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世纪金榜2017全国卷1教师用书配套课件6.4


第四节
合情推理与演绎推理

【知识梳理】 1.合情推理 类型 定义 部分 对象具 由某类事物的_____ 特别 整体 、 部分 到_____ 由_____ 个别 到_____ 一般 由_____

归纳 有某些特征,推出该类事物 全部 对象都具有这些特 推理 的_____ 征的推理

类型

定义

特别 特殊 到_____ 特殊 由_____

类似 由两类对象具有某些_____ 特征 _____ 和其中一类对象的某 类比 特征 推出另一类对 推理 些已知_____, 特征 的推理 象也具有这些_____

归纳推理和类比推理都是根据已有的事实,经 合情 过观察、分析、比较、联想,再进行归纳、 推理 类比 然后提出_____ 猜想 的推理 _____,

2.演绎推理
(1)定义:从一般性的原理出发,推出某个特殊情况下的 结论,我们把这种推理称为演绎推理.简言之,演绎推理 特殊 的推理. 是由一般到_____

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式,包括: 一般原理 ①大前提——已知的_________; 特殊情况 ②小前提——所研究的_________; 一般原理 对特殊情况作出的判断. ③结论——根据_________,

【特别提醒】 合情推理与演绎推理的关系 (1)合情推理的结论是猜想,不一定正确;演绎推理在大 前提、小前提和推理形式都正确时,得到的结论一定正 确.

(2)合情推理是发现结论的推理;演绎推理是证明结论 的推理.

【小题快练】
链接教材 练一练

1.(选修1-2教材P30练习T1改编)已知数列{an}中, a1=1,n≥2时,an=an-1+2n-1,依次计算a2,a3,a4后, 猜想an的表达式是( )

A.an=3n-1 B.an=4n-3

C.an=n2

D.an=3n-1

【解析】选C.a1=1,a2=4,a3=9,a4=16,猜想an=n2.

2.(选修1-2P30练习T2改编)如图,根据图中的数构成 的规律,得a表示的数是( )

A.12

B.48

C.60

D.144

【解析】选D.由题干图中的数据可知,每行除首末两
数外,其他数等于其上一行两肩上的数字的乘积.所以 a=12×12=144.

感悟考题

试一试

3.(2014·全国卷Ⅰ)甲、乙、丙三位同学被问到是否 去过A,B,C三个城市时,

甲说:我去过的城市比乙多,但没去过B城市;
乙说:我没去过C城市; 丙说:我们三人去过同一城市.

由此可判断乙去过的城市为

.

【解析】由丙可知,乙至少去过一个城市,由甲说可知
甲去过A,C,且比乙多,故乙只去过一个城市,且没有去 过C城市,故乙只去过A城市.

答案:A

4.(2016·邵阳模拟)在平面几何中:△ABC的∠C内角平 分线CE分AB所成线段的比为 AC ? AE . 把这个结论类比
BC BE

到空间:在三棱锥A-BCD中(如图),DEC平分二面角A-CD-B
且与AB相交于点E,则得到类比的结论是 .

【解析】由平面中线段的比转化为空间中面积的
AE S? ACD ? . 比可得 EB S? BCD 答案: AE ? S? ACD EB S? BCD

考向一

类比推理

【典例1】(1)(2016·蚌埠模拟)已知双曲正弦函数
ex ? e? x ex ? e? x shx= 和双曲余弦函数chx= 与我们学过的 2 2

正弦函数和余弦函数有许多类似的性质,请类比正、余

弦函数的和角或差角公式,写出双曲正弦函数或双曲余
弦函数的一个类似的正确结论 .

(2)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,设a,b,c分别表示三 条边的长度,由勾股定理,得c2=a2+b2.

类比平面内直角三角形的勾股定理,
试给出空间中四面体性质的猜想.

x ?x e ? e 【解题导引】(1)将双曲正弦函数shx= 和双曲 2 x ?x e ? e 余弦函数chx= ,右端相乘,化简整理,再对比正 2

弦、余弦函数和角、差角公式格式可得结论.
(2)考虑到直角三角形的两条边互相垂直,我们可以选 取有3个面两两垂直的四面体,作为直角三角形的类比

对象.

【规范解答】(1)chxchy-shxshy
ex ? e? x e y ? e? y ex ? e? x e y ? e? y ? ? ? ? 2 2 2 2 = 1 (ex+y+ex-y+e-x+y+e-x-y-ex+y+ex-y+e-x+y-e-x-y) 4 ?? x ? y ? x?y 1 e ? e = [2ex-y+2e-(x-y)]= 4 2

=ch(x-y).

答案:ch(x-y)=chxchy-shxshy

(2)如题图所示,在Rt△ABC中,∠C=90°. 设a,b,c分别表示3条边的长度,由勾股

定理,得c2=a2+b2.
类似地,在四面体P-DEF中,∠PDF=∠PDE =∠EDF=90°.设S1,S2,S3和S分别表示△PDF,△PDE,

△EDF和△PEF的面积,相应于直角三角形的2条直角边 a,b和1条斜边c,图中的四面体有3个“直角面”S1,S2, S3和1个“斜面”S.于是,类比勾股定理的结构,我们猜 想S2=S12+S22+S32成立.

【母题变式】 1.把本例(2)条件“由勾股定理,得c2=a2+b2”换成

“cos2A+cos2B=1”,则在空间中,给出四面体性质的猜
想.

【解析】如图,在Rt△ABC中,

2 2 b a a ? b cos2A+cos2B= ( )2 ? ( )2 ? 2 ? 1. c c c

于是把结论类比到四面体P-A′B′C′中,我们猜想,三
棱锥P-A′B′C′中,若三个侧面PA′B′,PB′C′, PC′A′两两互相垂直,且分别与底面所成的角为

α,β,γ,则cos2α+cos2β+cos2γ=1.

2.本例(2)条件改为“如图,作CD⊥AB于点D,则有
1 1 1 ? 2 ? 2 ”.类比该性质,试给出空间中四面体性质 2 CD a b

的猜想.

【解析】类比猜想: 四面体ABCD中,AB,AC,AD两两垂直,AE⊥平面BCD,

则 1 ? 1 ? 1 ? 1 . 2 2 2 2
AE AB AC AD

如图,连接BE交CD于点F,连接AF,

因为AB⊥AC,AB⊥AD,AC∩AD=A, 所以AB⊥平面ACD,而AF?平面ACD,所以AB⊥AF.

在Rt△AEF中,AE⊥BF,
所以 1 2 ? 1 2 ? 1 2 ,易知在Rt△ACD中,AF⊥CD,
AE AB AF

所以 1 2 ? 1 2 ? 1 2 ,所以 1 2 ? 1 2 ? 1 2 ? 1 2 ,
AF AC AD AE AB AC AD

猜想正确.

【规律方法】 1.类比推理的几个角度

类比推理是由特殊到特殊的推理,可以从以下几个方面
考虑类比:

①类比定义; ②类比性质; ③类比方法; ④类比结构.

2.类比推理的一般步骤 (1)找出两类事物之间的相似性或一致性.

(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质,得出
一个明确的命题(猜想).

【变式训练】(2016·湖北八校联考)已知△ABC的顶点
2 2 x y A,B分别是离心率为e的圆锥曲线 ? =1的焦点.顶点 m n

C在该曲线上;一同学已正确地推得:当m>n>0时有

e(sinA+sinB)=sinC.类似地,当m>0,n<0时,有

.

【解题提示】把椭圆性质和双曲线性质类比结合解三 角形推导结论.

2 2 x y 【解析】当m>n>0时, ? ? 1 为椭圆, m n

|AC|+|BC|= 2 m,
由正弦定理知, AC sin B sin A sin C sin B ? sin A 2 m 2c c sin C ? ? ?e? ? sin A ? sin B sin C m sin A ? sin B ? BC ? AB ? AC ? BC ? AB sin C

?e(sinA+sinB)=sinC.

2 2 x y 当m>0,n<0时, ? ? 1 为双曲线, m n ||AC|-|BC||= 2 m,

由正弦定理, 知

AC sin B

?

BC sin A

?

AB sin C

?

||AC | ? | BC|| | AB| ? |sin B ? sin A| sin C

2 m 2c c sin C ? ? ?e? ? sin A ? sin B sin C m sin A ? sin B

e|sinA-sinB|=sinC.

答案:e|sinA-sinB|=sinC

【加固训练】
??? ??? ? 1.如图所示,椭圆中心在坐标原点,F为左焦点,当 FB ? AB

时,其离心率为 5 ? 1 ,此类椭圆被称为
2

“黄金椭圆”.类比“黄金椭圆”,可
推算出“黄金双曲线”的离心率e等于(
A. 5 ?1 2 B. 5 ?1 2 C. 5 ? 1 D. 5 ? 1

)

??? ? ??? ? 【解题提示】根据“黄金椭圆”的性质是 FA ? AB ,

可以得到“黄金双曲线”也满足这个性质.
2 2 x y 【解析】选A.设“黄金双曲线”方程为 2 ? 2 ? 1, a b

则B(0,b),F(-c,0),A(a,0). 在“黄金双曲线”中,

??? ??? ? ??? ??? ? 因为FB ? AB ,所以FB?AB ? 0. ??? ??? ? 又 FB ? (c,b), AB ? ( ?a,b).

所以b2=ac.而b2=c2-a2,所以c2-a2=ac. 在等号两边同除以a2,得e= 5 ? 1 .
2

2.把一个直角三角形以两直角边为邻边补成一个矩形, 则矩形的对角线长即为直角三角形外接圆直径,以此可 求得外接圆半径r=
a 2 ? b 2 (其中a,b为直角三角形两直 2

角边长).类比此方法可得三条侧棱长分别为a,b,c且两 两垂直的三棱锥的外接球半径R= .

【解析】由平面类比到空间,把矩形类比为长方体,
a 2 ? b2 ? c2 从而得出外接球半径为 . 2 2 2 2 a ? b ? c 答案: 2

考向二

归纳推理
【考情快递】

命题方向

命题视角

与数列(数字) 主要是给出一些数字的排列或给出 有关的推理 一组数的排列,归纳猜想出规律 与不等式有关 主要是给出隐含一定规律的一组不 的推理 等式,求出规定的一个不等式

与图形有关的 主要是结合一些图形,根据图形的 推理 特点寻找规律

【考题例析】

命题方向1:与数列(数字)有关的推理
【典例2】(1)(2016·新乡模拟)从1开始的自然数按如 图所示的规则排列,现有一个三角形框架在图中上下或

左右移动,使每次恰有九个数在此三角形内,则这九个
数的和可以为 ( )

A.2 011 C.2 013

B.2 012 D.2 014

(2)(2013·湖北高考)古希腊毕达哥拉斯学派的数学家 研究过各种多边形数,如三角形数1,3,6,10,?,第n个 三角形数为 n ? n ? 1? ? 1 n 2 ? 1 n, 记第n个k边形数为N(n,
2 2 2

k)(k≥3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式:

三角形数 正方形数 五边形数 六边形数 ??

1 2 1 N(n,3)= n + n, 2 2

N(n,4)=n2,
3 2 1 N(n,5)= n - n, 2 2

N(n,6)=2n2-n,

可以推测N(n,k)的表达式,由此计算N(10,24)=

.

【解题导引】(1)设最上层的一个数为a,则第二层的三 个数为a+7,a+8,a+9,第三层的五个数为a+14,a+15, a+16,a+17,a+18,根据题意求和验证. (2)通过观察,得出N(n,k)的通项公式:N(n,k)=akn2+ bkn(k≥3),然后分别得出{ak}与{bk}的通项公式,便可 代入求解.

【规范解答】(1)选B.根据题干图所示的规则排列,设 最上层的一个数为a,则第二层的三个数为a+7,a+8,a+9, 第三层的五个数为a+14,a+15,a+16,a+17,a+18, 这9个数之和为a+3a+24+5a+80=9a+104. 由9a+104=2012,得a=212,是自然数.

1 2 1 n2 ? n (2)三角形数 N(n,3)= n ? n ? , 2 2 2 2 2n ? 0?n 正方形数 N(n,4)=n2= , 2 2 3 1 3n ?n 五边形数 N(n,5)= n 2 ? n ? , 2 2 2 2 4n ? 2n 2 六边形数 N(n,6)=2n -n= , 2 2 (k ? 2)n ? (k ? 4)n k边形数 N(n,k)= , 2

22 ?102 ? 20 ?10 2 200 ? 200 所以N(10,24)= =1000. ? 2 2

答案:1000

命题方向2:与不等式有关的推理 【典例3】(2016·宝鸡模拟)观察下列不等式
1 3 1? 2 ? , 2 2 1 1 5 1? 2 ? 2 ? , 2 3 3 1 1 1 7 1? 2 ? 2 ? 2 ? , 2 3 4 4 ?

照此规律,第五个不等式为

.

【解题导引】观察不等式两边式子的特点,总结指数、 项数、分子、分母之间的数量关系.

【规范解答】左边的式子的通项是 1 ? 12 ? 12 ???
2 3

1

? n ? 1?

2



右边式子的分母依次增加1,分子依次增加2,还可以发 现右边分母与左边最后一项分母的关系,所以第五个不 等式为 1 ? 12 ? 12 ? 12 ? 12 ? 12 ? 11 .
2 3 4 5 6 6 答案: 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 1 ? 11 22 32 42 52 62 6

命题方向3:与图形有关的推理 【典例4】(2016·成都模拟)某种平面分形图如图所示,

一级分形图是由一点出发的三条线段,长度均为1,两两
夹角为120°;二级分形图是在一级分形图的每条线段 的末端出发再生成两条长度为原来 1 的线段,且这两条
3

线段与原线段两两夹角为120°,?,依此规律得到n级 分形图.

(1)n级分形图中共有

条线段. .

(2)n级分形图中所有线段长度之和为

【解题导引】(1)根据图形找出线段的生发规律.
(2)由分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为 原来 1 的线段,可得n级分形图中第n级的所有线段的长
3

度为bn=3× ( 2 ) n ?1(n∈N*).
3

【规范解答】(1)分形图的每条线段的末端出发再生成 两条线段,由题图知,一级分形图有3=(3×2-3)条线段, 二级分形图有9=(3×22-3)条线段,三级分形图中有 21=(3×23-3)条线段,按此规律n级分形图中的线段条 数an=3×2n-3(n∈N*).

(2)分形图的每条线段的末端出发再生成两条长度为原

来 1 的线段,所以n级分形图中第n级的所有线段的长度
3

为bn=3×( 2 ) n ?1 (n∈N*),所以n级分形图中所有线段长度
3

2 n 1? ( ) 2 2 2 3 ? 9 ? 9 ? ( 2 )n . 之和为Sn=3 ? ( )0 ? 3 ? ( )1 ??? 3 ? ( ) n?1 ? 3 ? 2 3 3 3 3 1? 3 2 n * n 答案:(1)3×2 -3(n∈N ) (2)9-9× ( ) 3

【技法感悟】 归纳推理问题的常见类型及解题策略 (1)与“数字”相关问题:主要是观察数字特点,找出等 式左右两侧的规律.

(2)与不等式有关的推理:观察所给几个不等式两边式 子的特点,注意纵向看、找出隐含规律. (3)与图形有关推理:合理利用特殊图形归纳推理得出 结论.

【题组通关】 1.(2016·广元模拟)观察(x2)′=2x,(x4)′=4x3, (cosx)′=-sinx,由归纳推理可得:若定义在R上的函数 f(x)满足f(-x)=f(x),记g(x)为f(x)的导函数,则 g(-x)= A.f(x) ( ) B.-f(x) C.g(x) D.-g(x)

【解析】选D.由所给函数及其导数知,偶函数的导函数 为奇函数,因此当f(x)是偶函数时,其导函数应为奇函 数,故g(-x)=-g(x).

2.(2016·潮州模拟)如图是按一定规律排列的三角形 等式表,现将等式从左至右,从上到下依次编上序号,即 第一个等式为20+21=3,第二个等式为20+22=5,第三个等 式为21+22=6,第四个等式为20+23=9,第五个等式为 21+23=10??以此类推,则第99个等式为 ( )

20+21=3 20+22=5 21+22=6 20+23=9 21+23=10 22+23=12

20+24=17


21+24=18

22+24=20

23+24=24

A.27+213=8320

B.27+214=16512

C.28+214=16640

D.28+213=8448

【解析】选B.依题意,用(t,s)表示2t+2s,题中的等式 的规律为:第一行为3(0,1);第二行为5(0,2),6(1,2);

第三行为9(0,3),10(1,3),12(2,3);第四行为17(0,
4),18(1,4),20(2,4),24(3,4);??,又因为99=(1+2+ 3+?+13)+8,因此第99个等式应位于第14行的从左到右

的第8个位臵,即是27+214=16512.

3.(2013·陕西高考)观察下列等式:

12=1,
12-22=-3, 12-22+32=6, 12-22+32-42=-10, ?

照此规律,第n个等式可为

.

【解析】12=1, 12-22=-(1+2), 12-22+32=1+2+3, 12-22+32-42=-(1+2+3+4), ?

12-22+32-42+?+(-1)n+1n2

=(-1)n+1(1+2+?+n)=(-1)n+1

n ? n ? 1? 2

.

答案:12-22+32-42+?+(-1)n+1n2 =(-1)n+1
n ? n ? 1? 2

【加固训练】(2016·达州模拟)有一个奇数组 成的数阵排列如下: 1 5 11 3 9 7 15 17 13 23 25 … 21 … … … … …

19 29

27 …

… …

… …

… …

… …












.

则第30行从左到右第3个数是

【解析】观察每一行的第一个数,由归纳推理可得第30 行的第1个数是1+4+6+8+10+?+60=
30 ? ? 2 ? 60 ? 2

-1=929.

又第n行从左到右的第2个数比第1个数大2n,第3个数比

第2个数大2n+2,所以第30行从左到右的第2个数比第1
个数大60,第3个数比第2个数大62,故第30行从左到右 第3个数是929+60+62=1051.

答案:1051

考向三

演绎推理

【典例5】(2016·保定模拟)数列{an}的前n项和记为 Sn,已知a1=1,an+1= n ? 2 Sn(n∈N*),证明:
n

(1)数列 {Sn } 是等比数列.
n

(2)Sn+1=4an.

【解题导引】(1)利用an+1=Sn+1-Sn消去an+1.
Sn (2)根据 { } 是等比数列得到Sn+1与Sn-1的关系,再利用 n an= n ? 1 Sn-1证明. n ?1

n?2 【规范解答】(1)因为an+1=Sn+1-Sn,an+1= S n, n

所以(n+2)Sn=n(Sn+1-Sn),即nSn+1=2(n+1)Sn. 所以 Sn ?1 ? 2?Sn ,又 S1 ? 1 ? 0, (小前提)
n ?1 n 1

故 {Sn } 是以1为首项,2为公比的等比数列.(结论)
n

(大前提是等比数列的定义,这里省略了)

Sn ?1 Sn ?1 ? 4? (n ? 2), (2)由(1)可知 n ?1 n ?1 所以Sn+1=4(n+1)· Sn ?1 ? 4?n ? 1 ? 2 ?Sn ?1 n ?1 n ?1

=4an(n≥2)(小前提) 又a2=3S1=3,S2=a1+a2=1+3=4=4a1,(小前提) 所以对于任意正整数n,都有Sn+1=4an.(结论)

【误区警示】解答本题会出现以下错误:

不知利用an+1=Sn+1-Sn消去an+1,从而导致解题无思路.

【规律方法】三段论的依据及应用时的注意点 (1)三段论推理的依据是:如果集合M的所有元素都具有 性质P,S是M的子集,那么S中所有元素都具有性质P. (2)应用三段论的注意点:解决问题时,首先应该明确什 么是大前提,小前提,然后再找结论.

a (a>0,且a≠1). x a ? a 1 (1)证明:函数y=f(x)的图象关于点 ( 1 , ? ) 对称. 2 2

【变式训练】已知函数f(x)=-

(2)求f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)的值.

【解析】(1)函数f(x)的定义域为全体实数,任取一点
1 对称的点的坐标为(1-x,-1-y). (x,y),它关于点 ( 1 , ? ) 2 2

a a ax 由已知y ? ? x ,则 ? 1 ? y ? ?1 ? x ?? x , a ? a a ? a a ? a a a a ?a x ax f ?1 ? x ? ? ? 1?x ?? ?? ?? x , x a a ? a a ? a ?a a ? a ? a ax 1 所以-1-y=f(1-x),即函数y=f(x)的图象关于点 ( 1 , ? ) 2 2

对称.

(2)由(1)知-1-f(x)=f(1-x), 即f(x)+f(1-x)=-1. 所以f(-2)+f(3)=-1,f(-1)+f(2)=-1,f(0)+f(1)=-1. 则f(-2)+f(-1)+f(0)+f(1)+f(2)+f(3)=-3.

【加固训练】 1.“因为对数函数y=logax是增函数(大前提),而y= log 1 x
4

是对数函数(小前提),所以y= log 1 x 是增函数(结论)”,
4

以上推理错误的原因是

(

)

A.大前提错误导致结论错误 B.小前提错误导致结论错误 C.推理形式错误导致结论错误 D.大前提和小前提错误导致结论错误

【解析】选A.当a>1时,函数y=logax是增函数;当0<a<1
时,函数y=logax是减函数.故大前提错误导致结论错误.

2.(2016·惠州模拟)我们将具有下列性质的所有函数 组成集合M:函数y=f(x)(x∈D),对任意x,y, x ? y ∈D均 满足 f( x ? y ) ? 1 当且仅当x=y时等号成立. [f ? x ? ? f ? y ?],
2 2 2

(1)若定义在(0,+∞)上的函数f(x)∈M,试比较f(3)+ f(5)与2f(4)的大小. (2)设函数g(x)=-x2,求证:g(x)∈M.

【解析】(1)对于 f( x ? y ) ? 1 [f(x)+f(y)],令x=3,y=5
2 2

得f(3)+f(5)<2f(4).
2 2 x ? x x ? x 1 ? ? x ? x 1 2 1 2 2 (2) g( ) ? [g(x1)+g(x2)]= ? ? 1 2 2 4 2 2 x1 ? x 2 1 [g(x )+g(x )],所以 x1 ? x 2 ? ? 所以 g( )? 1 2 ? ? 0, 2 2 4 2

g(x)∈M.

3.已知函数y=f(x)满足:对任意a,b∈R,a≠b,都有 af(a)+bf(b)>af(b)+bf(a),试证明:f(x)为R上的单调 增函数.

【证明】设x1,x2∈R,取x1<x2,

则由题意得x1f(x1)+x2f(x2)>x1f(x2)+x2f(x1),
所以x1[f(x1)-f(x2)]+x2[f(x2)-f(x1)]>0, [f(x2)-f(x1)](x2-x1)>0,

因为x1<x2,所以f(x2)-f(x1)>0,f(x2)>f(x1).
所以y=f(x)为R上的单调增函数.


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