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1.5 函数y=sin(ωx+φ) 的图象


?1.5

y=Asin(ωx+φ)的图 像
?(一)

在物理中,简谐运动中单摆对平衡位置的位移y与时间x的关系、交流电的电 流y与时间x的关系等都是形y=Asin(ωx+φ) 的函数(其中A, ω, φ都是常数).
?

?下图是某次试验测得的交流电的电流y随时间x变化的图象 ?y
?6 ?4

?y
?6 ?4

?2

?2

?o
?-

?2

?4

?6

?8

?o ?x
?-

?0.01 ?0.

?0.03 ?0.

02

04

?x

2
?-

2
?-

4
?-

4
?-

6

6

?

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线有何关系?

交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线 有何关系?
?

答 : 交流电电流随时间变化的图象与正弦曲线很相似, 从解析式来看,函数y ? sin x就是函数y ? A sin(?x ? ? )在 A ? 1, ? ? 1,? ? 0时的情况.

你认为怎样讨论参数? , ? , A对y ? A sin(?x ? ? )的 图象的影响?

1.“五点法”作y=sinx图象的“五点”指:
3? (0, 0), ( ,1), (? , 0), ( , ? 1), (2? , 0) 2 2

?

2.“五点法”作图的步骤: 列表,描点,成图

(一)探索A,ω ,φ 对函数y=Asin(ω x+φ )(A>0, ω>0)图像的影响:
用“五点法”在同一坐标系画出下列几组函数(在一个周 期的)图象,并说明它们之间的关系:

探究一: y=sinx 与y=sin(x+π/3) 探究二: y=sin(x+π/3)与y=sin(2x+π/3) 探究三: y=sin(2x+π/3)与y=3sin(2x+π/3)

探究一
x

y=sinx 与y=sin(x+π/3) 0 0
?

?
2

? 0
2? 3

3? 2

2?

y ? sin x

1
?
6

-1
7? 6
3? 2

0
5? 3
2?

x

?
3

X ? x?

?
3
?
3 )

0

?
2

?

y ? sin( x ?

0

1

0

-1

0

y ? sin (x ?

?

y 3

)

1
o

yy y ? y y ? y ? y sin ? y ? y sin ? y sin ? sin ? sin ? sin ? sin x sin sin x sin x x x x x x x x

? ?? ?
2

3

? 6

? 2 ? 2 3

?

7? 3? 5? 6 2 3

2?

x

-1

规律一、φ对y=sin(x+φ)的图象的影响 一般地 , 函数 y=sin(x+φ),(φ≠0) 的图象 , 可 以看作是把y=sinx的图象上所有的点向左(当φ>0时 )或向右(当φ<0时)平行移动|φ|个单位而得到.

探究二: y=sin(x+π/3)与y=sin(2x+π/3)
x
X ? x?

?
?
3
?
3 )

?
3

?
6

2? 3

7? 6
3? 2

5? 3
2?

0 0
?

?
2

? 0
?
3

y ? sin( x ?

1
?
12

-1
7? 12
3? 2

0
5? 6
2?

x
X ? 2x ?

?
6

?
3

0
?
3 )

?
2

?
0

y ? sin(2 x ?

0

1

-1

0

y
3 2 1 2?
5? 6

o
?

2? 3
? ? 12 6

?
3

?

?
6

? 3

7? 12

7? 6

-1

-2
-3

? y=sin(x+ )① 3 ? y=sin(2x + )② 3
10

5? 3

x

规律二、ω对y=sin(ωx+φ)的图象的影响

一般地 , 函数 y=sin(ωx+φ ) 的图象 , 可以看作是把 y=sin(x+φ ) 的图象上所有 点 的 横 坐 标 缩 短 ( 当 ω >1 时 ) 或 伸 长 ( 当 0<ω<1时)到原来的 1/ω (纵坐标不变)而 得到的.

探究三: y=sin(2x+π/3)与y=3sin(2x+π/3)
x
X ? 2x ?

?
?
3

?
6

?
12

?
3

?

7? 12
3? 2

5? 6

0
)

2

? 0
?
3

2?

y ? sin(2 x ?

?
3

0
?

1
?
12

-1
7? 12
3? 2

0
5? 6

x
X ? 2x ?

?
6

?
3
?
3 )

0 0

?
2

? 0

2?

y ? 3sin(2 x ?

3

-3

0

y
3 2 1

? y=3sin(2x+ ) 3

o
?

?
6

? 12

? 3

7? 12

5? 6

x

-1

-2

? y=sin(2x + ) 3

-3

规律三、A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响
一般地 , 函数 y=Asin(ωx+φ)(A>0) 的图象可以看作是把 y=sin(ωx+φ) 上所有点的纵坐标伸长 ( 当 A>1 时 ) 或缩短 ( 当 0<A<1时)到原来的A倍(横坐标不变)而得到.

参数φ, ω, A 对图象的影响
Φ:沿x轴平 移 |φ|个单位 , 口诀: “左加” “右减” ω: 横坐标伸长或缩短为原来的1/ω

A:纵坐标伸长或缩短为原来的A倍

(二)探索y=Asin(ωx+φ)和y=sinx的图象关系

例、如何由

y ? sin x 变换得 ? y ? 3 sin ( 2 x ? )的图象? 3

) 方法1: (按? , ? , A顺序变换
y
3
2 1

? y=3sin(2x+ 3 )

y=sinx ?

o
?

?
3

?

? 6 -1

? ? 6 3

7 2 5? ? ? 12 3 6

7 ? 6

5? 3

2?

x

-2
-3

? y=sin(x+ ) 3 ? y=sin(2x+ ) 3

◆思考:还有其他的变换方法吗?

关键 :如何由 y ? sin(2 x) 图象变成

y ? sin(2 x ?

?

3

) 的图象?

探究:y=sin(2x)和y=sin(2x+π/3)图象关系
x

0

?
4

?
2

3? 4
3? 2

?
2?

y ? sin 2 x

X ? 2x
y ? sin(2 x)

?

0 0
?

2

? 0
?
3

1
?
12

-1
7? 12
3? 2

0
5? 6
2?

? 向左平移 6

个单位

x
X ? 2x ?

?
6

?
3

0 0

?
2

? 0

? y ? sin(2 x ? ) 3

1

-1

0

? y ? sin(2( x ? )) 6

(按? , ? , A顺序变换 ) 方法2:
y

3
2 1

? y=3sin(2x+ ) 3

y=sinx
?
? 3
5? 6

o
? ? 6
-1

? 3

5? 3

2?

x

-2

y=sin2x ? y=sin(2x+ ) 3

-3

(1)为了得到函数 y ? 3 sin( x ? )的图象, 只要 5 把C上所有的点??C? ( A)向右平行移动 ( B )向左平行移动

1.选择题 :已知函数y ? 3sin( x ? )的图象为C. 5 ?

?

? ?
5

个单位长度. 个单位长度.

5 2? (C )向右平行移动 个单位长度. 5 2? ( D )向左平行移动 个单位长度. 5

1.选择题 :已知函数y ? 3sin( x ? )的图象为C. 5
(2)为了得到函数 y ? 3 sin(2 x ? )的图象, 只要 5 ? 把C上所有的点??B ( A)横坐标伸长到原来的 2倍, 纵坐标不变 1 ( B)横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 2 (C )纵坐标伸长到原来的 2倍, 横坐标不变 1 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 2

?

?

1.选择题 :已知函数y ? 3sin( x ? )的图象为C. 5 ? (3)为了得到函数 y ? 4 sin( x ? )的图象, 只要 5 ? 把C上所有的点??C 4 ( A)横坐标伸长到原来的 倍, 纵坐标不变 3 3 ( B )横坐标缩短到原来的 倍, 纵坐标不变 4 4 (C )纵坐标伸长到原来的 倍, 横坐标不变 3 3 ( D)纵坐标缩短到原来的 倍, 横坐标不变 4

?

x ? x 3.要得到函数 y ? sin( ? )的图象, 可由y ? sin 2 6 2 的图象??C? A. 向右平移 B. 向左平移 C. 向右平移 D. 向左平移

?
6

?
6

?
3

?
3

y ? sin x 图象变成 1 ? y ? 2 sin( x ? )的图象? 3 6
如何由

小结:y=Asin(ωx+φ)和y=sinx的图象关系
作y=sinx(长度为2?的某闭区间) 沿x轴平移 |φ|个单位 y=sin(x+φ) 横坐标 变为1/ω 横坐标 变为1/ω y=sinωx
? 沿x轴平移 ? 个单位

y=sin(ωx+φ) 纵坐标 变为A倍

y=Asin(ωx+φ) 的图象,先在一个周期 闭区间上再扩充到R上

1 ? 由 y ? 2sin( x ? ) 的图象经过怎样的 3 6
变换得到 y ? sin x 的图象?


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