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江苏省宿迁市2014-2015学年高一上学期期末数学试卷


江苏省宿迁市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1. (5 分)集合 A={1,2}共有子集. 2. (5 分)计算 cos315°的值是. 3. (5 分)函数 f(x)=sin(2x﹣ )的最小正周期是.

4. (5 分)函数 f(x)=log3(x+2)+

的定义域是.

5. (5 分)计算

+(﹣



+log48 的值是.

6. (5 分)函数 f(x)=a

2x+1

+1(a>0,且 a≠1)图象恒过的定点坐标为.
a

7. (5 分)已知幂函数 f(x)=x 的图象经过点(8,4) ,则 f(27)﹣f(1)的值是. 8. (5 分)已知 sinα+cosα= ,且 0<α< ,则 sinα﹣cosα 的值为.

9. (5 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知单位圆 O 与 x 轴正半轴交于点 A, P (cos2, ﹣sin2) 为圆上一点,则劣弧
x

的弧长为.

10. (5 分)若方程 2 +x﹣5=0 在区间(n,n+1)上有实数根,其中 n 为正整数,则 n 的值为. 11. (5 分)将函数 f(x)=sinx 图象上每个点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) ,再奖得 到的图象向右平移 个单位长度,记所得图象的函数解析式为 y=g(x) ,则 g( )的值是.

12. (5 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=﹣f(x) ,且当 x∈[0,1]时,r(x) x =2 ﹣1,则 f(7)的值是.

13. (5 分)已知向量 =(cosx, ],则 f(x)的最大值为.

cosx) , =(cosx,sinx) ,若函数 f(x)= ? ,其中 x∈[0,

14. (5 分)如图,已知菱形 ABCD 中,AB=1,∠BAD=60°,E 是边 CD 的中点,若点 P 是线 段 EC 上的动点,则| |的取值范围是.

二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 15. (14 分)已知全集 U=R,集合 A={x|x﹣1≥0},B={x|(x+1) (x﹣2)≤0}. (1)求 A∩B (2)求?U(A∪B)

16. (14 分)已知向量 , 满足, + =(﹣ (1)求向量 , 的夹角 θ 值; (2)当(3 + )∥ 时,m 的值.

,3) , ﹣ =(3

,﹣1) , =(m,3) ,

17. (14 分)已知 (1)求 sinα 的值; (2)求 β 的值.



18. (16 分) 四边形 ABCD 是⊙O 的内接等腰梯形, AB 为直径, 且 AB=4. 设∠BOC=θ, ABCD 的周长为 L. (1)求周长 L 关于角 θ 的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2)当角 θ 为何值时,周长 L 取得最大值?并求出其最大值.

19. (16 分)已知函数 f(x)=lg (1)求 a 的值;

,其定义域为[﹣9,9],且在定义域上是奇函数,a∈R

(2)判断函数 f(x)的单调性,并用函数单调性定义证明你的结论; (3)若函数 g(x)=|f(x)+1|﹣m 有两个零点,求实数 m 的取值范围. 20. (16 分)已知函数 f(x)=x ﹣(a+1)x+3(x∈R,a∈R) . (1)若 a=1,写出函数 f(x)单调区间; (2)设函数 g(x)=log2x,且 x∈[ ,4],若不等式 f(g(x) )≥ 围; (3)已知对任意的 x∈(0,+∞)都有 lnx≤x﹣1 成立,试利用这个条件证明:当 a∈[﹣2, ] 时,不等式 f(x)>ln(x﹣1) 恒成立.
2 2

恒成立,求 a 的取值范

江苏省宿迁市 2014-2015 学年高一上学期期末数学试卷
参考答案与试题解析

一、填空题(共 14 小题,每小题 5 分,满分 70 分) 1. (5 分)集合 A={1,2}共有 4 子集. 考点: 专题: 分析: 解答:
2

子集与真子集. 集合. n 对于有限集合,我们有以下结论:若一个集合中有 n 个元素,则它有 2 个子集. 解:集合 A 有 2 个元素,

故有 2 =4 个子集. 故答案为:4. 点评: 本题考查了集合的子集个数,若一个集合中有 n 个元素,则它有 2 个子集,有(2 ﹣1)个真子集,属于基础题.
n n

2. ( 5 分)计算 cos315°的值是



考点: 运用诱导公式化简求值. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用诱导公式化简求值即可. 解答: 解:由于 cos315°=cos(360°﹣45°)=cos45°= 故答案为: . ;

点评: 本题考查运用诱导公式化简求值,属于基础题.

3. (5 分)函数 f(x)=sin(2x﹣

)的最小正周期是 π.

考点: 正弦函数的图象. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据三角函数的周期公式进行求解即可 解答: 解:由正弦函数的周期公式得函数的周期 T= 故答案为:π 点评: 本题主要考查三角函数的周期的计算,比较基础. 4. (5 分)函数 f(x)=log3(x+2)+ 的定义域是(﹣2,3]. ,

考点: 函数的定义域及其求法. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由对数的真数大于零、偶次根号下被开方数大于等于零,求出函数的定义域. 解答: 解:要使函数有意义,x 需满足: 解得﹣2<x≤3, 所以函数 f(x)的定义域是(﹣2,3], 故答案为: (﹣2,3]. 点评: 本题考查函数的定义域的求法,注意根据解析式和限制条件列出不等式组,定义域 要用集合或区间表示

5. (5 分)计算

+(﹣



+log48 的值是 2.

考点: 有理数指数幂的化简求值;对数的运算性质. 专题: 计算题. 分析: 根据指数幂的运算性质进行计算即可. 解答: 解:原式=2+ +

=2﹣ + =2; 故答案为:2. 点评: 本题考查了指数幂的运算性质,是一道基础题.
2x+1

6. (5 分)函数 f(x)=a

+1(a>0,且 a≠1)图象恒过的定点坐标为(﹣ ,2) .

考点: 指数函数的图像变换.

专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据指数函数过定点的性质,令指数 2x+1=0,进行求解即可. 解答: 解:由 2x+1=0 得 x= ,此时 f(x)=1+1=2,

故图象恒过的定点坐标为(﹣ ,2) , 故答案为: (﹣ ,2) 点评: 本题主要考查指数函数的过定点的性质,利用指数幂为 0 是解决本题的关键.比较 基础. 7. (5 分)已知幂函数 f(x)=x 的图象经过点(8,4) ,则 f(27)﹣f(1)的值是 8. 考点: 幂函数的概念、解析式、定义域、值域. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 根据幂函数 f(x)的图象经过点(8,4) ,求出 f(x)的解析式,再计算 f(27)﹣f (1)的值. 解答: 解:∵幂函数 f(x)=x 的图象经过点(8,4) , a ∴8 =4, 解得 a= , ∴f(x)= ; ﹣ =3 ﹣1=8.
2 a a

∴f(27)﹣f(1)=

故答案为:8. 点评: 本题考查了求幂函数的解析式以及利用函数的解析式求函数值的应用问题,是基础 题目.

8. (5 分)已知 sinα+cosα=

,且 0<α<

,则 sinα﹣cosα 的值为﹣



考点: 同角三角函数基本关系的运用. 专题: 三角函数的求值. 分析: 利用完全平方公式,先求出 2sinαcosα,即可得到结论. 解答: 解:由 sinα+cosα= 平方得 1+2sinαcosα= , 则 2sinαcosα= , ∵0<α< , ,

∴sinα﹣<cosα,即 sinα﹣cosα<0,

则 sinα﹣cosα=﹣ 故答案为:﹣ ;

=

=﹣



点评: 此题考查了同角三角函数基本关系的运用,熟练掌握基本关系是解本题的关键. 9. (5 分) 在平面直角坐标系 xOy 中, 已知单位圆 O 与 x 轴正半轴交于点 A, P (cos2, ﹣sin2) 为圆上一点,则劣弧 的弧长为 2.

考点: 专题: 分析: 解答: ∴劣弧 ∴劣弧

弧长公式. 三角函数的求值. 利用弧长公式即可得出. 解:A(1,0) ,P(cos2,﹣sin2)为圆上一点. 所对的圆心角为 2. 的弧长=2×1=2.

故答案为:2. 点评: 本题考查了弧长公式,属于基础题. 10. (5 分)若方程 2 +x﹣5=0 在区间(n,n+1)上有实数根,其中 n 为正整数,则 n 的值为 1. 考点: 函数零点的判定定理. 专题: 计算题;函数的性质及应用. x x 分析: 方程 2 +x﹣5=0 在区间(n,n+1)上有实数根可化为函数 f(x)=2 +x﹣5 在区间(n, n+1)上有零点,从而由零点的判定定理求解. x 解答: 解:方程 2 +x﹣5=0 在区间(n,n+1)上有实数根可化为 x 函数 f(x)=2 +x﹣5 在区间(n,n+1)上有零点, x 函数 f(x)=2 +x﹣5 在定义域上连续, f(1)=2+1﹣5<0,f(2)=4+2﹣5>0; x 故方程 2 +x﹣5=0 在区间(1,2)上有实数根, 故 n 的值为 1; 故答案为:1. 点评: 本题考查了方程的根与函数的零点的关系应用,属于基础题.
x

11. (5 分)将函数 f(x)=sinx 图象上每个点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) ,再奖得 到的图象向右平移 个单位长度, 记所得图象的函数解析式为 y=g (x) , 则g ( ) 的值是 .

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质.

分析: 按照左加右减的原则, 求出将函数 f (x) =sinx 图象上每个点的横坐标变为原来的 倍 (纵坐标不变) ,得到的函数解析式,再求出将得到的图象向右平移 的函数解析式,即可代入求值. 解答: 解:将函数 f(x)=sinx 图象上每个点的横坐标变为原来的 倍(纵坐标不变) ,得到 的函数解析式为:y=sin2x; 再将得到的图象向右平移 =sin(2x﹣ 则 g( ) , ﹣ )=sin = . 个单位长度, 记所得图象的函数解析式为: y=g (x) =sin2 (x﹣ ) 个单位长度,所得图象

)=sin(2× .

故答案为:

点评: 本题考查函数的图象的平移与伸缩变换,注意 x 的系数与函数平移的方向,属于易 错题,属于基础题. 12. (5 分)已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x+2)=﹣f(x) ,且当 x∈[0,1]时,r(x) =2 ﹣1,则 f(7)的值是﹣1. 考点: 函数奇偶性的性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 先根据 f(x+2)=﹣f(x)得到 f(x)=﹣f(x﹣2) ,所以 f(7)可以变成﹣f(1)= ﹣1. 解答: 解:由 f(x+2)=﹣f(x)得: f(x)=﹣f(x﹣2) ; 1 ∴f(7)=﹣f(5)=f(3)=﹣f(1)=﹣(2 ﹣1)=﹣1. 故答案为:﹣1. 点评: 考查由 f(x+2)=﹣f(x)能够得出 f(x)=﹣f(x﹣2) ,并且知道要求 f(7)需将 自变量的值 7 变化到区间[0,1]上.
x

13. (5 分)已知向量 =(cosx, ],则 f(x)的最大值为 .

cosx) , =(cosx,sinx) ,若函数 f(x)= ? ,其中 x∈[0,

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由已知将两个向量进行数量积的运算,然后利用倍角公式等化简三角函数式微一个 角的一个三角函数的形式,然后由角度的范围求最大值.

解答: 解:由已知,f(x)= ? =cos x+ + , 因为 x∈[0, ],所以(2x+ )∈[

2

cosxsinx=

=sin(2x+



],所以 f(x)的最大值为 1+ = ;

故答案为: . 点评: 本题考查了向量的数量积公式,倍角公式以及三角函数的化简求最值;属于经常考 查题型. 14. (5 分)如图,已知菱形 ABCD 中,AB=1,∠BAD=60°,E 是边 CD 的中点,若点 P 是线 段 EC 上的动点,则| |的取值范围是[ , ].

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 因为菱形 ABCD 中,AB=1,∠BAD=60°,E 是边 CD 的中点,所以 BE⊥AB,所以 以 B 为原点,AB,BE 所在是直线分别为 x,y 轴建立坐标系,分别写出所求中向量的坐标, 利用坐标运算解答. 解答: 解:因为菱形 ABCD 中,AB=1,∠BAD=60°,E 是边 CD 的中点,所以 BE⊥AB, 所以以 B 为原点,AB,BE 所在是直线分别为 x,y 轴建立坐标系, 因为菱形 ABCD 中,AB=1,∠BAD=60°,E 是边 CD 的中点,所以 A(﹣1,0) ,C( , D(﹣ , 所以 ) ,设 P(x, ) ,其中 x∈[0, ], ) , =(x, ) ,所以 =x +x+ ,|
2

) ,

=(x+ ,0) ,

=(x+1,

|=|x+ |,

所以|

|=

=

=



,当且仅当 2x+1=

,即

x=

时等号成立,当 x=0 时,|

|= ,

所以|

|的取值范围为[ ,

];

故答案为:[ ,

].

点评: 本题考查了向量的坐标运算;关键是适当建立坐标系,利用代数的方法解答. 二、解答题(共 6 小题,满分 90 分) 15. (14 分)已知全集 U=R,集合 A={x|x﹣1≥0},B={x|(x+1) (x﹣2)≤0}. (1)求 A∩B (2)求?U(A∪B) 考点: 交、并、补集的混合运算;交集及其运算. 专题: 集合. 分析: 求出集合 A,B,利用集合的基本运算进行求解即可. 解答: 解: (1)由题意得 A={x|x﹣1≥0}={x|x≥1},B={x|(x+1) (x﹣2)≤0}={x|﹣1≤x≤2}. 所以 A∩B={x|1≤x≤2} (2)因为 A∪B={x|x≥﹣1}, 所以?U(A∪B)={x|x<﹣1} 点评: 本题主要考查集合的基本运算,要求熟练掌握集合的交并补运算,比较基础.

16. (14 分)已知向量 , 满足, + =(﹣ (1)求向量 , 的夹角 θ 值; (2)当(3 + )∥ 时,m 的值.

,3) , ﹣ =(3

,﹣1) , =(m,3) ,

考点: 平面向量数量积的运算;平面向量共线(平行)的坐标表示. 专题: 平面向量及应用. 分析: 由已知求出向量 , 的坐标,然后解答. 解答: 解:由已知 + =(﹣ 2) , 所以(1)向量 , 的夹角 θ 余弦值为 cosθ= = = ,所以 θ= ; ,3) , ﹣ =(3 ,﹣1) ,得 =( ,1) , =(﹣2 ,

(2)由(1)可知 3 + =(

,5) ,当(3 + )∥ 时,得 3

=5m,所以 m=



点评: 本题考查了向量的加减、数量积的坐标运算,以及利用数量积求向量的夹角.

17. (14 分)已知 (1)求 sinα 的值; (2)求 β 的值.



考点: 三角函数的恒等变换及化简求值. 专题: 计算题. 分析: (1)利用二倍角公式求出 tanα,利用同角三角函数的基本关系求出 sin α 的值. (2)根据角的范围求出 sin(α﹣β) ,可得 tan(α﹣β)的值,进而求得 tanβ 的值,根据 β 范 围求出 β 的大小. 解答: 解: (1)∵ ∴tanα= = .∵tanα= ,sin α+cos α=1,
2 2



∴sin α= ,cos α= . (2)∵ , ,∴sin(α﹣β)=﹣ ,

∴tan(α﹣β)=

=﹣7=

=



∴tanβ=﹣1,∴β=



点评: 本题考查同角三角函数的基本关系,诱导公式的应用,两角和差的三角公式的应用, 要特别注意三角函数值的符号. 18. (16 分) 四边形 ABCD 是⊙O 的内接等腰梯形, AB 为直径, 且 AB=4. 设∠BOC=θ, ABCD 的周长为 L. (1)求周长 L 关于角 θ 的函数解析式,并指出该函数的定义域; (2)当角 θ 为何值时,周长 L 取得最大值?并求出其最大值.

考点: 函数解析式的求解及常用方法;函数的最值及其几何意义. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由三角形中的正弦定理得到 BC=4 .再由直角三角形中的边角关系求得

DC=4cosθ. 则周长 L 关于角 θ 的函数解析式可求,并结合实际意义求得函数的定义域; (2)把 L= 即 化为关于 的二次函数,利用配方法求得当 ,

时,周长 L 取得最大值 10.

解答: 解: (1)由题意可知,

,BC=4



,DC=4cosθ. ∴周长 L 关于角 θ 的函数解析式为:L=4+2BC+DC= (2)由 L= = 当 ∴当 ,即 , = 时,Lmax=10. . (0<θ ) ;

时,周长 L 取得最大值 10.

点评: 本题考查了函数解析式的求解及常用方法,考查了与三角函数有关的函数最值的求 法,是中档题. ,其定义域为[﹣9,9],且在定义域上是奇函数,a∈R

19. (16 分)已知函数 f(x)=lg

(1)求 a 的值; (2)判断函数 f(x)的单调性,并用函数单调性定义证明你的结论; (3)若函数 g(x)=|f(x)+1|﹣m 有两个零点,求实数 m 的取值范围. 考点: 对数函数的图像与性质;函数零点的判定定理. 专题: 函数的性质及应用. 分析: (1)由奇函数的定义,得 f(﹣x)=﹣f(x) ,求出 a 的值; (2)函数单调性的定义,判断并证明 f(x)在定义域上的单调性即可; (3)考查函数 y=|f(x)+1|的图象与性质,得出 g(x)=|f(x)+1|﹣m 有两个零点, 即关于 x 的方程|f(x)+1|=m 有两个互异实根,?求出满足条件的 m 的取值范围即可. 解答: 解: (1)因为函数 f(x)=lg 所以 f(﹣x)=﹣f(x) ,即 lg 所以
2 2

是定义域为[﹣9,9]上的奇函数, ,…(2 分)

=﹣lg

=
2


2

即 a ﹣x =100﹣x ,则 a =100, 得 a=10 或 a=﹣10; 当 a=﹣10 时,f(x)=lg(﹣1)无意义, 所以 a=10;…(4 分) (注:若用 f(0)=0 解得 a=10,未加以代入检验扣 2 分) (2)由(1)知函数 f(x)=lg ,该函数是定义域上的减函数;…(5 分)

证明:设 x1、x2 为区间[﹣9,9]上的任意两个值,且 x1<x2, 则 x2﹣x1>0,…(6 分) f(x1)﹣f(x2)=lg ﹣lg

=lg

;…(8 分)

因为[100﹣x1x2+10(x2﹣x1)]﹣[100﹣x1x2+10(x1﹣x2)]=20(x2﹣x1)>0, 所以 100﹣x1x2+10(x2﹣x1)>100﹣x1x2+10(x1﹣x2) , 又因为 100﹣x1x2+10(x1﹣x2)=(10+x1) (10﹣x2)>0, 所以 100﹣x1x2+10(x2﹣x1)>100﹣x1x2+10(x1﹣x2)>0; 则 >1,

lg 所以 f(x1)>f(x2) ; 所以函数 f(x)=lg

>0,

是定义域上的减函数;

…(10 分)

(3)|f(x)+1|=



要使 g(x)=|f(x)+1|﹣m 有两个零点, 即关于 x 的方程|f(x)+1|=m 有两个互异实根,…(11 分) ?当﹣9≤x≤ 时, +1 在区间[﹣9, ]上单调减,

y=|f(x)+1|=lg

所以函数 y=|f(x)+1|的值域为[0,1+lg19];…(13 分) ?当 ≤x≤9 时, ﹣1 在区间[ ,9]上单调增,

y=|f(x)+1|=﹣lg

所以函数 y=|f(x)+1|的值域为[0,﹣1+lg19];…(15 分) 所以实数 m 的取值范围为(0,﹣1+lg19].…(16 分) 点评: 本题考查了函数的奇偶性与单调性的应用问题,也考查了对数函数、分段函数的应 用问题,考查了分类讨论思想的应用问题,是综合性题目. 20. (16 分)已知函数 f(x)=x ﹣(a+1)x+3(x∈R,a∈R) . (1)若 a=1,写出函数 f(x)单调区间;
2

(2)设函数 g(x)=log2x,且 x∈[ ,4],若不等式 f(g(x) )≥ 围;

恒成立,求 a 的取值范

(3)已知对任意的 x∈(0,+∞)都有 lnx≤x﹣1 成立,试利用这个条件证明:当 a∈[﹣2, ] 时,不等式 f(x)>ln(x﹣1) 恒成立. 考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;函数恒成立问题;二次函数的性质. 专题: 函数的性质及应用. 2 分析: (1)原函数化简为 f(x)=(x﹣1) +2,根据二次函数的图象和性质即可得到单调 区间; (2)先求出 g(x)的值域,原不等式可化为 t ﹣(a+1)t+3≥
2 2

,构造函数 h(t) ,根据二

次函数的性质分类讨论,求出函数 h(t)的最小值,再解不等式,即可得到答案; (3)分别根据当 x>1 或 0<x<1,充分利用所给的条件,根据判别式即可证明. 2 2 解答: 解: (1)当 a=1 时,f(x)=x ﹣2x+3=(x﹣1) +2, 所以函数的单调减区间为(﹣∞,1) ,增区间为[1,+∞) . ) (2)因为 x∈[ ,4],所以 g(x)=log2x∈[﹣1,2], 设 t=g(x) 则∈[﹣1,2], ∴f(g(x) )≥
2

可化为 t ﹣(a+1)t+3≥

2

. ,

令 h(t)=t ﹣(a+1)t+3,其对称轴为 t= ①当

≤﹣1,即 a≤﹣3 时,h(t)在[﹣1,2]上单调递增,

所以 h(t)min=h(﹣1)=1+a+1+3=a+5, 由 a+5≥ 得 a≥﹣7,

所以﹣7≤a≤﹣3; ②当﹣1< <2 即﹣3<a<3 时, )上递减,在( ,2)上递增,

函数 h(t)在(﹣1,

所以 h(t)min=h(

)=﹣

+3.

由﹣

+3≥

,解得﹣5≤a≤1.

所以﹣3<a≤1. ③当 ≥2,即 a≥3 时,函数 h(t)在﹣1,2]递减,

所以 h(t)min=h(2)=5﹣2a,

由 5﹣2a≥

,得 a≤ ,舍去.

综上:a∈[﹣7,1]. 2 (3)?当 x>1 时,ln(x﹣1) =2ln(x﹣1) , 由题意 x∈(0,+∞)都有 lnx≤x﹣1 成立, 可得 x>1 时,2ln(x﹣1)≤2x﹣4, ∴f(x)﹣(2x﹣4)=x ﹣(a+1)x+3﹣2x+4=x ﹣(a+3)x+7, 当 a∈[﹣2, ]时,△ =(a+3) ﹣28<0 恒成立, 所以 f(x)﹣(2x﹣4)>0 恒成立,即 f(x)>2x﹣4 恒成立, 2 所以 f(x)>ln(x﹣1) 恒成立. 2 ?当 0<x<1 时,ln(x﹣1) =2ln(1﹣x) , 由题意可得 2ln(1﹣x)≤﹣2x, 2 f(x)﹣(﹣2x)=x ﹣(a﹣3)x+3, 2 因为,△ =(a﹣1) ﹣12, 当当 a∈[﹣2, ]时,△ <0 恒成立, 所以 f(x)﹣(﹣2x)>0,即 f(x)>﹣2x 恒成立, 2 所以 f(x)>ln(x﹣1) 恒成立, 2 综上,f(x)>ln(x﹣1) 恒成立. 点评: 本题考查了函数的单调性,参数的取值范围,不等式证明,关键是掌握二次函数的 性质,需要分类讨论,运算过程大,属于难题.
2 2 2


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