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四川省南充市2013届高三第一次高考适应性考试 数学文


南充市高 2013 届第一次高考适应性考试 数学理科答案
一、选择题(50 分) 题 号 1 答 案 A 2 D 3 C 4 A 5 B 2 13. 3 ; 6 C 7 D 8 A 9 D 10 C

二、填空题(25 分) 11.

8 ?? ;

12.

2 ;

14. 2 2 ;

15. 3018

说明:15 题更正如下:

三、解答题(75 分) 16.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ) 因为m ? n, 所以

3 ? sin B sinC ? cos B cos C ? 0???? 2分 2

( Ⅱ ) 若a ? 1, b ? 3c,由 余 弦 定 理 得

17.(本题满分 12 分) 解: (Ⅰ) ① 8 ② 0.44 ③ 6 ④ 0.12 …………………………4 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)得:P = 0.4 ① 该同学恰好答满 4 道题而获得一等奖,即前 3 道题中刚好答对 1 道题.第 4 道也能够答对
1 才获得一等奖 ,则有 C3 ? 0.4 ? 0.62 ? 0.4 ? 0.1728

……………………………6 分

②因为只要答对 2 道 题就终止答题,并获得一等奖,所以该同学答题个数为 2、3、4. 即 X= 2、3、4

P( X ? 2) ? 0.42 ? 0.16,

1 P( X ? 3) ? C2 0.4 ? 0.6 ? 0.4 ? 0.63 ? 0.408, 1 P( X ? 4) ? C3 0.4 ? 0.62 ? 0.432.

分布列为:

EX ? 2 ? 0.16 ? 3 ? 0.408 ? 4 ? 0.432 ? 3.272.
18.(本题满分 13 分) 解:(Ⅰ证明:因为 DE⊥平面 ABCD, 所以 DE⊥AC. 因为 ABCD 是正方形,所以 AC⊥BD, 从而 A C⊥平面 BDE.

……………………………12 分

……………………………4 分

(Ⅱ)因为 DA,DC,DE 两两垂直, 所以建立空间直 角坐标系 D-xyz 如图所示. 因为 BE 与平面 ABCD 所成角为 60° , 即∠DBE=60° , ED 所以 = 3. DB 因为正方形 ABCD 的边长为 3,所以 BD=3 2, 所以 DE=3 6,AF= 6. 则 A(3,0,0) ,F(3,0, 6),E (0,0,3 6),B(3,3,0),C(0,3,0), 所以 BF =(0,-3, 6), EF =(3,0,-2 6), 设平面 BEF 的法向量为 n=(x,y,z),

??? ?

??? ?

??? ? ?n· =0, BF ?-3y+ 6z=0, 则? ??? 即? ? ?3x-2 6z=0, EF ?n· =0,
令 z= 6,则 n=(4,2, 6). 因为 AC⊥平面 BDE,所以 CA 为平面 BDE 的一个法向量, CA =(3,-3,0),

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? n· CA 6 13 ? 所以 cos〈n, CA 〉= ??? = = . 26×3 2 13 |n|| CA |
因为二面角为锐角,所以二面角 F-BE-D 的余弦值为 (Ⅲ)点 M 是线段 BD 上一个动点,设 M(t,t,0). 则 AM =(t-3,t,0) , 因为 AM∥平面 BEF, 13 . ………… ………9 分 13

???? ?

所以 AM · n=0, 即 4(t-3)+2t=0,解得 t=2. 1 此时,点 M 坐标为(2,2,0),BM=3BD,符合题意. …………………………13 分 19.(本题满分 12 分)

???? ?

(Ⅱ)因为 a n ? n ,则 Sn ? 所以

n(n ? 1) , 2

1 2 1 1 ? ? 2( ? ) . ………10 分 S n n(n ? 1) n n ?1

1 1 1 1 1 1 1 1 1 ? ??? ? 2( [(1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? )] ? 2(1 ? ) ? 2 . …12 分 S1 S 2 Sn 2 2 3 n n ?1 n ?1

20.(本题满分 12 分)
2 x 2 ? y ? 1, (a ? b ? 0) 2 b2 解: (Ⅰ)设椭圆的方程为 a ,由已知得 b ? 1.

c ? 2 2 ? 3,? c ? 2. (c, 0) ,由题意得 2 设右焦点为 ? a 2 ? b2 ? c 2 ? 3 .

……………………………2 分

x2 ? y 2 ? 1 ? 椭圆的方程为 3 .

……………………4 分

21.(本题满分 14 分) 解:(Ⅰ)

1 f ' ( x) ? ln x ? 1( x ? 0), 令f ' ( x) ? 0, 得x ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?2分 e 1 1 ?当x ? (0, )时,f ' ( x) ? 0,当x ? ( ,??)时, f ' ( x) ? 0 e e 1 1 1 1 ?当x ? 时,f ( x) min ? ln ? ? . ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?4分 e e e e
(Ⅱ)
F ( x) ? ax 2 ? ln x ? 1( x ? 0). 1 2ax 2 ? 1 ? ( x ? 0). ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 5分 x x (1)当a ? 0时, 恒有F ' ( x) ? 0, F ( x)在(0,??)上是增函数; ????? 6分 ? F ' ( x) ? 2ax ? (2)当a ? 0时, 令F ' ( x) ? 0, 得2ax 2 ? 1 ? 0, 解得0 ? x ? ? 令F ' ( x) ? 0得2ax 2 ? 1 ? 0, 解得x ? ? 1 ; ????? 7分 2a

1 .?????? 8分 2a 综上 : 当a ? 0时, F ( x)在(0,??)上是增函数; 当a ? 0时, F ( x)在(0, ? 在( ? 1 )上单调递增, 2a

1 ,??)上单调递减.?????????? 9分 2a
f ' ( x2 ) ? f ' ( x1 ) ln x2 ? ln x1 ? . x2 ? x1 x2 ? x1 1 x2 ? x1 ? x2 , 即证x1 ? ? x2 , k ln x2 ? ln x1

(Ⅲ)
证:k ? 要证x1 ?

x2 ?1 x x1 等价于 ? 1 ? 2 ,?????10分 x2 x1 ln x1 令t ? x2 t ?1 , 则只要证 ? 1 ? t, x1 ln t

由t ? 1知 ln t ? 0, 故等价于证ln t ? t ? 1 ? t ln t (t ? 1)(*)???11分

(1)设g (t ) ? t ? 1 ? ln t (t ? 1), 1 则g ' (t ) ? 1 ? ? 0(t ? 1). t 故g (t )在[1,??)上是增函数。 ?当t ? 1时, g (t ) ? t ? 1 ? ln t ? g (1) ? 0, 即t ? 1 ? ln t (t ? 1).?????????12分 (2)设h(t ) ? t ln t ? (t ? 1)(t ? 1), 则h ' (t ) ? ln t ? 0(t ? 1), 故h(t )在[1,??)上是增函数, ?当t ? 1时, h(t ) ? t ln t ? (t ? 1) ? h(1) ? 0, 即t ? 1 ? t ln t (t ? 1). 由(1)(2)知(*)成 立 , 得 .????????14分 证


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