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2016年河南省中考数学真题带答案(word版)


2016 年河南省中考数学试卷
一、选择题下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的. 1.﹣ 的相反数是( A.﹣ B. )

C.﹣3 D.3 )

2.某种细胞的直径是 0.00000095 米,将 0.00000095 米用科学记数法表示为( A.9.5×10﹣7B.9.5×10﹣8C.0.95×10﹣7D.95×10﹣8 3.下列几何体是由 4 个相同的小正方体搭成的,其中主视图和左视图相同的是(



A.

B.

C.

D.

4.下列计算正确的是( A. ﹣ =



B.(﹣3)2=6 C.3a4﹣2a2=a2D.(﹣a3)2=a5

5.如图,过反比例函数 y= (x>0)的图象上一点 A 作 AB⊥x 轴于点 B,连接 AO,若 S△ AOB=2,则 k 的值为( )

A.2 B.3 C.4 D.5 6. AC=8, AB=10, DE 垂直平分 AC 交 AB 于点 E, ∠ACB=90°, 如图, 在△ ABC 中, 则 DE 的长为 ( )

A.6 B.5 C.4 D.3 7.如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差:

甲 平均数(cm) 方差 185 3.6

乙 180 3.6

丙 185 7.4

丁 180 8.1 )

根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择( A.甲 B.乙 C.丙 D.丁

8.如图,已知菱形 OABC 的顶点 O(0,0),B(2,2),若菱形绕点 O 逆时针旋转,每秒旋转 45°,则 第 60 秒时,菱形的对角线交点 D 的坐标为( )

A.(1,﹣1) B.(﹣1,﹣1) C.(

,0) D.(0,﹣



二、填空题 9.计算:(﹣2)0﹣ = . .

10.如图,在?ABCD 中,BE⊥AB 交对角线 AC 于点 E,若∠1=20°,则∠2 的度数为

11.若关于 x 的一元二次方程 x2+3x﹣k=0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是



12.在“阳光体育”活动期间,班主任将全班同学随机分成了 4 组进行活动,该班小明和小亮同学被分在一 组的概率是 . .

13.已知 A(0,3),B(2,3)是抛物线 y=﹣x2+bx+c 上两点,该抛物线的顶点坐标是 14.如图,在扇形 AOB 中,∠AOB=90°,以点 A 为圆心,OA 的长为半径作 则阴影部分的面积为 . 交

于点 C,若 OA=2,

15.如图,已知 AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,点 E 为射线 BC 上一个动点,连接 AE,将△ ABE 沿 AE 折 叠,点 B 落在点 B′处,过点 B′作 AD 的垂线,分别交 AD,BC 于点 M,N.当点 B′为线段 MN 的三等分 点时,BE 的长为 .

三、解答题(本大题共 8 小题,满分 75 分) 16.先化简,再求值: ( ﹣1)÷ ,其中 x 的值从不等式组 的整数解中选取.

17.在一次社会调查活动中,小华收集到某“健步走运动”团队中 20 名成员一天行走的步数,记录如下: 5640 8430 7638 8753 6430 8215 6834 9450 6520 6798 7325 7453 7446 6754 7326 6830 8648 9865 7290 7850

对这 20 个数据按组距 1000 进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表: 步数分组统计表 组别 A B C D E 步数分组 5500≤x<6500 6500≤x<7500 7500≤x<8500 8500≤x<9500 9500≤x<10500 频数 2 10 m 3 n

请根据以上信息解答下列问题: (1)填空:m= (2)补全频数发布直方图; (3)这 20 名“健步走运动”团队成员一天行走步数的中位数落在 组; ,n= ;

(4)若该团队共有 120 人,请估计其中一天行走步数不少于 7500 步的人数.

18.如图,在 Rt△ ABC 中,∠ABC=90°,点 M 是 AC 的中点,以 AB 为直径作⊙O 分别交 AC,BM 于点 D,E. (1)求证:MD=ME; (2)填空: ①若 AB=6,当 AD=2DM 时,DE= ②连接 OD,OE,当∠A 的度数为 ; 时,四边形 ODME 是菱形.

19.如图,小东在教学楼距地面 9 米高的窗口 C 处,测得正前方旗杆顶部 A 点的仰角为 37°,旗杆底部 B 点的俯角为 45°,升旗时,国旗上端悬挂在距地面 2.25 米处,若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放 45 秒结束时到达旗杆顶端,则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80, tan37°≈0.75)

20.学校准备购进一批节能灯,已知 1 只 A 型节能灯和 3 只 B 型节能灯共需 26 元;3 只 A 型节能灯和 2 只 B 型节能灯共需 29 元. (1)求一只 A 型节能灯和一只 B 型节能灯的售价各是多少元;

(2)学校准备购进这两种型号的节能灯共 50 只,并且 A 型节能灯的数量不多于 B 型节能灯数量的 3 倍, 请设计出最省钱的购买方案,并说明理由. 21.某班“数学兴趣小组”对函数 y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整. (1)自变量 x 的取值范围是全体实数,x 与 y 的几组对应值列表如下: x y … … ﹣3 3 . ﹣ ﹣2 m ﹣1 ﹣1 0 0 1 ﹣1 2 0 3 3 … …

其中,m=

(2)根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数 图象的另一部分. (3)观察函数图象,写出两条函数的性质. (4)进一步探究函数图象发现: ①函数图象与 x 轴有 ②方程 x2﹣2|x|=2 有 个交点,所以对应的方程 x2﹣2|x|=0 有 个实数根; . 个实数根;

③关于 x 的方程 x2﹣2|x|=a 有 4 个实数根时,a 的取值范围是

22.(1)发现:如图 1,点 A 为线段 BC 外一动点,且 BC=a,AB=b. 填空:当点 A 位于 式子表示) (2)应用:点 A 为线段 BC 外一动点,且 BC=3,AB=1,如图 2 所示,分别以 AB,AC 为边,作等边三 角形 ABD 和等边三角形 ACE,连接 CD,BE. ①请找出图中与 BE 相等的线段,并说明理由; ②直接写出线段 BE 长的最大值. 时,线段 AC 的长取得最大值,且最大值为 (用含 a,b 的

(3)拓展:如图 3,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(2,0),点 B 的坐标为(5,0),点 P 为线 段 AB 外一动点,且 PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐

标.

23.如图 1,直线 y=﹣ x+n 交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 C(0,4),抛物线 y= x2+bx+c 经过点 A,交 y 轴于点 B(0,﹣2).点 P 为抛物线上一个动点,过点 P 作 x 轴的垂线 PD,过点 B 作 BD⊥PD 于点 D, 连接 PB,设点 P 的横坐标为 m. (1)求抛物线的解析式; (2)当△ BDP 为等腰直角三角形时,求线段 PD 的长; (3)如图 2,将△ BDP 绕点 B 逆时针旋转,得到△ BD′P′,且旋转角∠PBP′=∠OAC,当点 P 的对应点 P′ 落在坐标轴上时,请直接写出点 P 的坐标.

2016 年河南省中考数学试卷
参考答案与试题解析

一、选择题下列各小题均有四个答案,其中只有一个是正确的. 1.﹣ 的相反数是( A.﹣ B. )

C.﹣3 D.3

【考点】相反数. 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数,可得答案. 【解答】解:﹣ 的相反数是 . 故选:B. 【点评】本题考查了相反数,在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数.

2.某种细胞的直径是 0.00000095 米,将 0.00000095 米用科学记数法表示为( A.9.5×10﹣7B.9.5×10﹣8C.0.95×10﹣7D.95×10﹣8 【考点】科学记数法—表示较小的数.



【分析】绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示,一般形式为 a×10﹣n,与较大数的科学记数法不 同的是其所使用的是负指数幂,指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定. 【解答】解:0.00000095=9.5×10﹣7, 故选:A. 【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数,一般形式为 a×10﹣n,其中 1≤|a|<10,n 为由原数左边起第 一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定.

3.下列几何体是由 4 个相同的小正方体搭成的,其中主视图和左视图相同的是(



A.

B.

C.

D.

【考点】简单组合体的三视图. 【分析】根据从正面看得到的图形是主视图,从左边看得到的图形是左视图,可得答案.

【解答】解:A、主视图是第一层三个小正方形,第二层中间一个小正方形,左视图是第一层一个小正方 形,第二层一个小正方形,故 A 错误; B、主视图是第一层两个小正方形,第二层中间一个小正方形,第三层中间一个小正方形,左视图是第一 层一个小正方形,第二层一个小正方形,第三层一个小正方形,故 B 错误; C、主视图是第一层两个小正方形,第二层左边一个小正方形,左视图是第一层两个小正方形,第二层左 边一个小正方形,故 C 正确; D、主视图是第一层两个小正方形,第二层右边一个小正方形,左视图是第一层一个小正方形,第二层左 边一个小正方形,故 D 错误; 故选:C. 【点评】 本题考查了简单组合体的三视图, 从正面看得到的图形是主视图, 从左边看得到的图形是左视图.

4.下列计算正确的是( A. ﹣ =



B.(﹣3)2=6 C.3a4﹣2a2=a2D.(﹣a3)2=a5

【考点】二次根式的加减法;有理数的乘方;合并同类项;幂的乘方与积的乘方. 【分析】 分别利用有理数的乘方运算法则以及积的乘方运算法则、 二次根式的加减运算法则化简求出答案. 【解答】解:A、 ﹣ =2 ﹣ = ,故此选项正确;

B、(﹣3)2=9,故此选项错误; C、3a4﹣2a2,无法计算,故此选项错误; D、(﹣a3)2=a6,故此选项错误; 故选:A. 【点评】此题主要考查了有理数的乘方运算以及积的乘方运算、二次根式的加减运算等知识,正确化简各 式是解题关键.

5.如图,过反比例函数 y= (x>0)的图象上一点 A 作 AB⊥x 轴于点 B,连接 AO,若 S△ AOB=2,则 k 的值为( )

A.2 B.3 C.4 D.5 【考点】反比例函数系数 k 的几何意义;反比例函数的性质.

【分析】根据点 A 在反比例函数图象上结合反比例函数系数 k 的几何意义,即可得出关于 k 的含绝对值符 号的一元一次方程,解方程求出 k 值,再结合反比例函数在第一象限内有图象即可确定 k 值. 【解答】解:∵点 A 是反比例函数 y= 图象上一点,且 AB⊥x 轴于点 B, ∴S△ AOB= |k|=2, 解得:k=±4. ∵反比例函数在第一象限有图象, ∴k=4. 故选 C. 【点评】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数 k 的几何意义,解题的关键是找出关于 k 的含 绝对值符号的一元一次方程.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据反比例函数系数 k 的 几何意义找出关于 k 的含绝对值符号的一元一次方程是关键.

6. AC=8, AB=10, DE 垂直平分 AC 交 AB 于点 E, ∠ACB=90°, 如图, 在△ ABC 中, 则 DE 的长为 (



A.6 B.5 C.4 D.3 【考点】三角形中位线定理;线段垂直平分线的性质. 【分析】在 Rt△ ACB 中,根据勾股定理求得 BC 边的长度,然后由三角形中位线定理知 DE= BC. 【解答】解:∵在 Rt△ ACB 中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10, ∴BC=6. 又∵DE 垂直平分 AC 交 AB 于点 E, ∴DE 是△ ACB 的中位线, ∴DE= BC=3. 故选:D. 【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理.三角形中位线的性质:三角形的中位线平行于第三边 且等于第三边的一半.

7.如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差: 甲 平均数(cm) 方差 185 3.6 乙 180 3.6 丙 185 7.4 丁 180 8.1 )

根据表中数据,要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛,应该选择( A.甲 B.乙 C.丙 D.丁 【考点】方差;算术平均数. 【分析】首先比较平均数,平均数相同时选择方差较小的运动员参加. 【解答】解:∵ = > = ,

∴从甲和丙中选择一人参加比赛, ∵ = < < ,

∴选择甲参赛, 故选:A. 【点评】此题考查了平均数和方差,正确理解方差与平均数的意义是解题关键.

8.如图,已知菱形 OABC 的顶点 O(0,0),B(2,2),若菱形绕点 O 逆时针旋转,每秒旋转 45°,则 第 60 秒时,菱形的对角线交点 D 的坐标为( )

A.(1,﹣1) B.(﹣1,﹣1) C.(

,0) D.(0,﹣



【考点】坐标与图形变化-旋转;菱形的性质. 【专题】规律型. 【分析】根据菱形的性质,可得 D 点坐标,根据旋转的性质,可得 D 点的坐标. 【解答】解:菱形 OABC 的顶点 O(0,0),B(2,2),得 D 点坐标为(1,1). 每秒旋转 45°,则第 60 秒时,得

45°×60=2700°, 2700°÷360=7.5 周, OD 旋转了 7 周半,菱形的对角线交点 D 的坐标为(﹣1,﹣1), 故选:B. 【点评】本题考查了旋转的性质,利用旋转的性质是解题关键.

二、填空题 9.计算:(﹣2)0﹣ = ﹣1 .

【考点】实数的运算;零指数幂. 【分析】分别进行零指数幂、开立方的运算,然后合并. 【解答】解:原式=1﹣2 =﹣1. 故答案为:﹣1. 【点评】本题考查了实数的运算,涉及了零指数幂、开立方等知识,属于基础题.

10.如图,在?ABCD 中,BE⊥AB 交对角线 AC 于点 E,若∠1=20°,则∠2 的度数为 110° .

【考点】平行四边形的性质. 【分析】首先由在?ABCD 中,∠1=20°,求得∠BAE 的度数,然后由 BE⊥AB,利用三角形外角的性质, 求得∠2 的度数. 【解答】解:∵四边形 ABCD 是平行四边形, ∴AB∥CD, ∴∠BAE=∠1=20°, ∵BE⊥AB, ∴∠ABE=90°, ∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°. 故答案为:110°. 【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形外角的性质.注意平行四边形的对边互相平行.

11.若关于 x 的一元二次方程 x2+3x﹣k=0 有两个不相等的实数根,则 k 的取值范围是 k>﹣ 【考点】根的判别式;解一元一次不等式.



【分析】由方程有两个不相等的实数根即可得出△ >0,代入数据即可得出关于 k 的一元一次不等式,解 不等式即可得出结论. 【解答】解:∵关于 x 的一元二次方程 x2+3x﹣k=0 有两个不相等的实数根, ∴△=32﹣4×1×(﹣k)=9+4k>0, 解得:k>﹣ . 故答案为:k>﹣ . 【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式,解题的关键是根据根的个数结合根的判别式得出 关于 k 的一元一次不等式.本题属于基础题,难度不大,解决该题型题目时,根据根的个数结合根的判别 式得出方程(不等式或不等式组)是关键.

12.在“阳光体育”活动期间,班主任将全班同学随机分成了 4 组进行活动,该班小明和小亮同学被分在一 组的概率是 .

【考点】列表法与树状图法. 【分析】利用画树状图法列出所有等可能结果,然后根据概率公式进行计算即可求解. 【解答】解:设四个小组分别记作 A、B、C、D, 画树状图如图:

由树状图可知,共有 16 种等可能结果,其中小明、小亮被分到同一个小组的结果由 4 种, ∴小明和小亮同学被分在一组的概率是 故答案为: . 【点评】 本题考查了列表法与树状图, 解题的关键在于用列表法或画树状图法列出所有等可能结果, 根据: 概率=所求情况数与总情况数之比计算是基础. = ,

13.已知 A(0,3),B(2,3)是抛物线 y=﹣x2+bx+c 上两点,该抛物线的顶点坐标是 (1,4) . 【考点】二次函数的性质;二次函数图象上点的坐标特征. 【分析】把 A、B 的坐标代入函数解析式,即可得出方程组,求出方程组的解,即可得出解析式,化成顶 点式即可. 【解答】解:∵A(0,3),B(2,3)是抛物线 y=﹣x2+bx+c 上两点, ∴代入得: 解得:b=2,c=3, ∴y=﹣x2+2x+3 =﹣(x﹣1)2+4, 顶点坐标为(1,4), 故答案为:(1,4). 【点评】本题考查了二次函数的性质,二次函数图象上点的坐标特征的应用,能求出函数的解析式是解此 题的关键. ,

14.如图,在扇形 AOB 中,∠AOB=90°,以点 A 为圆心,OA 的长为半径作 则阴影部分的面积为 ﹣ .



于点 C,若 OA=2,

【考点】扇形面积的计算. 【分析】连接 OC、AC,根据题意得到△ AOC 为等边三角形,∠BOC=30°,分别求出扇形△ COB 的面积、 △ AOC 的面积、扇形 AOC 的面积,计算即可. 【解答】解:连接 OC、AC, 由题意得,OA=OC=AC=2, ∴△AOC 为等边三角形,∠BOC=30°, ∴扇形△ COB 的面积为: △ AOC 的面积为: ×2× 扇形 AOC 的面积为: = , = , = ,

则阴影部分的面积为: 故答案为: ﹣ .

+



=





【点评】本题考查的是扇形面积计算,掌握等边三角形的性质、扇形的面积公式 S=

是解题的关键.

15.如图,已知 AD∥BC,AB⊥BC,AB=3,点 E 为射线 BC 上一个动点,连接 AE,将△ ABE 沿 AE 折 叠,点 B 落在点 B′处,过点 B′作 AD 的垂线,分别交 AD,BC 于点 M,N.当点 B′为线段 MN 的三等分 点时,BE 的长为 或 .

【考点】翻折变换(折叠问题). 【分析】根据勾股定理,可得 EB′,根据相似三角形的性质,可得 EN 的长,根据勾股定理,可得答案.

【解答】解:如图



由翻折的性质,得 AB=AB′,BE=B′E. ①当 MB′=2,B′N=1 时,设 EN=x,得 B′E= .

△ B′EN∽△AB′M, = x2= , BE=B′E= = . ,即 = ,

②当 MB′=1,B′N=2 时,设 EN=x,得

B′E=



△ B′EN∽△AB′M, = ,即 = ,

解得 x2= ,BE=B′E= 故答案为: 或 .

=



【点评】本题考查了翻折的性质,利用翻折的性质得出 AB=AB′,BE=B′E 是解题关键,又利用了相似三 角形的性质,要分类讨论,以防遗漏.

三、解答题(本大题共 8 小题,满分 75 分) 16.先化简,再求值: ( ﹣1)÷ ,其中 x 的值从不等式组 的整数解中选取.

【考点】分式的化简求值;一元一次不等式组的整数解. 【分析】先算括号里面的,再算除法,求出 x 的取值范围,选出合适的 x 的值代入求值即可. 【解答】解:原式= ?

=﹣ =

? ,

解不等式组

得,﹣1≤x< ,

当 x=2 时,原式=

=﹣2.

【点评】本题考查的是分式的化简求值,分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简,代入,求值.许多 问题还需运用到常见的数学思想,如化归思想(即转化)、整体思想等,了解这些数学解题思想对于解题 技巧的丰富与提高有一定帮助.

17.在一次社会调查活动中,小华收集到某“健步走运动”团队中 20 名成员一天行走的步数,记录如下: 5640 8430 6430 8215 6520 6798 7325 7453 7446 6754

7638 8753

6834 9450

7326 6830 8648 9865 7290 7850

对这 20 个数据按组距 1000 进行分组,并统计整理,绘制了如下尚不完整的统计图表: 步数分组统计表 组别 A B C D E 步数分组 5500≤x<6500 6500≤x<7500 7500≤x<8500 8500≤x<9500 9500≤x<10500 频数 2 10 m 3 n

请根据以上信息解答下列问题: (1)填空:m= 4 ,n= 1 ;

(2)补全频数发布直方图; (3)这 20 名“健步走运动”团队成员一天行走步数的中位数落在 B 组; (4)若该团队共有 120 人,请估计其中一天行走步数不少于 7500 步的人数.

【考点】频数(率)分布直方图;用样本估计总体;频数(率)分布表;中位数. 【分析】(1)根据题目中的数据即可直接确定 m 和 n 的值; (2)根据(1)的结果即可直接补全直方图; (3)根据中位数的定义直接求解; (4)利用总人数乘以对应的比例即可求解. 【解答】解:(1)m=4,n=1. 故答案是:4,4; (2)



(3)行走步数的中位数落在 B 组, 故答案是:B; (4)一天行走步数不少于 7500 步的人数是:120× 答:估计一天行走步数不少于 7500 步的人数是 48 人. 【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力.利用统计图获取信息时,必须 认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题. =48(人).

18.如图,在 Rt△ ABC 中,∠ABC=90°,点 M 是 AC 的中点,以 AB 为直径作⊙O 分别交 AC,BM 于点 D,E. (1)求证:MD=ME; (2)填空: ①若 AB=6,当 AD=2DM 时,DE= 2 ; ②连接 OD,OE,当∠A 的度数为 60° 时,四边形 ODME 是菱形.

【考点】菱形的判定. 【分析】(1)先证明∠A=∠ABM,再证明∠MDE=∠MBA,∠MED=∠A 即可解决问题. (2)①由 DE∥AB,得 = 即可解决问题.

②当∠A=60°时,四边形 ODME 是菱形,只要证明△ ODE,△ DEM 都是等边三角形即可. 【解答】(1)证明:∵∠ABC=90°,AM=MC, ∴BM=AM=MC, ∴∠A=∠ABM,

∵四边形 ABED 是圆内接四边形, ∴∠ADE+∠ABE=180°, 又∠ADE+∠MDE=180°, ∴∠MDE=∠MBA, 同理证明:∠MED=∠A, ∴∠MDE=∠MED, ∴MD=ME. (2)①由(1)可知,∠A=∠MDE, ∴DE∥AB, ∴ = ,

∵AD=2DM, ∴DM:MA=1:3, ∴DE= AB= ×6=2. 故答案为 2. ②当∠A=60°时,四边形 ODME 是菱形. 理由:连接 OD、OE, ∵OA=OD,∠A=60°, ∴△AOD 是等边三角形, ∴∠AOD=60°, ∵DE∥AB, ∴∠ODE=∠AOD=60°,∠MDE=∠MED=∠A=60°, ∴△ODE,△ DEM 都是等边三角形, ∴OD=OE=EM=DM, ∴四边形 OEMD 是菱形. 故答案为 60°.

【点评】本题考查圆内接四边形性质、直角三角形斜边中线性质、菱形的判定等知识,解题的关键是灵活 运用这些知识解决问题,记住菱形的三种判定方法,属于中考常考题型.

19.如图,小东在教学楼距地面 9 米高的窗口 C 处,测得正前方旗杆顶部 A 点的仰角为 37°,旗杆底部 B 点的俯角为 45°,升旗时,国旗上端悬挂在距地面 2.25 米处,若国旗随国歌声冉冉升起,并在国歌播放 45 秒结束时到达旗杆顶端,则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升?(参考数据:sin37°≈0.60,cos37°≈0.80, tan37°≈0.75)

【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题. 【分析】通过解直角△ BCD 和直角△ ACD 分别求得 BD、CD 以及 AD 的长度,则易得 AB 的长度,则根 据题意得到整个过程中旗子上升高度,由“速度= ”进行解答即可.

【解答】解:在 Rt△ BCD 中,BD=9 米,∠BCD=45°,则 BD=CD=9 米. 在 Rt△ ACD 中,CD=9 米,∠ACD=37°,则 AD=CD?tan37°≈9×0.75=6.75(米). 所以,AB=AD+BD=15.75 米, 整个过程中旗子上升高度是:15.75﹣2.25=13.5(米), 因为耗时 45s, 所以上升速度 v= =0.3(米/秒).

答:国旗应以 0.3 米/秒的速度匀速上升. 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题.解决此类问题要了解角之间的关系,找到与已 知和未知相关联的直角三角形,当图形中没有直角三角形时,要通过作高或垂线构造直角三角形,另当问 题以一个实际问题的形式给出时,要善于读懂题意,把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解 决.

20.学校准备购进一批节能灯,已知 1 只 A 型节能灯和 3 只 B 型节能灯共需 26 元;3 只 A 型节能灯和 2 只 B 型节能灯共需 29 元.

(1)求一只 A 型节能灯和一只 B 型节能灯的售价各是多少元; (2)学校准备购进这两种型号的节能灯共 50 只,并且 A 型节能灯的数量不多于 B 型节能灯数量的 3 倍, 请设计出最省钱的购买方案,并说明理由. 【考点】二元一次方程组的应用. 【分析】(1)设一只 A 型节能灯的售价是 x 元,一只 B 型节能灯的售价是 y 元,根据:“1 只 A 型节能灯 和 3 只 B 型节能灯共需 26 元;3 只 A 型节能灯和 2 只 B 型节能灯共需 29 元”列方程组求解即可; (2)首先根据“A 型节能灯的数量不多于 B 型节能灯数量的 3 倍”确定自变量的取值范围,然后得到有关 总费用和 A 型灯的只数之间的关系得到函数解析式,确定函数的最值即可. 【解答】解:(1)设一只 A 型节能灯的售价是 x 元,一只 B 型节能灯的售价是 y 元, 根据题意,得: 解得: , ,

答:一只 A 型节能灯的售价是 5 元,一只 B 型节能灯的售价是 7 元;

(2)设购进 A 型节能灯 m 只,总费用为 W 元, 根据题意,得:W=5m+7(50﹣m)=﹣2m+350, ∵﹣2<0, ∴W 随 x 的增大而减小, 又∵m≤3(50﹣m),解得:m≤37.5, 而 m 为正整数, ∴当 m=37 时,W 最小=﹣2×37+350=276, 此时 50﹣37=13, 答:当购买 A 型灯 37 只,B 型灯 13 只时,最省钱. 【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用等知识,根据题意得出正确的等量关 系是解题关键.

21.某班“数学兴趣小组”对函数 y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究,探究过程如下,请补充完整. (1)自变量 x 的取值范围是全体实数,x 与 y 的几组对应值列表如下: x y … … ﹣3 3 ﹣ ﹣2 m ﹣1 ﹣1 0 0 1 ﹣1 2 0 3 3 … …

其中,m= 0 . (2)根据表中数据,在如图所示的平面直角坐标系中描点,并画出了函数图象的一部分,请画出该函数 图象的另一部分. (3)观察函数图象,写出两条函数的性质. (4)进一步探究函数图象发现: ①函数图象与 x 轴有 ②方程 x2﹣2|x|=2 有 3 个交点,所以对应的方程 x2﹣2|x|=0 有 3 个实数根; 2 个实数根;

③关于 x 的方程 x2﹣2|x|=a 有 4 个实数根时,a 的取值范围是 ﹣1<a<0 .

【考点】二次函数的图象;根的判别式. 【分析】(1)根据函数的对称性即可得到结论; (2)描点、连线即可得到函数的图象; (3)根据函数图象得到函数 y=x2﹣2|x|的图象关于 y 轴对称;当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大; (4)①根据函数图象与 x 轴的交点个数,即可得到结论;②如图,根据 y=x2﹣2|x|的图象与直线 y=2 的 交点个数,即可得到结论;③根据函数的图象即可得到 a 的取值范围是﹣1<a<0. 【解答】解:(1)根据函数的对称性可得 m=0, 故答案为:0; (2)如图所示; (3)由函数图象知:①函数 y=x2﹣2|x|的图象关于 y 轴对称;②当 x>1 时,y 随 x 的增大而增大; (4)①由函数图象知:函数图象与 x 轴有 3 个交点,所以对应的方程 x2﹣2|x|=0 有 3 个实数根; ②如图,∵y=x2﹣2|x|的图象与直线 y=2 有两个交点, ∴x2﹣2|x|=2 有 2 个实数根; ③由函数图象知:∵关于 x 的方程 x2﹣2|x|=a 有 4 个实数根, ∴a 的取值范围是﹣1<a<0, 故答案为:3,3,2,﹣1<a<0.

【点评】本题考查了二次函数的图象和性质,正确的识别图象是解题的关键.

22.(1)发现:如图 1,点 A 为线段 BC 外一动点,且 BC=a,AB=b. 填空:当点 A 位于 CB 的延长线上 时,线段 AC 的长取得最大值,且最大值为 a+b (用含 a,b 的 式子表示) (2)应用:点 A 为线段 BC 外一动点,且 BC=3,AB=1,如图 2 所示,分别以 AB,AC 为边,作等边三 角形 ABD 和等边三角形 ACE,连接 CD,BE. ①请找出图中与 BE 相等的线段,并说明理由; ②直接写出线段 BE 长的最大值. (3)拓展:如图 3,在平面直角坐标系中,点 A 的坐标为(2,0),点 B 的坐标为(5,0),点 P 为线 段 AB 外一动点,且 PA=2,PM=PB,∠BPM=90°,请直接写出线段 AM 长的最大值及此时点 P 的坐

标.

【考点】三角形综合题. 【分析】(1)根据点 A 位于 CB 的延长线上时,线段 AC 的长取得最大值,即可得到结论; (2)①根据等边三角形的性质得到 AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°,推出△ CAD≌△EAB,根 据全等三角形的性质得到 CD=BE;②由于线段 BE 长的最大值=线段 CD 的最大值,根据(1)中的结论 即可得到结果; (3) 连接 BM, 将△ APM 绕着点 P 顺时针旋转 90°得到△ PBN, 连接 AN, 得到△ APN 是等腰直角三角形, BN=AM, 根据全等三角形的性质得到 PN=PA=2, 根据当 N 在线段 BA 的延长线时, 线段 BN 取得最大值, 即可得到最大值为 2 +3;如图 2,过 P 作 PE⊥x 轴于 E,根据等腰直角三角形的性质即可得到结论.

【解答】解:(1)∵点 A 为线段 BC 外一动点,且 BC=a,AB=b,

∴当点 A 位于 CB 的延长线上时,线段 AC 的长取得最大值,且最大值为 BC+AB=a+b, 故答案为:CB 的延长线上,a+b;

(2)①CD=BE, 理由:∵△ABD 与△ ACE 是等边三角形, ∴AD=AB,AC=AE,∠BAD=∠CAE=60°, ∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC, 即∠CAD=∠EAB, 在△ CAD 与△ EAB 中, ∴△CAD≌△EAB, ∴CD=BE; ②∵线段 BE 长的最大值=线段 CD 的最大值, 由(1)知,当线段 CD 的长取得最大值时,点 D 在 CB 的延长线上, ∴最大值为 BD+BC=AB+BC=4; ,

(3)连接 BM,将△ APM 绕着点 P 顺时针旋转 90°得到△ PBN,连接 AN, 则△ APN 是等腰直角三角形, ∴PN=PA=2,BN=AM, ∵A 的坐标为(2,0),点 B 的坐标为(5,0), ∴OA=2,OB=5, ∴AB=3, ∴线段 AM 长的最大值=线段 BN 长的最大值, ∴当 N 在线段 BA 的延长线时,线段 BN 取得最大值, 最大值=AB+AN, ∵AN= AP=2 , +3;

∴最大值为 2

如图 2,过 P 作 PE⊥x 轴于 E, ∵△APN 是等腰直角三角形, ∴PE=AE= ∴OE=BO﹣ , ﹣3=2﹣ ,

∴P(2﹣



).

【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰直角三角形的性质,最大值问题,旋转的性质.正确 的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键.

23.如图 1,直线 y=﹣ x+n 交 x 轴于点 A,交 y 轴于点 C(0,4),抛物线 y= x2+bx+c 经过点 A,交 y 轴于点 B(0,﹣2).点 P 为抛物线上一个动点,过点 P 作 x 轴的垂线 PD,过点 B 作 BD⊥PD 于点 D, 连接 PB,设点 P 的横坐标为 m. (1)求抛物线的解析式; (2)当△ BDP 为等腰直角三角形时,求线段 PD 的长; (3)如图 2,将△ BDP 绕点 B 逆时针旋转,得到△ BD′P′,且旋转角∠PBP′=∠OAC,当点 P 的对应点 P′ 落在坐标轴上时,请直接写出点 P 的坐标.

【考点】二次函数综合题. 【分析】(1)先确定出点 A 的坐标,再用待定系数法求出抛物线解析式; (2)由△ BDP 为等腰直角三角形,判断出 BD=PD,建立 m 的方程计算出 m,从而求出 PD; (3)分点 P′落在 x 轴和 y 轴两种情况计算即可.

【解答】解:(1)∵点 C(0,4)在直线 y=﹣ x+n 上, ∴n=4, ∴y=﹣ x+4, 令 y=0, ∴x=3, ∴A(3,0), ∵抛物线 y= x2+bx+c 经过点 A,交 y 轴于点 B(0,﹣2). ∴c=﹣2,6+3b﹣2=0, ∴b=﹣ , ∴抛物线解析式为 y= x2﹣ x﹣2, (2)点 P 为抛物线上一个动点,设点 P 的横坐标为 m. ∴P(m, m2﹣ m﹣2),

∴BD=|m|,PD=| m2﹣ m﹣2+2|=| m2﹣ m|, ∵△BDP 为等腰直角三角形,且 PD⊥BD, ∴BD=PD, ∴|m|=| m2﹣ m|, ∴m=0(舍),m= ,m= , ∴PD= 或 PD= ; (3)∵∠PBP'=∠OAC,OA=3,OC=4, ∴AC=5, ∴sin∠PBP'= ,cos∠PBP'= , ①当点 P'落在 x 轴上时,过点 D'作 D'N⊥x 轴,垂足为 N,交 BD 于点 M, ∠DBD'=∠ND'P'=∠PBP', 如图 1,

ND'﹣MD'=2, ∴ ( m2﹣ m)﹣(﹣ m)=2, ∴m= (舍),或 m=﹣ ,

如图 2,

ND'+MD'=2, ∴ ( m2﹣ m)+ m=2, ∴m= ∴P(﹣ ,或 m=﹣ , (舍), )或 P( , ),

②当点 P'落在 y 轴上时,如图 3, 过点 D′作 D′M⊥x 轴,交 BD 于 M,过 P′作 P′N⊥y 轴, ∴∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′, ∵P′N=BM, ∴ ( m2﹣ m)= m, ∴m= ∴P( ∴P(﹣ , , , ). )或 P( , )或 P( , ).

【点评】此题是二次函数综合题,主要考查了待定系数法求函数解析式,锐角三角函数,等腰直角三角形 的性质,解本题的关键是构造直角三角形.


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