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2013四川高考数学(理科)答案及解析


2013 年普通高等学校招生全国统一考试数学
理工农医类(四川卷) 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的. 2 1.(2013 四川,理 1)设集合 A={x|x+2=0},集合 B={x|x -4=0},则 A∩B=( ). A.{-2} B.{2} C.{-2,2} D. ? 2.(2013 四川,理 2)如图,在复平面内,点 A 表示复数 z,则图中表示 z 的共轭复数 的点是( ). A.A B.B C.C D.D 3.(2013 四川,理 3)一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的直观图可以是( ).

4.(2013 四川,理 4)设 x∈Z,集合 A 是奇数集,集合 B 是偶数集.若命题 p: ? x∈A,2x ∈B,则( ). A. ? p: ? x∈A,2x ? B C. ? p: ? x ? A,2x∈B B. ? p: ? x ? A,2x ? B D. ? p: ? x∈A,2x ? B

5. (2013 四川, 理 5)函数 f(x)=2sin(ω x+φ ) ? ? ? 0, ? 则 ω ,φ 的值分别是( ).

? ?

π π? ? ? ? ? 的部分图象如图所示, 2 2?

π A.2, 3 π ? B.2, 6 π ? C.4, 6 π D.4, 3 ?
6.(2013 四川,理 6)抛物线 y =4x 的焦点到双曲线 x -
2 2

y2 =1 的渐近线的距离是( 3

).

1 A. 2

3 B. 2

C.1

D. 3

1

7.(2013 四川,理 7)函数 y ?

x3 的图象大致是( 3x ? 1

).

8.(2013 四川,理 8)从 1,3,5,7,9 这五个数中,每次取出两个不同的数分别记为 a,b,共 可得到 lg a-lg b 的不同值的个数是( ). A.9 B.10 C.18 D.20 9.(2013 四川,理 9)节日前夕,小李在家门前的树上挂了两串彩灯.这两串彩灯的第一次 闪亮相互独立, 且都在通电后的 4 秒内任一时刻等可能发生, 然后每串彩灯以 4 秒为间 隔闪亮. 那么这两串彩灯同时通电后, 它们第一次闪亮的时刻相差不超过 2 秒的概率是 ( ).

1 A. 4

1 B. 2

3 C. 4

7 D. 8

10.(2013 四川,理 10)设函数 f(x)= ex ? x ? a (a∈R,e 为自然对数的底数),若曲线 y =sin x 上存在点(x0,y0)使得 f(f(y0))=y0,则 a 的取值范围是( ). A.[1,e] B.[e-1-1,1] C.[1,e+1] D.[e-1-1,e+1] 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 5 2 3 11.(2013 四川,理 11)二项式(x+y) 的展开式中,含 x y 的项的系数是__________.(用 数字作答)

AB + AD =λ AO , 12. (2013 四川, 理 12)在平行四边形 ABCD 中, 对角线 AC 与 BD 交于点 O, 则 λ =__________.
13. (2013 四川, 理 13)设 sin 2α =-sin α , α ∈?

?π ? , π ? ,则 tan 2α 的值是__________. ?2 ?
2

14.(2013 四川,理 14)已知 f(x)是定义域为 R 的偶函数, 当 x≥0 时,f(x)=x -4x, 那么, 不等式 f(x+2)<5 的解集是__________. 15.(2013 四川,理 15)设 P1,P2,?,Pn 为平面 α 内的 n 个点,在平面 α 内的所有点中, 若点 P 到点 P1,P2,?,Pn 的距离之和最小,则称点 P 为点 P1,P2,?,Pn 的一个“中 位点”,例如,线段 AB 上的任意点都是端点 A,B 的中位点,现有下列命题: ①若三个点 A,B,C 共线,C 在线段 AB 上,则 C 是 A,B,C 的中位点; ②直角三角形斜边的中点是该直角三角形三个顶点的中位点; ③若四个点 A,B,C,D 共线,则它们的中位点存在且唯一; ④梯形对角线的交点是该梯形四个顶点的唯一中位点. 其中的真命题是__________.(写出所有真命题的序号) 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.(2013 四川,理 16)(本小题满分 12 分)在等差数列{an}中,a1+a3=8,且 a4 为 a2 和 a9 的等比中项,求数列{an}的首项、公差及前 n 项和.

2

17.(2013 四川,理 17)(本小题满分 12 分)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c, 且 2 cos
2

A? B 3 cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)= ? , 2 5

(1)求 cos A 的值; (2)若 a ? 4 2 ,b=5,求向量 BA 在 BC 方向上的投影.

18.(2013 四川,理 18)(本小题满分 12 分)某算法的程序框图如图所示,其中输入的变量 x 在 1,2,3,?,24 这 24 个整数中等可能随机产生.

(1)分别求出按程序框图正确编程运行时输出 y 的值为 i 的概率 Pi(i=1,2,3); (2)甲、乙两同学依据自己对程序框图的理解,各自编写程序重复运行 n 次后,统计记录了 输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频数,以下是甲、乙所作频数统计表的部分数据. 甲的频数统计表(部分) 运行 输出 y 的值 输出 y 的值 输出 y 的值 次数 n 为 1 的频数 为 2 的频数 为 3 的频数 30 14 6 10 ? ? ? ? 2 100 1 027 376 697
3

乙的频数统计表(部分) 运行 输出 y 的值 输出 y 的值 输出 y 的值 次数 n 为 1 的频数 为 2 的频数 为 3 的频数 30 12 11 7 ? ? ? ? 2 100 1 051 696 353 当 n=2 100 时,根据表中的数据,分别写出甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1,2,3) 的频率(用分数表示),并判断两位同学中哪一位所编程序符合算法要求的可能性较大; (3)将按程序框图正确编写的程序运行 3 次, 求输出 y 的值为 2 的次数 ξ 的分布列及数学期 望.

4

19.(2013 四川,理 19)(本小题满分 12 分)如图,在三棱柱 ABC-A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,D,D1 分别是线段 BC,B1C1 的中点,P 是线段 AD 的 中点. (1)在平面 ABC 内,试作出过点 P 与平面 A1BC 平行的直线 l,说明理由,并证明直线 l⊥平 面 ADD1A1; (2)设(1)中的直线 l 交 AB 于点 M,交 AC 于点 N,求二面角 A-A1M-N 的余弦值.

5

x2 y 2 ? ? 1 (a>b>0)的两个 a 2 b2 ? 4 1? 焦点分别为 F1(-1,0),F2(1,0),且椭圆 C 经过点 P ? , ? . ? 3 3?
20.(2013 四川,理 20)(本小题满分 13 分)已知椭圆 C: (1)求椭圆 C 的离心率; (2)设过点 A(0,2)的直线 l 与椭圆 C 交于 M,N 两点,点 Q 是线段 MN 上的点,且

2 1 1 ,求点 Q 的轨迹方程. ? ? 2 2 | AQ | | AM | | AN |2

6

21. (2013 四川, 理 21)(本小题满分 14 分)已知函数 f(x)= ?

? x 2 ? 2 x ? a, x ? 0, ?lnx, x ? 0,

其中 a 是实

数.设 A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2))为该函数图象上的两点,且 x1<x2. (1)指出函数 f(x)的单调区间; (2)若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线互相垂直,且 x2<0,求 x2-x1 的最小值; (3)若函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线重合,求 a 的取值范围.

7

2013 年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学理工农医类 (四川卷) 第Ⅰ卷(选择题 共 50 分) 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一个是符合题目要求的. 1. 答案:A 解析:由题意可得,A={-2},B={-2,2}, ∴A∩B={-2}.故选 A. 2. 答案:B 解析:复数 z 表示的点与其共轭复数表示的点关于实轴对称. 3. 答案:D 解析:由三视图可知该几何体为一个上部为圆台、下部为圆柱的组合体,故选 D. 4. 答案:D 5. 答案:A

3T 5π ? π ? 3π , ? ??? ? ? 4 12 ? 3 ? 4 2π ? 5π ? ? 5π ? ∴T=π , 则ω= =2, 再将点 ? , 2 ? 代入 f(x)=2sin(2x+φ )中得, sin ? ? ? ? ? 1 , π ? 12 ? ? 6 ? 5π π 令 +φ =2kπ + ,k∈Z, 6 2 π 解得,φ =2kπ - ,k∈Z, 3 ? π π? 又∵φ ∈ ? ? , ? ,则取 k=0, ? 2 2? π ∴φ = ? .故选 A. 3
解析:由图象可得, 6. 答案:B 解析:由题意可得,抛物线的焦点为(1,0),双曲线的渐近线方程为 y ? ? 3x ,即 ? 3 x -y=0,由点到直线的距离公式可得抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离

d?

| ? 3 ?0| 3 . ? 2 2

7. 答案:C 解析:由函数解析式可得,该函数定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),故排除 A;取 x=-1,

y=

3 ?1 x 3 = >0,故再排除 B;当 x→+∞时,3 -1 远远大于 x 的值且都为正,故 1 2 ?1 3

x3 →0 且大于 0,故排除 D,选 C. 3x ? 1
8. 答案:C
8

解析:记基本事件为(a,b),则基本事件空间 Ω ={(1,3),(1,5),(1,7),(1,9),(3,1), (3,5),(3,7),(3,9),(5,1),(5,3),(5,7),(5,9),(7,1),(7,3),(7,5),(7,9), (9,1),(9,3),(9,5),(9,7)}共有 20 个基本事件,而 lg a-lg b= lg 事件(1,3), (3,9)和(3,1), (9,3)使 lg 故选 C. 9. 答案:C 解析:设两串彩灯第一次闪亮的时刻分别为 x,y,则由题意可得,0≤x≤4,0≤y≤4;而所 求事件“两串彩灯同时通电后,第一次闪亮相差不超过 2 秒”={(x,y)||x-y|≤2}, 由图示得,该事件概率 P ?

a ,其中基本 b

a 的值相等, 则不同值的个数为 20-2=18(个), b

S阴影 16 ? 4 3 ? ? . S正方形 16 4

10. 答案:A 解析:由题意可得,y0=sin x0∈[-1,1], 而由 f(x)= ex ? x ? a 可知 y0∈[0,1], 当 a=0 时,f(x)= ex ? x 为增函数, ∴y0∈[0,1]时,f(y0)∈[1, e ? 1 ]. ∴f(f(y0))≥ e ? 1 >1. ∴不存在 y0∈[0,1]使 f(f(y0))=y0 成立,故 B,D 错; 当 a=e+1 时,f(x)= ex ? x ? e ?1 ,当 y0∈[0,1]时,只有 y0=1 时 f(x)才有意义,而 f(1)=0, ∴f(f(1))=f(0),显然无意义,故 C 错.故选 A. 第Ⅱ卷(非选择题 共 100 分) 注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目所指示的答题区域内作答. 作图题可先用 铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚,答在试题卷上无效. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11.答案:10
2 解析:由二项式展开系数可得,x y 的系数为 C3 5 = C5 =10.
2 3

12.答案:2 解析:如图所示,在平行四边形 ABCD 中, AB + AD = AC =2 AO ,

9

∴λ =2. 13.答案: 3 解析:∵sin 2α =-sin α , ∴2sin α cos α =-sin α .

1 ?π ? , π ? ,∴cos α = ? . 2 ?2 ? 3 2 ∴sin α = 1 ? cos ? ? . 2 1 3 2 ∴sin 2α = ? ,cos 2α =2cos α -1= ? . 2 2 sin2? ∴tan 2α = = 3. cos2?
又∵α ∈ ? 14.答案:(-7,3) 2 解析:当 x≥0 时,令 x -4x<5,解得,0≤x<5. 又因为 f(x)为定义域为 R 的偶函数,则不等式 f(x+2)<5 等价于-5<x+2<5,即-7<x <3;故解集为(-7,3). 15. 答案:①④ 解析:由“中位点”可知,若 C 在线段 AB 上,则线段 AB 上任一点都为“中位点”,C 也不 例外,故①正确;

对于②假设在等腰 Rt△ABC 中,∠ACB=90°,如图所示,点 P 为斜边 AB 中点,设腰长为 2, 则|PA|+|PB|+|PC|=

3 |AB|= 3 2 , 而若 C 为“中位点”, 则|CB|+|CA|=4< 3 2 , 2

故②错; 对于③,若 B,C 三等分 AD,若设|AB|=|BC|=|CD|=1,则|BA|+|BC|+|BD|=4=|CA|+ |CB|+|CD|,故③错; 对于④,在梯形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 的交点为 O,在梯形 ABCD 内任取不同于点 O 的一 点 M,则在△MAC 中,|MA|+|MC|>|AC|=|OA|+|OC|,

同理在△MBD 中,|MB|+|MD|>|BD|=|OB|+|OD|, 则得,
10

|MA|+|MB|+|MC|+|MD|>|OA|+|OB|+|OC|+|OD|, 故 O 为梯形内唯一中位点是正确的. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 16.解:设该数列公差为 d,前 n 项和为 Sn. 2 由已知,可得 2a1+2d=8,(a1+3d) =(a1+d)(a1+8d). 所以,a1+d=4,d(d-3a1)=0,解得 a1=4,d=0,或 a1=1,d=3,即数列{an}的首项为 4,公差为 0,或首项为 1,公差为 3.

3n2 ? n 所以,数列的前 n 项和 Sn=4n 或 Sn= . 2
17.

A? B 3 cos B-sin(A-B)sin B+cos(A+C)= ? ,得[cos(A-B)+1]cos 2 5 3 B-sin(A-B)sin B-cos B= ? , 5 3 即 cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B= ? . 5 3 3 则 cos(A-B+B)= ? ,即 cos A= ? . 5 5 3 4 (2)由 cos A= ? ,0<A<π ,得 sin A= , 5 5 a b ? 由正弦定理,有 , sinA sinB bsinA 2 所以,sin B= . ? a 2 π 由题知 a>b,则 A>B,故 B ? . 4 ? 3? 2 2 根据余弦定理,有 (4 2)2 =5 +c -2×5c× ? ? ? ,解得 c=1 或 c=-7(舍去). ? 5? 2 故向量 BA 在 BC 方向上的投影为| BA |cos B= . 2
解:(1)由 2 cos
2

18. 解:(1)变量 x 是在 1,2,3,?,24 这 24 个整数中随机产生的一个数,共有 24 种可能. 当 x 从 1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23 这 12 个数中产生时, 输出 y 的值为 1, 故 P1= 当 x 从 2,4,8,10,14,16,20,22 这 8 个数中产生时,输出 y 的值为 2,故 P2= 当 x 从 6,12,18,24 这 4 个数中产生时,输出 y 的值为 3,故 P3= 所以,输出 y 的值为 1 的概率为 为

1 ; 2

1 ; 3

1 . 6

1 1 ,输出 y 的值为 2 的概率为 ,输出 y 的值为 3 的概率 2 3

1 . 6

(2)当 n=2 100 时,甲、乙所编程序各自输出 y 的值为 i(i=1,2,3)的频率如下: 输出 y 的值 输出 y 的值 输出 y 的值 为 1 的频率 为 2 的频率 为 3 的频率
11

甲 乙

1027 2100 1051 2100

376 2100 696 2100

697 2100 353 2100

比较频率趋势与概率,可得乙同学所编程序符合算法要求的可能性较大. (3)随机变量 ξ 可能的取值为 0,1,2,3.

8 ?1? ? 2? P(ξ =0)= C ? ? ? ? ? ? ? , ? 3 ? ? 3 ? 27
0 3

0

3

P(ξ =1)= C1 3 ?? ? ?? ? ?
2 P(ξ =2)= C3 ?? ? ?? ? ?

?1? ? 3?

1

?2? ?3?

2

4 , 9 2 , 9

?1? ? 3?

2

? 2? ?3?

1

1 ?1? ? 2? P(ξ =3)= C ? ? ? ? ? ? ? , ? 3 ? ? 3 ? 27
3 3

3

0

故 ξ 的分布列为 ξ 0 1 2 3

8 4 2 27 9 9 8 4 2 1 所以,Eξ =0× +1× +2× +3× =1. 27 9 9 27
P
即 ξ 的数学期望为 1. 19. 解:(1)如图,在平面 ABC 内,过点 P 作直线 l∥BC,

1 27

因为 l 在平面 A1BC 外, BC 在平面 A1BC 内, 由直线与平面平行的判定定理可知, l∥平面 A1BC. 由已知,AB=AC,D 是 BC 的中点, 所以,BC⊥AD,则直线 l⊥AD. 因为 AA1⊥平面 ABC, 所以 AA1⊥直线 l. 又因为 AD,AA1 在平面 ADD1A1 内,且 AD 与 AA1 相交, 所以直线 l⊥平面 ADD1A1. (2)解法一: 连接 A1P,过 A 作 AE⊥A1P 于 E,过 E 作 EF⊥A1M 于 F,连接 AF. 由(1)知,MN⊥平面 AEA1, 所以平面 AEA1⊥平面 A1MN. 所以 AE⊥平面 A1MN,则 A1M⊥AE. 所以 A1M⊥平面 AEF,则 A1M⊥AF. 故∠AFE 为二面角 A-A1M-N 的平面角(设为 θ ). 设 AA1=1,则由 AB=AC=2AA1,∠BAC=120°,有∠BAD=60°,AB=2,AD=1.
12

又 P 为 AD 的中点,

1 ,AM=1, 2 5 所以,在 Rt△AA1P 中,A1P= ;在 Rt△A1AM 中,A1M= 2 . 2 AA1 ? AP 1 从而 AE ? , ? A1P 5 AA ? AM 1 . AF ? 1 ? A1M 2
所以 M 为 AB 中点,且 AP= 所以 sin θ =

AE 2 . ? AF 5
2 2

? 2? 15 所以 cos θ = 1 ? sin ? ? 1 ? ? . ? ? ? 5? 5 ? ?
故二面角 A-A1M-N 的余弦值为

15 . 5

解法二:设 A1A=1.如图,过 A1 作 A1E 平行于 B1C1,以 A1 为坐标原点,分别以 A 1E , A 1D 1,

y 轴, z 轴的正方向, 建立空间直角坐标系 Oxyz(点 O 与点 A1 重合). A1 A 的方向为 x 轴,
则 A1(0,0,0),A(0,0,1). 因为 P 为 AD 的中点, 所以 M,N 分别为 AB,AC 的中点.

? 3 1 ? ? 3 1 ? , ,1 ,N ? ? ? ? 2 2 ? ? 2 , 2 ,1 ? ?. ? ? ? ? ? 3 1 ? 所以 A1M = ? ? 2 , 2 ,1? ? , A1 A =(0,0,1), NM =( 3 ,0,0). ? ?
故 M? 设平面 AA1M 的一个法向量为 n1=(x1,y1,z1), 则?

?n1 ? A1M , ?

? ? ?n1 ? A1 A, ?n1 ? A1 A ? 0, ? ? 3 1 ? ?? x1 , y1 , z1 ?? ? ? 2 , 2 ,1? ? ? 0, 故有 ? ? ? ? ?? x1 , y1 , z1 ??? 0, 0,1? ? 0,

即?

?n1 ? A1M ? 0, ?

? 3 1 x ? y ? z1 ? 0, ? 从而 ? 2 1 2 1 ? z ? 0. ?1 取 x1=1,则 y1= ? 3 , 所以 n1=(1, ? 3 ,0).
设平面 A1MN 的一个法向量为 n2=(x2,y2,z2),

13

则?

? ?n2 ? A1M ,

? ?n2 ? NM , ? ? 3 1 ? ?? x2 , y2 , z2 ?? ? ? 2 , 2 ,1? ? ? 0, 故有 ? ? ? ? ?? x2 , y2 , z2 ??? 3, 0, 0? ? 0, ? 3 1 x2 ? y2 ? z2 ? 0, ? 从而 ? 2 2 ? 3 x ? 0. ? 2
取 y2=2,则 z2=-1,所以 n2=(0,2,-1). 设二面角 A-A1M-N 的平面角为 θ , 又 θ 为锐角, 则 cos θ =

即?

? ? n2 ? A1M ? 0, ? ? n2 ? NM ? 0,

n1 ? n2 | n1 | ? | n2 |



?1, ? 3, 0 ? ?? 0, 2, ?1? 15 ? . 5 2? 5

故二面角 A-A1M-N 的余弦值为 20. 解:(1)由椭圆定义知,

15 . 5

? 4 ? ?1? ? 4 ? ?1? 2a=|PF1|+|PF2|= ? ? 1? ? ? ? ? ? ? 1? ? ? ? ? 2 2 , ? 3 ? ?3? ? 3 ? ?3?
所以 a ? 2 . 又由已知,c=1.

2

2

2

2

c 1 2 . ? ? a 2 2 x2 2 (2)由(1)知,椭圆 C 的方程为 +y =1. 2
所以椭圆 C 的离心率 e ? 设点 Q 的坐标为(x,y). (1)当直线 l 与 x 轴垂直时,直线 l 与椭圆 C 交于(0,1),(0,-1)两点,此时点 Q 的坐标为

? 3 5? ? ? 0, 2 ? 5 ? ?. ? ?
(2)当直线 l 与 x 轴不垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+2. 因为 M,N 在直线 l 上,可设点 M,N 的坐标分别为(x1,kx1+2),(x2,kx2+2), 2 2 2 2 2 2 则|AM| =(1+k )x1 ,|AN| =(1+k )x2 . 2 2 2 2 2 又|AQ| =x +(y-2) =(1+k )x . 由

2 1 1 ? ? ,得 2 2 | AQ | | AM | | AN |2 2 1 1 , ? ? 2 2 2 2 ?1 ? k ? x ?1 ? k ? x1 ?1 ? k 2 ? x2 2

14



2 1 1 ? x1 ? x2 ?2 ? 2 x1 x2 .① ? ? ? x 2 x12 x2 2 x12 x2 2
x2 2 +y =1 中,得 2
2 2

将 y=kx+2 代入
2 2

(2k +1)x +8kx+6=0.② 由 Δ =(8k) -4×(2k +1)×6>0,得 k > 由②可知,x1+x2=
2

?8k 6 ,x1x2= 2 , 2 2k ? 1 2k ? 1 18 2 代入①中并化简,得 x ? .③ 10k 2 ? 3
因为点 Q 在直线 y=kx+2 上, 所以 k ?

3 . 2

y?2 2 2 ,代入③中并化简,得 10(y-2) -3x =18. x ? 3 3 6 ? ? 6? 2 2 , 0 由③及 k > ,可知 0<x < ,即 x∈ ? ? ∪ ? 0, ? ? 2 ? ? 2 ? ?. 2 2 ? ? ? ? ? 3 5? 2 2 又 ? 0, 2 ? 满足 10(y-2) -3x =18, ? ? ? 5 ? ? ? 6 6? 故 x∈ ? ? ? 2 , 2 ? ?. ? ?
由题意,Q(x,y)在椭圆 C 内, 所以-1≤y≤1. 又由 10(y-2) =18+3x 有(y-2) ∈ ? , 则 y∈ ?
2 2 2

?9 9 ? ? 且-1≤y≤1, ?5 4 ?

?1 3 5? , 2 ? ?. ?2 5 ? ?
2 2

所以,点 Q 的轨迹方程为 10(y-2) -3x =18,其中 x∈ ? ?

? ? ?

?1 6 6? 3 5? , ,y∈ ? , 2 ? ? ?. ?2 2 2 ? 5 ? ? ?

21. 解:(1)函数 f(x)的单调递减区间为(-∞,-1),单调递增区间为[-1,0),(0,+∞). (2)由导数的几何意义可知,点 A 处的切线斜率为 f′(x1),点 B 处的切线斜率为 f′(x2), 故当点 A 处的切线与点 B 处的切线垂直时,有 f′(x1)f′(x2)=-1. 当 x<0 时,对函数 f(x)求导,得 f′(x)=2x+2. 因为 x1<x2<0, 所以,(2x1+2)(2x2+2)=-1. 所以 2x1+2<0,2x2+2>0. 因此 x2-x1=

1 [-(2x1+2)+2x2+2]≥ [?? 2 x1 ? 2?]? 2 x2 ? 2? =1,当且仅当-(2x1+2) 2 3 1 =2x2+2=1,即 x1 ? ? 且 x2 ? ? 时等号成立. 2 2

所以,函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线互相垂直时,x2-x1 的最小值为 1. (3)当 x1<x2<0 或 x2>x1>0 时,f′(x1)≠f′(x2),故 x1<0<x2. 当 x1<0 时, 函数 f(x)的图象在点(x1, f(x1))处的切线方程为 y-(x12+2x1+a)=(2x1+2)(x
15

-x1),即 y=(2x1+2)x-x1 +a. 当 x2>0 时,函数 f(x)的图象在点(x2,f(x2))处的切线方程为 y-ln x2= =

2

1 (x-x2),即 y x2

1 ·x+ln x2-1. x2

两切线重合的充要条件是

?1 ? 2 ? 2 x1 ? 2, ① ?x 2 ? ?lnx2 ? 1 ? ? x1 ? a.②
由①及 x1<0<x2 知,-1<x1<0. 由①②得,a=x1 + ln
2 2

1 2 -1=x1 -ln(2x1+2)-1. 2 x1 ? 2

设 h(x1)=x1 -ln(2x1+2)-1(-1<x1<0), 则 h′(x1)=2x1-

1 <0. x1 ? 1

所以,h(x1)(-1<x1<0)是减函数. 则 h(x1)>h(0)=-ln 2-1, 所以 a>-ln 2-1. 又当 x1∈(-1,0)且趋近于-1 时,h(x1)无限增大, 所以 a 的取值范围是(-ln 2-1,+∞). 故当函数 f(x)的图象在点 A,B 处的切线重合时,a 的取值范围是(-ln 2-1,+∞).

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