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【吉林省2014届高三寒假作业 数学4]


高三数学寒假作业(三角与向量)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 22 小题,共 150 分,考 试时间 120 分钟,考生作答时将答案答在答题卡上,在本试卷上答题无效。

第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目要求。 ) 1.函数 y=sin2x 的图象向右平移 ? (? ? 0) 个单位, 得到的图象关于直线 x ? 最小值为 A.

?
6

对称, 则? 的

5 ? 12

B. ?

5 6

C.

11 ? 12

D.

11 ? 6

2.已知 sin( A.

?

3 5

3 ? ? x) ? ,则 cos( x ? ) ? 3 5 6 4 3 B. C. ? 5 5

D. ?

4 5

3.如图,在边长为 2 的菱形 ABCD 中,∠BAD ? 60 ? , E 为 BC 的中点,则 AE ? BD ?

A. ?3

B. ?1

C. 0

D. 1

4.在△ABC 中,

若点 D 满足 BD ? 2DC ,则 AD =(

).

5.下列命题: ①若 A、B、C、D 是空间任意四点,则有 AB ? BC ? CD ? DA ? 0 ;

b 共线的充要条件; ② a - b ? a +b 是 a、
b 共线,则 a 与 b 所在直线平行; ③若 a、

④对空间任意一点 P 与不共线的三点 A、B、C ,若 OP ? xOA ? yOB ? zOC

( x, y, z ? R) ,则 P、A、B、C 四点共面.其中不正确命题的个数是
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4

(

)

6.将函数 y=sinx 的图象上所有的点向右平行移动

? 个单位长度,再把所得各点的横坐标伸 10
).

长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是(

? ) 10 1 ? C.y=sin( x- ) 2 10
A.y=sin(2x-

B.y=sin(2x-

? ) 5 1 ? D.y=sin( x- ) 2 20


3 7.已知 sin ? ? , ? 为锐角,且sin(? ? ? ) ? cos ?, 则tan( ? ? ?) ? ( 5
A.1 B.

8 25

C. ?2

D. 2

8.已知向量 a, b 满足 | a |?| b |?| a ? b |? 1 ,则向量 a, b 的夹角为 ( A.

) D.

? 3

B.

2? 3

C.

? 6

5? 6


9.要得到一个奇函数,只需将函数 f ?x? ? sin 2x ? 3 cos2x 的图象(

? 个单位 6 ? C.向右平移 个单位 4
A.向右平移 10.向量 a , b 满足 a ? 1 , a ? b ? A.

? 个单位 6 ? D.向左平移 个单位 3
B.向左平移

3 , a 与 b 的夹角为 60°,则 b ? ( 2
C.

)

1 3

B.

1 2

1 5

D.

1 4

? 11. 将函数 y ? sin(2x ? ? ) 的图象沿 x 轴向左平移 8 个单位后,得到一个偶函数的图象, 则
? 的一个可能取值为(
3? 4


A.

B.

? 4

?
C.0 D.

?
4

12.函数 y=sin(ωx+φ)

在区间

上单调递减,且函数值

从 1 减小到﹣1,那么此函数图象与 y 轴交点的纵坐标为( ) A. B. C. D.

第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分)
二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若 cos ? ? ?

4 ? , ? 是第三象限的角,则 sin(? ? ) = 5 4



14.在 ?ABC 中, M 是 BC 的中点, AM =1,点 P 在 AM 上且满足 AP ? 2PM ,则

PA (PB ? PC) 等于___________

15.设△ABC 的三个内角 A、 B、 C 所对的三边分别为 a,b,c, 若△ABC 的面积为 S ? a ? (b ? c )
2

2



sin A = 1 ? cos A

.

16. 若 等 边 ?ABC 的 边 长 为 2 3 , 平 面 内 一 点 M 满 足 CM ?

1 2 CB ? CA , 则 6 3

M A? M B ? ____________
三、解答题: 17.(本小题满分 12 分)已知 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) . 6 3 (Ⅰ)求 f ( x) 的最大值及取得最大值时 x 的值;
1 ,c ? 2 3 ,sin A ? 2 sin B , (Ⅱ)在△ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 f (C) ?

?

?

求△ABC 的面积.

18.(本小题满分 10 分)如图,在 ?ABC 中, B ? (1)求 sin A ; (2)记 BC 的中点为 D,求中线 AD 的长.

?
4

, AC ? 2 5 , cos C ?

2 5 5

19.(本题满分 12 分)已知函数 如图所示. (1)求 A,ω 的值; (2)求 f(x)的单调增区间; (3)求 f(x)在区间 上的最大值和最小值.

的部分图象

20.(本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? 2 sin( 2 x ?

?
6

), x ? R .

(1)用“五点法”画出函数 f ( x) 一个周期内的简图; (2)求函数 f ( x) 的最大值,并求出取得最大值时自变量 x 的取值集合; (3)求函数 f ( x) 的对称轴方程.

21. (本题满分 12 分)已知: a 、 b 、 c 是同一平面内的三个向量,其中 a =(1,2) ⑴若| c | ? 3 5 ,且 c // a ,求 c 的坐标; ⑵若 b ? ((logm x) 2 , logm x), (0 ? m ? 1) ,解不等式 a ? b ? 3 .

22. (本题满分 12 分) 已知△ ABC 的三个内角 A、 B、 C 的对边分别为 a、 b、 c, 且 b2+c2=a2+bc, 求: (1) 2sinBcosC﹣sin(B﹣C)的值; (2)若 a=2,求△ ABC 周长的最大值.

试卷答案
1.A

2.A

3.B

4.A

5.C

6.C

7.D

8.B

9.B

10.B

11.B

12.A

13. ?

7 2 10

14. ?

4 9

15.4

16.-2

17.

? ? 3 1 1 3 sin 2 x ? cos 2 x ? cos 2 x ? sin 2 x (Ⅰ) f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ? 6 3 2 2 2 2
? 3 sin 2x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) . ····················· 2 分 6

?

当 2x ?

?
6

? 2k? ?

?
2

,即 x ? k? ?

?
6

, k ? Z 时,函数 f ( x) 取得最大值 2. ···· 4 分

? ? 1 (Ⅱ)由 f (C) ? 2sin(2C ? ) ?1 ,得 sin(2C ? ) ? , 6 6 2


?
6

? 2C ?

?
6

? 2? ?

?
6

,∴ 2C ?

?
6

?

5? ? ,解得 C ? . ············ 6 分 6 3

因为 sin A ? 2 sin B ,根据正弦定理,得 a ? 2b , ··············· 8 分 由余弦定理,有 c 2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C , 则 (2 3)2 ? 4b2 ? b2 ? 2 ? 2b2 cos

?
3

? 3b2 ,

解得 b ? 2 , a ? 4 , ··························· 10 分

1 1 ? 故△ABC 的面积 S?ABC ? ab sin C ? ? 4 ? 2 ? sin ? 2 3 . 12 分 2 2 3

18.

os C ? (1)由 c


2 5 2 5 2 5 ,C 是三解形内角,得 sin C ? 1 ? cos 2 C ? 1 ? ( ) ? 5 5 5

??2

sin A ? sin[? ? ( B ? C)] ? sin(B ? C) ? sin
? 2 2 2 5 3 10 ? 5? ? ? 2 5 2 5 10

?
4

cos C ? cos

?
4

sin C

??2 分

??2 分

(2)在 ?ABC 中,由正弦定理

BC AC AC 2 5 3 10 ? , BC ? sin A ? ? ?6 sin A sin B sin B 10 2 2

??2 分

? CD ?

2 5 1 , BC ? 3 ,又在 ?ADC 中, AC ? 2 5 , cos C ? 5 2

??2 分

由余弦定理得, AD ? AC 2 ? CD2 ? 2 AC ? CD ? cos C

? 20 ? 9 ? 2 ? 2 5 ? 3 ?

2 5 ? 5 5

??2 分

19. (1)由图象知 A=1,?????????2 分 由图象得函数的最小正周期为 则由 (2)∵ ∴ . .??????9 分 , 得 ω =2.?????????4 分 , . ,

所以 f(x)的单调递增区间为 (3)∵ ∴ ∴ ,∵ . .???????????12 分

当 当 20. (1)

,即 ,即

时,f(x)取得最大值 1; 时,f(x)取得最小值 .???????14 分

2x ?

?
6

0

x
y ? 2sin(2 x ? ) 6

?

?

? 12

? 2 ? 6
2

?
5? 12
0

3? 2 2? 3
?2

2?

11? 12
0

0

?????2 分 Y
2

?

?
12
?2

?
6

5? 12

2? 3

11? 12

X

???5 分 (2) f ( x) 的最大值为 2;????????7 分 此时自变量 x 取值的集合为 ? x | x ? k? ? (3)函数的对称轴方程为 x ?

? ?

?

? ,k ? Z? 6 ?

??10 分

k? ? ? ,k ?z 2 6

?????14 分

21. (1)设 c ? ( x, y), ∵ c ∥ a ,∴ ?

? ? x2 ? y2 ? 3 5 ? y ? 2x ?

?????????4 分

∴?

? x ? 3 ? x ? ?3 或? ,∴ c ? (3,6) 或 c ? (?3,?6) ;?????????????6 分 ? y ? 6 ? y ? ?6
2

(2)∵ a ? b ? 3 ,∴ (logm x) ? 2 logm x) ? 3 ? 0 ?????????????7 分 ∴ (logm x ? 3)(logm x ? 1) ? 0

∴ logm x ? ?3或 logm x ? 1 ,∵ 0 ? m ? 1 ?????????????????10 分 ∴ x ? m 或0 ? x ? m ?????????????????????????12 分
?3

22. (1)∵b +c =a +bc,∴a =b +c ﹣bc, 结合余弦定理知 cosA= 又 A∈(0,π ),∴A= = ,(4 分) = ,
2 2 2 2 2 2

∴2sinBcosC﹣sin(B﹣C)=sinBcosC+cosBsinC =sin(B+C)=sin[π ﹣A]=sinA= (2)由 a=2,结合正弦定理得: = = = = , ;(6 分)

∴b=

sinB,c= sinB+

sinC,(8 分) sinC ﹣B) ),(12 分

则 a+b+c=2+ =2+ =2+2 sinB+

sin(

sinB+2cosB=2+4sin(B+

可知周长的最大值为 6.


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