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贵州省遵义航天高级中学2016届高三第五次模拟数学(文)试题


2015~2016 学年第一学期高三第五次模拟考试 文科数学试题

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一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的). 1.已知全集为 R,集合 A={x|2 ≥1},B={x|x ﹣3x+2≤0},则 A∩?RB=( A.{x|x≤0} B.{x|1≤x≤2} C.{x|0≤x<1 或 x>2}
x 2

) D.{x|0≤x<1 或 x≥2} )

2、已知复数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为 3 ,则

y 的最大值是( x

A.

3 2

B.

3 3

C.

1 2

D.

3

3.

设0 ? x ?

?
2

,记 a ? lnsin x, b ? sin x, c ? esin x ,则比较 a, b, c 的大小关系为( ) B. b ? a ? c C. c ? b ? a D. a ? c ? b

A. a ? b ? c

4、如图(1)、(2)、(3)、(4)为四个几何体的三视图,根据三视图可以判断这四个几何体依次分 别为 ( )

A.三棱台、三棱柱、圆锥、圆台 C.三棱柱、四棱锥、圆锥、圆台 A.α ⊥β ,α ∩β =l,m⊥l C.α ⊥γ ,β ⊥γ , m⊥α

B.三棱台、三棱锥、圆锥、圆台 D.三棱柱、三棱台、圆锥、圆台 )

5、设 α ,β ,γ 为不同的平面,m,n,l 为不同的直线,则 m⊥β 的一个充分条件是 ( B.α ∩γ =m,α ⊥γ ,β ⊥γ D.n⊥α ,n⊥β , m⊥α

6、已知 ? 是第二象限角,其终边上一点 P(x, 5 ) ,且 cos? ?

? 2 x ,则 sin(? ? ) =( 2 4

)

A. ?

10 4

B. ?
2

6 4

C.

6 4

D.

10 4
)

7、若函数 f(x)=x +2x+alnx 在(0,1)上单调递减,则实数 a 的取值范围是( A.a≥0 C.a≥-4 B.a≤0
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D.a≤-4
2

8、A, B, C 是△ABC 的三个内角,且 tanA ,tanB 是方程 3x -5x+1=0 的两个实数根,则△ABC 是 ( A.钝角三角形 B.锐角三角形 C.等腰直角三角形 D.等边三角形

)

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9 . 已 知 数 列 {a n } 是 等 差 数 列 , 其 前 n 项 和 为 S n , 若 首 项 a1 ? 0 且 ? 1 ?

a6 ? 0 ,有下列四个命 a5

题: P1 : d ? 0 ; P2 : a1 ? a10 ? 0 ; P3 : 数列 {a n } 的前 5 项和最大; P4 : 使 S n ? 0 的最大 n 值为 10 ;其中 正确的命题个数为( ) A. 1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个

10.已知数列 ?an ? (n ? 1, 2,3,..., 2014) ,圆 C1 : x ? y 2 ? 4 x ? 4 y ? 0 ,
2

圆 C2 : x 2 ? y 2 ? 2an x ? 2a2015? n y ? 0 ,若圆 C2 平分圆 C1 的周长,则 ?an ? 的 所有项的和为( A. 4028
2

) C.2014 D.2013
2

B.4026

11.双曲线

垂直于 x 轴,则双曲线的离心率是 A. 2 2 ? 2 B. 2 2

x y ? 2 ? 1 的右焦点 F 与抛物线 y 2 ? 2 px ? p ? 0? 的焦点重合,且在第一象限的交点为 M,MF 2 a b
( C. 2 ? 1 ) D. 2 ? 2

12 .对任意实数 a , b 定义运算“ ? ” : a ?b ? ?

?b, a ? b ? 1 2 ,设 f ( x) ? ( x ? 1) ? (4 ? x) ,若函数 ? a, a ? b ? 1


y ? f ( x) ? k 的图象与 x 轴恰有三个不同交点,则 k 的取值范围是(
A. (?1, 2] B. [0,1] C. [?2, 0)

D. [?2,1)

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。)

? x ? y ?1 ? 13.已知 x 、 y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 ?2 x ? y ? 2 ?
14.已知向量 a 与 b 的夹角为 120°,| a |=3,| a + b |= 13 ,则| b |= 15.执行如图所示的程序框图,则输出的 S 的值是 π? ? 16.函数 f(x)=sin?2x- ?(x∈R)的图象为 C,以下结论正确的是________.(写出所有正确结论的编号) 3? ? 11π ① 图象 C 关于直线 x= 对称; 12 ②图象 C 关于点? .

?2π ,0?对称; ? ? 3 ?

? π 5π ? ③函数 f(x)在区间?- , ?内是增函数; ? 12 12 ?
π ④由 y=sin 2x 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象 C. 3 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
2 17. (本小题满分12分)已知数列 ?a n ?的各项均为正数,且满足a2=5, a n ?1 ? an ? 2nan ? 2, (n ? N * ) .

(1)推测 ?a n ?的通项公式(不需要证明); (2)若 bn=2 ,令 cn=an+bn,求数列 cn的前 n项和 Tn。 18、(本小题满分 12 分) 某兴趣小组欲研究昼夜温差大小与患感冒人数多少之间的关系,他们分别到气象局与某医院抄录了 1 至 6 月份每月 10 号的昼夜温差情况与因患感冒而就诊的人数,得到如下资料: 日 期 1 月 10 日 10 22 2 月 10 日 11 25 3 月 10 日 13 29 4 月 10 日 12 26 5 月 10 日 8 16 6 月 10 日 6 12
n-1

昼夜温差

x(°C)
就诊人数 y(个)

该兴趣小组确定的研究方案是:先从这六组数据中选取 2 组,用剩下的 4 组数据求线性回归方程,再用 被选取的 2 组数据进行检验. (1)求选取的 2 组数据恰好是相邻两个月的概率; (2)若选取的是 1 月与 6 月的两组数据,请根据 2 至 5 月份的数据,求出 y 关于 x 的线性回归方程

? ? ?a ?; y ? bx
(3)若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过 2 人,则认为得到的线性回 归方程是理想的,试问该小组所得线性回归方程是否理想?

?? (附: b

? ? xi ? x ?? yi ? y ? ? xi yi ? nx y
i ?1

n

n

?? x ? x ?
i ?1 i

n

?

2

i ?1 n

?x
i ?1


2

i

? nx

2

19、(本小题满分 12 分) 如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,PD⊥平面 ABCD,底面 ABCD 是菱形,∠BAD=60°, AB=2,PD= ,O 为 AC 与 BD 的交点,E 为棱 PB 上一点.

(Ⅰ)证明:平面 EAC⊥平面 PBD; (Ⅱ)若 PD∥平面 EAC,求三棱锥 P﹣EAD 的体积.
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20. (本题满分 13 分) 如图, 椭圆 C :

x2 y 2 ? ? 1 (a ? b ? 0) 的右焦点为 F , 右顶点、 上顶点分别为点 A 、 a 2 b2
y B x O F A

B ,且 | AB |?

5 | BF | . 2

(Ⅰ)求椭圆 C 的离心率; (Ⅱ)若斜率为 2 的直线 l 过点 (0, 2) ,且 l 交椭圆 C 于 P 、 Q 两点,

OP ? OQ .求直线 l 的方程及椭圆 C 的方程.

21.(本题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? e x ? x2 ? a , x ? R 的图像在点 x ? 0 处的切线为 y ? bx .( e ? 2.71828 ). (Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)当 x ? R 时,求证: f ( x) ? ? x2 ? x ; (Ⅲ)若 f ( x ) ? kx 对任意的 x ? (0, ? ?) 恒成立,求实数 k 的取值范围.

请考生在第 22,23,24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时请在答题卡上 填涂题号对应标记。 22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲如图, ?ABC 是直角三角形, ?ABC ? 90? ,以 AB 为 直径的圆 O 交 AC 于点 E ,点 D 是 BC 边的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M . (1)求证: O 、 B 、 D 、 E 四点共圆; (2)求证: 2 DE 2 ? DM ? AC ? DM ? AB A E O M B D C

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标系与参数方程

? 2 t ?x ? 3 ? ? 2 在直角坐标系 xOy 中,直线 L 的参数方程为 ? (t 为参数) ,在极坐标系(与直角坐标系 xOy ?y ? 5 ? 2 t ? 2 ?
取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 ? ? 2 5 sin ? . (Ⅰ)求圆 C 的圆心到直线 L 的距离; (Ⅱ)设圆 C 与直线 L 交于点 A、B.若点 P 的坐标为(3, 5 ) ,求|PA|+|PB|.

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? 2x ? 1 ? 2x ? 3 (1)求不等式 f ( x) ? 6 的解集; (2)若关于 x 的不等式 f ( x) ? a ? 1 的解集非空,求实数 a 的取值范围.

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五模文科数学答案 一、选择题 1-5 CDACD 6-10 BDACA 11-12 CD

二、填空题: 13.10 14. 4 15. 300 16. ???

三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17.(1) an =2 n +1 (2)
18、解:(Ⅰ) P(A) ?

5 1 ? ??(6 分) 15 3 18 30 x? 7 7
??? (10 分)

(Ⅱ)由数据求得 x ? 11, y ? 24 线性回归方程为 ? y? (Ⅲ)当 x ? 10 时, ? y?

150 150 78 78 , | , | ? 22 |? 2 ;同样, 当 x ? 6 时, ? y? ? 14 |? 2 7 7 7 7

所以,该小组所得线性回归方程是理想的. ??????????????(12 分) 19、【解】: (Ⅰ)证明:∵PD⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD, ∴AC⊥PD.∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD, 又∵PD∩BD=D,AC⊥平面 PBD. 而 AC? 平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBD. (Ⅱ)∵PD∥平面 EAC,平面 EAC∩平面 PBD=OE,∴PD∥OE, ∵O 是 BD 中点,∴E 是 PB 中点. 取 AD 中点 H,连结 BH,∵四边形 ABCD 是菱形,∠BAD=60°, ∴BH⊥AD,又 BH⊥PD,AD∩PD=D,∴BD⊥平面 PAD,
∴ = =




20.(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由已知 | AB |? 即 a2 ? b2 ?
5 | BF | , 2

5 a , 4a 2 ? 4b 2 ? 5a 2 , 2 c 3 ? . a 2

4a2 ? 4(a2 ? c2 ) ? 5a2 ,∴ e ?

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a 2 ? 4b2 ,∴ 椭圆 C : 设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,

x2 y2 ? ? 1. 4b 2 b 2

直线 l 的方程为 y ? 2 ? 2( x ? 0) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 .
?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ? x 2 ? 4(2 x ? 2) 2 ? 4b2 ? 0 , 由 ? x2 y 2 ? 2 ? 2 ?1 b ? 4b

即 17 x 2 ? 32 x ? 16 ? 4b2 ? 0 .
? ? 322 ? 16 ? 17(b 2 ? 4) ? 0 ? b ? 2 17 32 16 ? 4b 2 . x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 17 17 17

∵ OP ? OQ ,∴ OP ? OQ ? 0 , 即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , x1 x2 ? (2 x1 ? 2)(2x2 ? 2) ? 0 , 5x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 . 从而
5(16 ? 4b2 ) 128 ? ? 4 ? 0 ,解得 b ? 1 , 17 17

??? ? ????

∴ 椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

21.(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ? ex ? x2 ? a , f ?( x) ? e x ? 2 x . 由已知 ?
? f (0) ? 1 ? a ? 0 ?a ? ?1 , f ( x) ? e x ? x 2 ? 1 . ?? ? f (0) ? 1 ? b b ? 1 ? ?

(Ⅱ)令 ? ( x) ? f ( x) ? x2 ? x ? e x ? x ? 1 , ? ?( x) ? e x ? 1 ,由 ? ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 , 当 x ? (??, 0) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 单调递减; 当 x ? (0, ? ?) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 单调递增. ∴ ? ( x)min ? ? (0) ? 0 ,从而 f ( x) ? ? x2 ? x . (Ⅲ) f ( x) ? kx 对任意的 x ? (0, ? ?) 恒成立 ? 令 g ( x) ?
f ( x) ? k 对任意的 x ? (0, ? ?) 恒成立, x

f ( x) , x ? 0, x xf ?( x) ? f ( x) x(e x ? 2 x) ? (e x ? x 2 ? 1) ( x ? 1)(e x ? x ? 1) ? ? ∴ g ?( x) ? . x2 x2 x2

由(Ⅱ)可知当 x ? (0, ? ?) 时, e x ? x ? 1 ? 0 恒成立, 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ; g ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 .
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∴ g ( x) 的增区间为 (1, ? ?) ,减区间为 (0, 1) . g ( x)min ? g (1) ? 0 . ∴ k ? g ( x)min ? g (1) ? 0 ,∴ 实数 k 的取值范围为 (??, 0) .

22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, ?ABC 是直角三角形, ?ABC ? 90? , 以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E ,点 D 是 BC 边 的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M . (1)求证: O 、 B 、 D 、 E 四点共圆; (2)求证: 2 DE 2 ? DM ? AC ? DM ? AB 证明: (1)连接 BE 、 OE ,则 BE ? EC 又 D 是 BC 的中点,所以 DE ? BD 所以 ?ODE ? ?ODB 又 OE ? OB , OD ? OD O

A E

M B D C

所以 ?OED ? ?OBD ? 90? 。 。 。 。 。 。5 分

所以 O 、 B 、 D 、 E 四点共圆

(2)延长 DO 交圆 O 于点 H . 因为 DE ? DM ? DH ? DM ? ( DO ? OH ) ? DM ? DO ? DM ? OH .。 。 。 。 。 。 。7 分
2

1 1 DE 2 ? DM ? ( AC ) ? DM ? ( AB) 2 2 2 所以 所以 2 DE ? DM ? AC ? DM ? AB 。 。10 分
23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,直线 L 的参数方程为

(t 为参数) ,在极坐标系(与直角坐标系 xOy .

取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 (Ⅰ)求圆 C 的圆心到直线 L 的距离; (Ⅱ)设圆 C 与直线 L 交于点 A、B.若点 P 的坐标为(3, (Ⅰ)由 ,可得 ) ,求|PA|+|PB|. .由

,即圆 C 的方程为

可得直线 l 的方程为



所以,圆 C 的圆心到直线 l 的距离为



5分

(Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 .由于△=

,即

.故可设 t1 、 t2 是上述方程的两个实根,所以

,又直线 l 过点 故由上式及 t 的几何意义得 24.已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 | . (1)求不等式 f ( x) ? 6 的解集;

, . 10 分

(2)若关于 x 的不等式 f ( x ) ?| a ? 1 | 的解集非空,求实数 a 的取值范围.

五模文科数学答案 三、选择题 1-5 CDACD 6-10 BDACA 11-12 CD

四、填空题: 13.10 14. 4 15. 300 16. ???

四、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

17.(1) an =2 n +1 (2)
18、解:(Ⅰ) P(A) ?

5 1 ? ??(6 分) 15 3

(Ⅱ)由数据求得 x ? 11, y ? 24 线性回归方程为 ? y? (Ⅲ)当 x ? 10 时, ? y?

18 30 x? 7 7

??? (10 分)

150 150 78 78 , | , | ? 22 |? 2 ;同样, 当 x ? 6 时, ? y? ? 14 |? 2 7 7 7 7

所以,该小组所得线性回归方程是理想的. ??????????????(12 分) 19、【解】: (Ⅰ)证明:∵PD⊥平面 ABCD,AC? 平面 ABCD, ∴AC⊥PD.∵四边形 ABCD 是菱形,∴AC⊥BD, 又∵PD∩BD=D,AC⊥平面 PBD. 而 AC? 平面 EAC,∴平面 EAC⊥平面 PBD. (Ⅱ)∵PD∥平面 EAC,平面 EAC∩平面 PBD=OE,∴PD∥OE, ∵O 是 BD 中点,∴E 是 PB 中点. 取 AD 中点 H,连结 BH,∵四边形 ABCD 是菱形,∠BAD=60°, ∴BH⊥AD,又 BH⊥PD,AD∩PD=D,∴BD⊥平面 PAD,
∴ = =




20.(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由已知 | AB |? 即 a2 ? b2 ?
5 | BF | , 2

5 a , 4a 2 ? 4b 2 ? 5a 2 , 2

4a2 ? 4(a2 ? c2 ) ? 5a2 ,∴ e ?

c 3 ? . a 2

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 a 2 ? 4b2 ,∴ 椭圆 C : 设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,

x2 y2 ? ? 1. 4b 2 b 2

直线 l 的方程为 y ? 2 ? 2( x ? 0) ,即 2 x ? y ? 2 ? 0 .
?2 x ? y ? 2 ? 0 ? ? x 2 ? 4(2 x ? 2) 2 ? 4b2 ? 0 , 由 ? x2 y 2 ? ? 1 ? 2 b2 ? 4b

即 17 x 2 ? 32 x ? 16 ? 4b2 ? 0 .
? ? 322 ? 16 ? 17(b 2 ? 4) ? 0 ? b ? 2 17 32 16 ? 4b 2 . x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? . 17 17 17

∵ OP ? OQ ,∴ OP ? OQ ? 0 ,

??? ? ????

即 x1 x2 ? y1 y2 ? 0 , x1 x2 ? (2 x1 ? 2)(2x2 ? 2) ? 0 , 5x1 x2 ? 4( x1 ? x2 ) ? 4 ? 0 . 从而
5(16 ? 4b2 ) 128 ? ? 4 ? 0 ,解得 b ? 1 , 17 17

∴ 椭圆 C 的方程为

x2 ? y 2 ? 1. 4

21.(本题满分 12 分) 解:(Ⅰ) f ( x) ? ex ? x2 ? a , f ?( x) ? e x ? 2 x . 由已知 ?
? f (0) ? 1 ? a ? 0 ?a ? ?1 , f ( x) ? e x ? x 2 ? 1 . ?? ? f (0) ? 1 ? b b ? 1 ? ?

(Ⅱ)令 ? ( x) ? f ( x) ? x2 ? x ? e x ? x ? 1 , ? ?( x) ? e x ? 1 ,由 ? ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 , 当 x ? (??, 0) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 单调递减; 当 x ? (0, ? ?) 时, ? ?( x) ? 0 , ? ( x) 单调递增. ∴ ? ( x)min ? ? (0) ? 0 ,从而 f ( x) ? ? x2 ? x . (Ⅲ) f ( x) ? kx 对任意的 x ? (0, ? ?) 恒成立 ? 令 g ( x) ?
f ( x) ? k 对任意的 x ? (0, ? ?) 恒成立, x

f ( x) , x ? 0, x xf ?( x) ? f ( x) x(e x ? 2 x) ? (e x ? x 2 ? 1) ( x ? 1)(e x ? x ? 1) ? ? ∴ g ?( x) ? . x2 x2 x2

由(Ⅱ)可知当 x ? (0, ? ?) 时, e x ? x ? 1 ? 0 恒成立, 令 g ?( x) ? 0 ,得 x ? 1 ; g ?( x) ? 0 ,得 0 ? x ? 1 . ∴ g ( x) 的增区间为 (1, ? ?) ,减区间为 (0, 1) . g ( x)min ? g (1) ? 0 . ∴ k ? g ( x)min ? g (1) ? 0 ,∴ 实数 k 的取值范围为 (??, 0) .
22.(本题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图, ?ABC 是直角三角形, ?ABC ? 90? , 以 AB 为直径的圆 O 交 AC 于点 E ,点 D 是 BC 边 的中点,连接 OD 交圆 O 于点 M . (1)求证: O 、 B 、 D 、 E 四点共圆; (2)求证: 2 DE 2 ? DM ? AC ? DM ? AB 证明: (1)连接 BE 、 OE ,则 BE ? EC 又 D 是 BC 的中点,所以 DE ? BD 又 OE ? OB , OD ? OD B O M D C

A E

所以 ?ODE ? ?ODB

所以 ?OED ? ?OBD ? 90? 。 。 。 。 。 。5 分

所以 O 、 B 、 D 、 E 四点共圆

(2)延长 DO 交圆 O 于点 H . 因为 DE ? DM ? DH ? DM ? ( DO ? OH ) ? DM ? DO ? DM ? OH .。 。 。 。 。 。 。7 分
2

1 1 DE 2 ? DM ? ( AC ) ? DM ? ( AB) 2 2 2 所以 所以 2 DE ? DM ? AC ? DM ? AB 。 。10 分
23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系 xOy 中,直线 L 的参数方程为

(t 为参数) ,在极坐标系(与直角坐标系 xOy .

取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴)中,圆 C 的方程为 (Ⅰ)求圆 C 的圆心到直线 L 的距离; (Ⅱ)设圆 C 与直线 L 交于点 A、B.若点 P 的坐标为(3, (Ⅰ)由 ,可得 ) ,求|PA|+|PB|. .由

,即圆 C 的方程为

可得直线 l 的方程为



所以,圆 C 的圆心到直线 l 的距离为



5分

(Ⅱ)将 l 的参数方程代入圆 C 的直角坐标方程,得 .由于△=

,即

.故可设 t1 、 t2 是上述方程的两个实根,所以

,又直线 l 过点 故由上式及 t 的几何意义得 24.已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? 3 | . (1)求不等式 f ( x) ? 6 的解集;

, . 10 分

(2)若关于 x 的不等式 f ( x ) ?| a ? 1 | 的解集非空,求实数 a 的取值范围.


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