 19. 【 解 析 】 : ( Ⅰ) ∵a1a2 a3 an ? ( 2) (n ? N *) ①,
= sinAcosC? cosAsinC ? 当 n≥2 , n ∈N * 时 , a1 a2 a3 ∵b 3 =6+b 2 , ∴a 3 =8 . ∵{a n } 为 等 比 数 列 , 且 a 1 =2 , ∴{a n } 的 公 比 为 q , 则 q ?
2

bn ?1 ②, a n? 1? ( 2 )

b ?b b ?b 由 ①? ②知 : 当 n ? 2 时 , an ? ( 2 ) n n?1 , 令 n=3 , 则 有 a3 ? ( 2) 3 2

a3 ?4 a2

由 题 意 知 a n > 0 , ∴q > 0 , ∴q=2 . ∴a n = 2 n ( n ∈N * ) . 又 由 a1 a2 a3
n ( n ?1) 2

bn ,得 : 21 ? 22 ? 23 ? a (n ? N*) n ? ( 2)
b

n n ?2 ? ( 2b)

即2 ? ( 2) n ∴b n =n ( n+1 ) ( n ∈N * ) .

1 1 1 1 1 1 1 ? ? n ? ? n ?( ? ) an bn 2 n(n ? 1) 2 n n ?1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ) ∴Sn ? c1 ? c2 ? c3 ? ? cn = ? ( ? ) ? 2 ? ( ? ) ? ? n ? ( ? 2 1 2 2 2 3 2 n n ?1 1 1 1 1 1 1 ) =1 ? n ?1 ? = ? 2 ? ? n ? (1 ? 2 2 2 n ?1 2 n ?1 1 1 ? = n ? 1 2n
( Ⅱ) ( i ) ∵cn ? ( ii ) 因 为 c 1 =0 , c 2 > 0 , c 3 > 0 , c 4 > 0 ; 当 n≥5 时 , cn ?

1 n (n ? 1) [ ? 1] n n( n ? 1) 2 n(n ? 1) ( n ? 1)( n ? 2) (n ? 1)(n ? 2) n( n ? 1) 5 (5 ? 1) ? ? ? 0 ,得 ? ?1 而 n n ?1 n ?1 2 2 2 2n 25
所 以 , 当 n≥5 时 , c n < 0 , 综 上 , 对 任 意 n ∈N * 恒 有 S4 ? Sn , 故 k=4 . 20. 证 明 : ( Ⅰ) 在 直 角 梯 形 BCDE 中 , 由 DE=BE=1 ,

2 , 2 2 2 由 AC ? 2 , AB=2 得 AB ? AC ? BC , 即
CD=2 , 得 BD=BC= AC ⊥BC , 又 平 面 ABC ⊥平 面 BCDE , 从 而 AC ⊥平 面 BCDE , 所 以 AC ⊥DE , 又 DE ⊥DC , 从 而 DE ⊥平 面 ACD ; (Ⅱ )【方法 1】
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作 BF ⊥AD ,与 AD 交 于 点 F ,过 点 F 作 FG ∥DE ,与 AB 交 于 点 G ,连 接 BG , 由 ( Ⅰ) 知 DE ⊥AD , 则 FG ⊥AD , 所 以 ∠BFG 就 是 二 面 角 B-AD-E 的 平 面 角 , 在 直 角 梯 形 BCDE 中 , 由 CD 2 =BC 2 +BD 2 , 得 BD ⊥BC , 又 平 面 ABC ⊥平 面 BCDE , 得 BD ⊥平 面 ABC , 从 而 BD ⊥AB , 由 于 AC ⊥平 面 BCDE , 得 AC ⊥CD . 在 Rt △ ACD 中 , 由 DC=2, AC ?

2 , 得 AD ? 6 ; 在 Rt △ AED 中 , 由 ED=1 , AD ? 6 得 AE ? 7 ; 在 Rt △ ABD 中 , 由 BD ? 2 , AB=2 , AD ? 6
得 BF ?

2 2 2 3 , AF ? AD , 从 而 GF ? , 3 3 3 2 5 7 , BC ? . 3 14

在 △ ABE , △ ABG 中 , 利 用 余 弦 定 理 分 别 可 得 cos ?BAE ? 在 △ BFG 中 , cos ?BFG ? 所 以 , ∠BFG=

? ? , 即 二 面 角 B-AD-E 的 大 小 为 . 6 6

GF 2 ? BF 2 ? BG 2 3 ? 2 BF GF 2



【 方 法 2 】以 D 的 原 点 ,分 别 以 射 线 DE ,DC 为 x,y 轴 的 正 半 轴 ,建 立 空 间 直 角 坐 标 系 D ? xyz , 如 图 所 示 . 由 题 意 知 各 点 坐 标 如 下 : D(0, 0, 0) , E (1, 0, 0) , C (0, 2, 0) , A(0, 2, 2) , B(1,1, 0) . 设 平 面 ADE 的 法 向 量 为 m ? ( x1 , y1 , z1 ) 平 面 ABD 的 法 向 量 为 n ? ( x2 , y2 , z2 ) , 可 算 得 :

AD ? (0, ?2, ? 2) DB ? (1,1,0)
由 ?



AE ? (1, ?2, ? 2)



? ?m AD ? 0 ? ?m AE ? 0

即 ?

? ? ?2 y1 ? 2 z1 ? 0 ? ? x1 ? 2 y1 ? 2 z1 ? 0

, 可 取

m ? (0,1, ? 2)
由?

? ?n AD ? 0 ? ?n BD ? 0

即?

? ? ?2 y2 ? 2 z2 ? 0 可取 n ? (0, ?1, 2) ? ? x2 ? y2 ? 0

于是 | cos ? m, n ?|?

|m n| 3 3 ? ? 2 |m||n| 32

由题意可知,所求二面角是锐角,故二 面 角 B-AD-E 的 大 小 为

? 6

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? y ? kx ? m ? 21. 【解析】 : ( Ⅰ) 【 方 法 1】 设 直 线 l 的 方 程 为 y ? kx ? m(k ? 0) , 由 ? x2 , y2 ? ? 1 ? ? a 2 b2
消去 y 得

(b2 ? a 2 k 2 ) x 2 ? 2a 2 kmx ? a 2m2 ? a 2b2 ? 0
由 于 直 线 l 与 椭 圆 C 只 有 一 个 公 共 点 P ,故 △ =0 ,即 b ? m ? a k ? 0 ,解 得 点 P 的坐标为
2 2 2 2

P( ?

a 2 km b2 m , ) b2 ? a 2 k 2 b2 ? a 2 k 2

又 点 P 在 第 一 象 限 , 故 点 P 的 坐 标 为 P( ?

a2k b2 ? a 2 k 2

,

b2 b2 ? a 2 k 2

)

?x ? x' ? x2 y2 ?a 【 方 法 2】 作 变 换 ? , 则 椭 圆 C : 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 变为圆 C ' : a b ?y ? y' ? ?b 2 2 x' ? y' ?1 切 点 P( x0 , y0 ) 变 为 点 P '( x '0 , y '0 ) , 切 线 l : y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ( k ? 0) 变为

l ' : by '? y0 ? k (ax '? x0 ) . 在 圆 C ' 中 设 直 线 O ' P ' 的 方 程 为 y ' ? mx ' ( m ? 0 ) , 1 ? x ' ? 0 ? ? y ' ? mx ' 1 ? m2 ? 由? 2 解 得 ? 2 m ?x ' ? y ' ? 1 ? y '0 ? ? 1 ? m2 ? 1 m 即 P '( , ) ,由于 O ' P ' ? l ' , 1 ? m2 1 ? m2 ak ? ?1 , 所 以 kO ' P ' k l ' ? ?1 , 得 m ? b b ? b 1 ak ) m?? 即 代 入 得 P '( , 2 ak b b2 1? 1? (ak )2 (ak )2 ak b P '( ? , ), a 2 k 2 ? b2 a 2 k 2 ? b2



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x ? x' ? ? ? a 利用逆变换 ? 代入即得: ?y' ? y ? b ? 2 ak b2 P( ? , ) a 2 k 2 ? b2 a 2 k 2 ? b2
( Ⅱ)由 于 直 线 l 1 过 原 点 O 且 与 直 线 l 垂 直 ,故 直 线 l 1 的 方 程 为 x+ky=0 ,所 以 点 P 到 直 线 l1 的 距 离

|? d?

| b2 ? a 2 k 2 b2 ? a 2 k 2 整 理 得 : d ? 1? k2
2

a2k

?

b2 k

a 2 ? b2 b2 ? a 2 ? a 2 k 2 ? b2 k2 a 2 ? b2

因为 a k ?
2

b2 ? 2ab , 所 以 d ? k2

a 2 ? b2 b2 b ?a ? a k ? 2 k
2 2 2 2

?

b2 ? a 2 ? 2 ab

? a? b

b 时等号成立. a 所 以 , 点 P 到 直 线 l1 的 距 离 的 最 大 值 为 a ? b .
当且仅当 k ?
2

3 ? ? x ? 3x ? 3a , x ? a 23. 【 解 析 】 : ( Ⅰ) ∵ f ( x ) ? x ? 3 | x ? a |? ? 3 , ? ? x ? 3x ? 3a , x ? a 2 ? ?3 x ? 3 , x ? a ∴ f '( x ) ? ? 2 , 由 于 ?1 ? x ? 1 ? ?3x ? 3, x ? a ( ⅰ) 当 a ? ?1 时 , 有 x ? a , 故 f ( x) ? x3 ? 3x ? 3a 此 时 , f ( x ) 在 (? 1 , 1 上) 是 增 函 数 , 因 此 M (a ) ? f (1) ? 4 ? 3a , m(a ) ? f ( ?1) ? ?4 ? 3a , 故 M (a ) ? m(a ) ? (4 ? 3a) ? ( ?4 ? 3a) ? 8 ( ⅱ) 当 ?1 ? a ? 1 时 , 若 x ∈( a , 1 ) , f( , 在 ( a, 1) 上 是 增 x) ? x 3? 3 x ? 3 a 3

函 数 ; 若 x ∈( -1 , a ) , f( x) ? x

, 在 ( -1 , a ) 上 是 减 函 数 , ? 3 x ? 3 a 3 ∴ M (a ) ? max{ f (1), f ( ?1)} , m(a) ? f (a) ? a a ? 2, 因 此 由 于 f (1)? f (? 1)? ? 6 1 3 当 ?1 ? a ? 时 , M (a) ? m(a) ? ?a ? 3a ? 4 ; 3 1 3 当 ? a ? 1 时 , M ( a) ? m( a) ? ? a ? 3a ? 2 ; 3 3 ( ⅲ) 当 a ? 1 时 , 有 x ? a , 故 f ( x) ? x ? 3 x ? 3 a,
3

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此 时 f ( x ) 在 ( ?1,1) 上 是 减 函 数 , 因 此 M ( a ) ? f (? 1) ? 2? 3 a, m(a ) ? f (1) ? ?2 ? 3a , 故 M (a ) ? m(a ) ? 4 ; 综上,

8, a ? ?1 ? ? 1 ? ?a 3 ? 3a ? 4 , ? 1 ? a ? ? 3 M ( a ) ? m( a ) ? ? ? ?a 3 ? 3a ? 2 , 1 ? a ? 1 ? 3 ? 4 , a ?1 ?
( Ⅱ) 令 h( x ) ? f ( x )? b , 则 h(x ) ? ?
2 ? ?3 x ? 3 , x ? a h'( x ) ? ? 2 , 3 x ? 3, x ? a ? ?

3 ? ? x ? 3 x ? 3a ? b , x ? a 3 ? ? x ? 3 x ? 3a ? b , x ? a

因 为 [f ( x ) +b] 2 ≤4 对 x ∈[-1 , 1] 恒 成 立 , 即 ?2 ? h( x ) ? 2 对 x ∈[-1 , 1] 恒 成 立 , 所以由 ( Ⅰ) 知 , ( ⅰ) 当 a ? ?1 时 , h( x ) 在 ( ?1,1) 上 是 增 函 数 , h( x ) 在 [?1,1] 上 的 最 大 值 是

2 且 4 ? 3a ? b ? 2 h(1) ? 4 ? 3a ? b ,最 小 值 h( ?1) ? ?4 ? 3a ? b ,则 ?4 ?3 a ? b ? ?
矛盾;

1 3 时 , h( x ) 在 [?1,1] 上 的 最 小 值 是 h(a) ? a ? b , 最 大 值 是 3 h(1) ? 4 ? 3a ? b , 所 以 a 3 ? b ? ?2 且 4 ? 3a ? b ? 2 , 从 而 1 ?2 ? a 3 ? 3a ? 3a ? b ? 6a ? 2 且 0 ? a ? 3 1 3 令 t (a ) ? ?2 ? a ? 3a , 则 t '(a ) ? 3? 3 , ∴t (a ) 在 (0, ) 上 是 增 函 数 , a2 ? 0 3 故 t (a ) ? t (0) ? ?2 , 因 此 ?2 ? 3a ? b ? 0 1 3 ( ⅲ) 当 ? a ? 1 时 , h( x ) 在 [?1,1] 上 的 最 小 值 是 h(a) ? a ? b , 最 大 值 是 3 28 ? 3a ? b ? 0 h(?1) ? 3a ? b ? 2 , 所 以 由 a 3 ? b ? ?2 且 3a ? b ? 2 ? 2 , 解 得 ? 27 3 ?b ? , 2 最小值是 ( ⅳ) 当 a ? 1 时 , h( x ) 在 [?1,1] 上 的 最 大 值 是 h( ? 1 )? a h( 1 ) ? 3? a ? b, 2 所 以 由 3a ? b ? 2 ? ? 2且 3a ? b ? 2 ? 2 , 解 得 3a+b=0 . 综 上 , 3a ? b 的 取 值 范 围 是 ?2 ? 3a ? b ? 0 .
( ⅱ) 当 ?1 ? a ?
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