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函数的周期性(基础+复习+习题+练习)


西安市昆仑中学 2014 届高三理科第一轮复习讲义

第 11 课时

席成

课题:函数的周期性
考纲要求:
了解函数周期性、最小正周期的含义,会判断、应用简单函数的周期性.

教材复习 ?1? 周期函数:对于函数 y ? f ( x) ,如果存在非零常数 T ,使得当 x 取定义域内的任何 值时,都有 ,那么就称函数 y ? f ( x) 为周期函数,称 T 为这个函数的
一个周期.

? 2 ? 最小正周期:如果在周期函数 f ( x) 的所有周期中

的正数, 那么这个最

小正数就叫作 f ( x ) 的最小正周期.

基本知识方法 1. 周期函数的定义:对于 f ( x) 定义域内的每一个 x ,都存在非零常数 T ,使得 f ( x ? T ) ? f ( x) 恒成立,则称函数 f ( x) 具有周期性, T 叫做 f ( x) 的一个周期, 则 kT ( k ? Z , k ? 0 )也是 f ( x ) 的周期,所有周期中的最小正数叫 f ( x ) 的最小正周期. 2. 几种特殊的抽象函数:具有周期性的抽象函数: 函数 y ? f ? x ? 满足对定义域内任一实数 x (其中 a 为常数), ① f ? x ? ? f ? x ? a ? ,则 y ? f ? x ? 是以 T ? a 为周期的周期函数; ② f ? x ? a ? ? ? f ? x ? ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数;
③ f ? x ? a? ? ?

1 ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数; f ? x?

④ f ? x ? a ? ? f ? x ? a ? ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数; ⑤ f ( x ? a) ?

1 ? f ( x) ,则 f ?x ? 是以 T ? 2 a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x) 1 ? f ( x) ,则 f ?x ? 是以 T ? 4 a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x)

⑥ f ( x ? a) ? ?

⑦ f ( x ? a) ?

1 ? f ( x) ,则 f ?x ? 是以 T ? 4 a 为周期的周期函数. 1 ? f ( x)

⑧函数 y ? f ( x) 满足 f ( a ? x) ? f ( a ? x) ( a ? 0 ) ,若 f ( x ) 为奇函数,则其周期为

T ? 4a ,若 f ( x) 为偶函数,则其周期为 T ? 2a . ⑨函数 y ? f ( x) ? x ? R? 的图象关于直线 x ? a 和 x ? b ? a ? b ? 都对称,则函数 f ( x ) 是
以 2 ? b ? a ? 为周期的周期函数; ⑩函数 y ? f ( x) ? x ? R? 的图象关于两点 A ? a, y0 ? 、 B ? b, y0 ? ? a ? b ? 都对称,则函数

f ( x) 是以 2 ? b ? a ? 为周期的周期函数; ⑾函数 y ? f ( x) ? x ? R? 的图象关于 A ? a, y0 ? 和直线 x ? b ? a ? b ? 都对称,则函数 f ( x )
不会学会,会的做对.
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西安市昆仑中学 2014 届高三理科第一轮复习讲义 是以 4 ? b ? a ? 为周期的周期函数;

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3. 判 断 一 个 函 数 是 否 是 周 期 函 数 要 抓 住 两 点 : 一 是 对 定 义 域 中 任 意 的 x 恒 有 f ( x? T) ? f ( x; ) 二是能找到适合这一等式的非零常数 T ,一般来说,周期函数的定义域均为无限集. 4. 解决周期函数问题时, 要注意灵活运用以上结论, 同时要重视数形结合思想方法的运用,
还要注意根据所要解决的问题的特征来进行赋值.

问题 1.( 06 山东)已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) 满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) ,则 f (6) 的
值为

A. ?1

B. 0

C. 1

D. 2

问题 2. ?1? ( 00 上海)
f ( x) ?

设 f ( x ) 的最小正周期 T ? 2 且 f ( x ) 为偶函数, y A ? 2 它在区间 ? 0, 1? 上的图象如右图所示的线段 AB ,则在区间 ?1, 2? 上,

1?

?B
1 2 x

0
x

当 19 ? x ? 21 时, f ( x ) 的解析式是

? 2 ? 已知函数 f ( x) 是周期为 2 的函数,当 ?1 ? x ? 1 时, f ( x) ? x2 ?1 ,

f ?x ? 是定义在 R 上的以 2 为周期的函数, 对k ?Z , 用 I k 表示区间 ? 2k ? 1, 2k ? 1? , 2 已知当 x ? I0 时, f ? x ? ? x ,求 f ?x ? 在 I k 上的解析式。

? 3?

不会学会,会的做对.

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问题 3.?1? ( 04 福建)定义在 R 上的函数 f ?x ? 满足 f ?x? ? f ?x ? 2? ,当 x ? ?3,5? 时,
f ?x? ? 2 ? x ? 4 ,则
? ? 2? ? 2? ? ? ? C. f ? cos ? ? f ? sin ? 3 ? 3 ? ? ?
A. f ? sin

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??

?? ? ? ? f ? cos ? ; B. f ?sin1? ? f ? cos1? ; 6? 6? ?
D. f ? cos 2? ? f ?sin 2?

? 2 ? ( 05 天津文) 设 f ( x) 是定义在 R 上以 6 为周期的函数, f ( x) 在 (0,3) 内单调递减,
且 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 3 对称,则下面正确的结论是

A. f (1.5) ? f (3.5) ? f (6.5)

B. f (3.5) ? f (1.5) ? f (6.5)
D. f (3.5) ? f (6.5) ? f (1.5)

C. f (6.5) ? f (3.5) ? f (1.5)

问题 4. 定义在 R 上的函数 f ?x ? ,对任意 x ? R ,有 f ?x ? y ? ? f ?x ? y ? ? 2 f ?x ? f ? y ? ,
且 f ?0? ? 0 , ?1? 求证: f ?0? ? 1 ; ? 2 ? 判断 f ?x ? 的奇偶性;

? 3? 若存在非零常数 c ,使 f ? ?

②函数 f ?x ? 是不是周期函数,为什么?

c? ? ? 0 ,①证明对任意 x ? R 都有 f ?x ? c ? ? ? f ?x ? 成立; ?2?

不会学会,会的做对.

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问题 5. ( 01 全国)设 f ( x ) 是定义在 R 上的偶函数,其图象关于直线 x ? 1 对称,对任
意的 x1 , x2 ? ?0, ? ,都有 f ( x1 ? x2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x2 ) . 2

? 1? ? ?

?1? 设 f (1) ? 2 ,求 f ( 2 ) 、 f ( 4 ) ; ? 2 ? 证明: f ( x) 是周期函数.
? 3? 记 a n ?
1 ? ? an ) . f ? 2n ? ? ,求 lim(ln n ?? 2n ? ?

1

1

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课后作业:
1.( 2013 榆林质检) 若已知 f ( x ) 是 R 上的奇函数, 且满足 f ( x ? 4) ? f ( x) , 当 x ??0 , 2 2 A. ?2 B. 2 C. ?98 D. 98 时, f ( x) ? 2 x ,则 f (7) 等于

?

2. 设函数 f ? x ? ( x ? R )是以 3 为周期的奇函数,且 f ?1? ? 1, f ? 2? ? a ,则

A. a ? 2

B. a ? ?2

C. a ? 1

D. a ? ?1

3. 函数 f ( x) 既是定义域为 R 的偶函数,又是以 2 为周期的周期函数,若 f ( x) 在 ? ?1,0? 上
是减函数,那么 f ( x ) 在 ? 2,3? 上是

A. 增函数

B. 减函数

C. 先增后减函数

D. 先减后增函数

4. 设 f ( x ) ?

x ?1 ,记 f n ( x) ? f { f [ f ??? f ( x)]} ,则 f 2007 ( x) ? x ?1
n个f

3? ? 5. 已知定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x) ? ? f ? x ? ? ,且 f ? ?2? ? 3 , 2? ? 则 f (2014) ?

6. 设偶函数 f ( x) 对任意 x ? R ,都有 f ( x ? 3) ? ?

f ( x) ? 2 x ,则 f (113.5) ?

A. ?

2 7

1 ,且当 x ???3, ?2? 时, f ( x) 2 1 1 B. C. ? D. 7 5 5

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7. 设函数 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,对于任意的 x ? R ,都有 f ( x ? 1) ?

11.5 ) 当 0 ? x ≤ 1 时, f ( x) ? 2 x , 则 f(

?

A. ?1

B. 1

1 ? f ( x) , 1 ? f ( x) 1 1 C. D. ? 2 2

8. 已 知 f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 , 满 足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 且 x ? [ 0 , 2 时 ] ,
2 . ?1? 求证: f ( x ) 是周期函数; ? 2 ? 当 x ? [2, 4] 时,求 f ( x ) 的表达式; f ( x) ? 2 x? x

? 3? 计算 f (1) ? f (2) ? f (3) ?

? f (2013) .

3 ? 3 ? 9.( 05 朝阳模拟) 已知函数 f ( x ) 的图象关于点 ? ? , 0 ? 对称, 且满足 f ( x ) ? ? f ( x ? ) , 2 ? 4 ? 又 f (?1) ? 1 , f (0) ? ?2 ,求 f (1) ? f (2) ? f (3) ? … ? f (2006) 的值

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走向高考:
1. ( 05 福建) f ( x) 是定义在 R 上的以 3 为周期的奇函数,且 f (2) ? 0 在区间 ? 0, 6 ? 内解 A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 的个数的最小值是

2. ( 2012 山东)定义在 R 上的函数 f ( x) 满足 f ( x ? 6) ? f ( x) ,当 ?3 ≤ x ? ?1 时,

f ( x) ? ? ? x ? 2 ? ,当 ?1 ≤ x ? 3 时, f ( x) ? x ,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (2012) ? A. 335 B. 338 C. 1678 D. 2012
2

3. ( 96 全国)已知函数 f ( x) 为 R 上的奇函数,且满足 f ( x ? 2) ? ? f ( x) , 当 0 ≤ x ? 1 时, f ( x) ? x ,则 f (7.5) 等于 A. 0.5 B. ?0.5 C. 1.5 D. ?1.5

4. ( 06 安徽)函数 f ? x ? 对于任意实数 x 满足条件 f ? x ? 2 ? ?
则f

? f ?5?? ?

1 ,若 f ?1? ? ?5 , f ? x?

5. ( 06 福建文)已知 f ( x) 是周期为 2 的奇函数,当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? lg x. 6 3 5 设 a ? f ( ), b ? f ( ), c ? f ( ), 则 5 2 2 A. a ? b ? c B. b ? a ? c C. c ? b ? a D. c ? a? b

6. ( 04 天津)定义在 R 上的函数 f ( x) 既是偶函数又是周期函数,若 f ( x) 的最小正周期
是 ? ,且当 x ? [0,

?

? 5? ] 时, f ( x) ? sin x ,则 f ? 2 ? 3
B.

? ? 的值为 ?
D.

A. ?

1 2

1 2
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C. ?

3 2

3 2

不会学会,会的做对.

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7. ( 05 天津)设 f ( x) 是定义在 R 上的奇函数,且 y ? f ( x) 的图象关于直线 x ?
对称,则 f (1) ? f (2) ? f (3) ? f (4) ? f (5) ?

1 2

8. ★ ( 05 广 东 ) 设 函 数 f ( x) 在 (??, ??) 上 满 足 f (2 ? x) ? f (2 ? x) , f (7 ? x) ? f (7 ? x) ,且在闭区间 ? 0, 7? 上,只有 f (1) ? f (3) ? 0 . (Ⅰ)试判断函数 y ? f ( x) 的奇偶性; (Ⅱ)试求方程 f ( x) ? 0 在闭区间 ? ?2005, 2005? 上的根的个数,并证明你的结论.

不会学会,会的做对.

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