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2013-2014学年实验中学高二年级数学期末考试试卷及答案(文科)


2013-2014 学年高二年级数学期末考试(文科)
第Ⅰ卷为选择题,共 60 分;第Ⅱ卷为非选择题共 90 分。满分 150 分,考试时间为 120 分钟。 7.已知正四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, AB ? 2, CC1 ? 2 2, E 为 CC1 的中点,则直线 AC1 与平面 BED 的距离为( A.2 B. 3
2

第Ⅰ卷(选择题共 60 分)
一、选择题: (本题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是最符合题目要)
1.已知集合 A ? {1, 2,3, 4,5} , B ? {( x, y) x ? A, y ? A, x ? y ? A} ;,则 B 中所含元素的个数为 A.3 B.6 C.8 D.10

)

C. 2
2 2

D.1 ) D.不能确定.

线

8.在 ?ABC 中,若 sin A ? sin B ? sin C ,则 ?ABC 的形状是( ) A.锐角三角形. B.直角三角形. C.钝角三角形. 9.执行如图所示的程序框图,输出的 S 值为( ) A.2 B.4 C.8 D.16 10.等差数列 则数列 ?



? x ? 2y ? 2 ? 2.已知变量 x, y 满 足约束条件 ? 2 x ? y ? 4 ,则目标函数 z ? 3x ? y 的取值范围是 ( ?4 x ? y ? ?1 ?
A. [?

学号



3 , 6] 2
x

B. [ ?

3 , ?1] 2

C. [?1,6]

D. [?6, ]

3 2

?an ? 的前 n 项和为 S , a
n

5

? 5, S5 ? 15 ,

3.下列命题中,真命题是( A. ?x0 ? R, e 0 ? 0 C. ?x ? R, 2 ? x
x 2

) B. a ? b ? 0 的充要条件是

姓名

封 不 得

a ? ?1 b

? 1 ? ? 的前 100 项和为( ) ? an an ?1 ?
99 101 101 D. 100
B.

D. a ? 1, b ? 1 是 ab ? 1 的充分条件

A.

4.已知 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数,且以 2 为周期,则“ f ( x) 为[0,1]上的增函数”是“ f ( x) 为 [3,4]上的减函数”的( ) A.既不充分也不必要的条件 C.必要而不充分的条件
x

线

100 101 99 C. 100





B.充分而不必要的条件 D.充要条件 )

班级

1 5.函数 y ? a ? (a ? 0, a ? 1) 的图象可能是( a

11.采用系统抽样方法从 960 人中抽取 32 人做问卷调查,为此将他们随机编号为 1,2,,960,分组后 在第一组采用简单随机 抽样的方法抽到的号码为 9.抽到的 32 人中,编号落入区间 ?1, 450? 的人做 问卷 A , 编号落入区间 ? 451,750? 的人做问卷 B ,其余的人做问卷 C .则抽到的人中,做问卷 B 的





人数为( A.7

) B.9 C.10 D.15

12.如图,在圆心角为直角的扇形 OAB 中,分别以 OA,OB 为直径作两个半圆. 6.如图,网格纸上小正方形的边长为 1,粗线画出的是某 几何体的三视图,则此几何体的体积为( ) A. 6 B. 9 C. ?? D. ?? 在扇形 OAB 内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是 ( A. 1 ? C.
2 π 2 π



学校

B. D.

1 1 ? 2 π 1 π

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第2页

(共 12 页)

第Ⅱ卷(非选择题共 90 分)
二、填空题(本大题共 5 小题,每题 4 分,共 20 分,要求只填最后结果.)
13.若不等式 x ? kx ? k ? 1 ? 0 对 x ? (1, 2) 恒成立,则实数 k 的取值范围是______.
2

20 .(本小题满分 12 分)设平面向量 a ? (m, n),b ? (2, n),其中m, n ?{ 1,2,3,4}. (Ⅰ)请列出有序数组 ( m, n ) 的所有可能结果。 (II)记使得 a ? (a ? b)成立的( m, n) 为事件 A,求事件 A 发生的概率。

14.函数 y ? log 2 x ?

4 ( x ? [2,4]) 的最大值是______. log 2 x

15.设数列 ?an ? ,?bn ? 都是等差数列,若 a1 ? b1 ? 7, a3 ? b3 ? 21,则 a5 ? b5 ? __________。 16.在平行四边形 ABCD 中,∠A= 3 , 边 AB=2,AD=1,若 M、N 分别
?

21.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? lg( x ? 1) . (I)若 0 ? f (1 ? 2 x) ? f ( x) ? 1 ,求 x 的取值范围。 (Ⅱ)若 g ( x) 是以 2 为周期的偶函数,且当 0 ? x ? 1 时,有 g ( x) ? f ( x) ,

密 封

| BM | | CN | ? 是边 BC、CD 上的点,且满足 ,则 AM ? AN 的取值范围是 | BC | | CD |
三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.(本小题满分 10 分)在 ?ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a,b,c.
角 A,B,C 成等差数列. (Ⅰ)求 cos B 的值; (Ⅱ)边 a,b,c 成等比数列,求 sin A sin C 的值.

。 求函数值 g (?1) ? g (3)

线 内

22.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ?| 2 x ? 1| ? | 2 x ? a | , g ( x) ? x ? 3 . (Ⅰ)当 a ? ?2 时,求不等式 f ( x) ? g ( x) 的解集;

不 得

(Ⅱ)设 a ? ?1 ,且当 x ? [? 18.(本小题满分 12 分)已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? kc ? k
n

a 1 , ) 时, f ( x) ? g ( x) ,求 a 的取值范围 2 2

答 题

(其中 c ,k 为常数) ,且 a2 =4, a6 =8 a3 (Ⅰ)求 an (Ⅱ)求数列{ nan }的前 n 项和 Tn . 19.(本小题满分 12 分) 如图 6,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD, 底面 ABCD 是等腰梯形, AD∥BC,AC⊥BD. (Ⅰ)证明:BD⊥PC; (Ⅱ)若 AD=4,BC=2,直线 PD 与平面 PAC 所 成的角为 30°,求四棱锥 P-ABCD 的体积.

[中国^教*~育出#版%

第3页

(共 12 页)

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学号

线 姓名 班级 学校 密 密 封 线 内 封 不 得 答 题

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第6页

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参考答案
一、选择题 错误!未找到引用源。

解 析 : 连 结 AC, BD 交 于 点 O , 连 结 OE , 因 为 O, E 是 中 点 , 所 以 OE // AC1 , 且

答案 选 D.

OE ?

解析: x ? 5, y ? 1, 2,3, 4 , x ? 4, y ? 1, 2,3 , x ? 3, y ? 1, 2 , x ? 2, y ? 1 共 10 个
错误!未找到引用源。

1 AC 1 ,所以 AC1 // BDE ,即直线 AC1 与平面 BED 的距离等于点 C 到平面 BED 的距 2

答案 选 A.

离 ,过 C 做 CF ? OE 于 F , 则 CF 即为所求距离. 因为底面边长为 2, 高为 2 2 , 所以

解析: 做出不等式所表示的区域如图,由 z ? 3x ? y 得 y ? 3x ? z , 平移直线 y ? 3x , 由图象可知当直线经 过点 E (2,0) 时 , 直 线 y ? 3x ? z 的截距最小 , 此时 z 最大为 z ? 3x ? y ? 6 , 当 直线经过 C 点时,直线截距最大,此时 z 最小,由
1 ? ?4 x ? y ? ?1 3 3 ?x ? ,解得 ? 2 ,此时 z ? 3x ? y ? ? 3 ? ? ,所 ? 2 2 ?2 x ? y ? 4 ? ?y ? 3
3 以 z ? 3x ? y 的取值范围是 [ ? ,6] , 2

AC ? 2 2 , OC ? 2 , CE ? 2 , OE ? 2 , 所 以 利 用 等 积 法 得 CF ? 1 , 选 D.

密 封 线 内

错误!未找到引用源。答案

选C
2

解析: 由条件结合正弦定理,得 a 2 ? b2 ? c 2 ,再由余弦定理,得 cosC ? a 所以 C 是钝角。
错误!未找到引用源。

?b 2 ?c 2 2 ab

? 0,



答案 选 B 错误!未找到引用源。 答案 选 D
错误!未找到引用源。



答案 选 C

解析:由 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数及 [0,1] 上的增函数可知在 [?1, 0] 为减函数,又 2 为周期,所以 f ( x) 在 [3, 4] 上为减函数.
错误!未找到引用源。

解析: k ? 0, s ? 1 ? k ? 1, s ? 1 ? k ? 2, s ? 2 ? k ? 3, s ? 8 ,循环结束,输出的 S 为 8, 考点定位: 本小题主要考查程 序框图,涉及到判断循环结束的时刻,以及简单整 数指数幂的计算.
错误!未找到引用源。答案

答 题

答案 选 C 选A 命题意图: 本试题主要考查等差数列的通项公式和前 n 项和的公式的运用,以及裂项求 和的综合运用 , 通过已知中两项 ,得到公差与首项 ,得到数列的通项公式 ,并进一步裂 项求和. 解析:由 Sn , a5 ? 5, S5 ? 15 可得
?a1 ? 4d ? 5 ?a1 ? 1 ? ? ? ? an ? n ? ? 5? 4 d ? 15 ?d ? 1 ?5a1 ? ? ? 2

解析:采用排除法. 函数 y ? a x ? a(a ? 0, a ? 1) 恒过(1,0),选项只有 C 符合,故选 C. [点评]函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单 易用.
错误!未找到引用源。 答案 选 B

解析: 该几何体是三棱锥,底面是俯视图,高为 3 1 1 此几何体的体积为 V ? ? ? 6 ? 3 ? 3 ? 9 3 2 错误!未找到引用源。 答案 选 D 命题意图:本试题主要考查了正四棱柱的性质的运用,以及点到面的距离的求解.体现 了转换与化归的思想的运用,以及线面平行的距离,转化为点到面的距离即可.
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?

1 1 1 1 ? ? ? an an?1 n(n ? 1) n n ? 1

设 | BM | ? | CN | ? t ?[0,1],则 | BM |? t , | CN |? 2t ,
| BC | | CD |
t 所以 M(2+ 2 ,

线

1 1 1 1 1 1 100 S100 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? 2 2 3 100 101 101 101 错误!未找到引用源。答案 选 C 解析: 从 960 中用系统抽样抽取 32 人,则每 30 人抽取一人,因 为第一组号码为 9,则第

3t 2

),N( 5 -2t, 2

3 2

), ?
3 2

t 故 AM ? AN =(2+ 2 )( 5 -2t)+ 2

3t 2

= ? t 2 ? 2t ? 5 ? ?(t ? 1)2 ? 6 ? f (t ) ,

二 组 为 39, 公 差 为 30. 所 以 通 项 为 an ? 9 ? 30(n ? 1) ? 30n ? 21 , 由
451 ? 30 n ? 21 ? 750 , 即 15
22 21 ? n ? 25 , 所 以 n ? 16,17,?25 , 共 有 30 30

因为 t?[0,1],所以 f (t)递减,( AM ? AN )max= f (0)=5,( AM ? AN )min= f (1)=2. [评注] 当然从抢分的战略上,可冒用两个特殊点:M 在 B(N 在 C)和 M 在 C(N 在 D), 而本案恰是在这两点处取得最值,蒙对了,又省了时间!出题大虾太给蒙派一族面 子了! 三、解答题。 17、 答案及解析 ? 1 (1)由已知 2 B =A+C ,A+B +C =? , ? B = , cos B = 3 2 3 (2)解法一: b2 =ac ,由正弦定理得 sin A sin C = sin 2 B = 4
1 a 2 +c 2 -b2 a 2 +c 2 -ac = 解法二: b =ac , = cos B= ,由此得 a2 +c2 -ac=ac, 得 a=c 2 2ac 2ac
2

学号

25 ? 16 ? 1 ? 10 人,

题 答 封 不 得 姓名

错误!未找到引用源。答案 选 A

考点分析:本题考察几何概型及平面图形面积求法. 解析:令 OA ? 1 ,扇形 OAB 为对称图形,ACBD 围成面积为 S1 ,围成 OC 为 S2 , 作对称轴 OD,则过 C 点. S2 即为以 OA 为直径的半圆面积减去三角形 OAC

1 ?1? 1 1 1 ? ?2 S 的面积, S2 ? ? ? ? ? ? ? ? .在扇形 OAD 中 1 为扇形面积 2 ? 2? 2 2 2 8 2
减 去 三 角 形 OAC 面 积 和 ? ?2 1 1 S ? ?2 S2 S1 1 2 , ? ? ?1? ? ? 2 ? , S1 ? S 2 ? ,扇形 OAB 面积 S ? ? , 4 4 8 2 16 2 2 8 二.填空题 13. (??, 2] 14. 5 15.35 解析:本题考查等差中项的性质及整体代换的数学思想 (解法一)因为数列 {an },{bn } 都是等差数列,所以数列 ?an ? bn ? 也是等差数列. 故由等差中项的性质 , 得 ? a5 ? b5 ? ? ? a1 ? b1 ? ? 2 ? a3 ? b3 ? , 即 ? a5 ? b5 ? ? 7 ? 2 ? 21 , 解

2



班级

3 3 4 【点评】本题主要考查三角形的正弦定理、余弦定理、三角形内角和定理及等差、 等比数列的定义,考查转化思想和运算求解能力,属于容易题.第二小题既可以利 用正弦定理把边的关系转化为角的关系,也可以利用余弦定理得到边之间的关系, 再来求最后的结果.





线

所以 A=B =C =

?

, sin A sin C =

18、解析(1)当 n ? 1 时, an ? Sn ? Sn?1 ? k (cn ? cn?1 ) 则 an ? Sn ? Sn?1 ? k (cn ? cn?1 )



a6 ? k (c6 ? c5 ) , a3 ? k (c3 ? c2 )
a6 c6 ? c5 ? 3 2 ? c3 ? 8 ,∴c=2.∵a2=4,即 k (c2 ? c1 ) ? 4 ,解得 k=2,∴ an ? 2n (n)1) a3 c ? c
当 n=1 时, a1 ? S1 ? 2

学校

得 a5 ? b5 ? 35 .
16.

[2,5]
1 2

解析: 如图建系,则 A(0,0),B(2,0),D( ,

3 2

),C( ,
5 2

3 2

).

y D N B C M x

综上所述 an ? 2n (n ? N * )
第 10 页 (共 12 页)

第 9 页 (共 12 页)

A

(2) nan ? n2n ,则
Tn ? 2 ? 2 ? 22 ? 3 ? 23 ? ? ? n2 n (1) 2Tn ? 1? 22 ? 2 ? 23 ? 3 ? 24 ? ? ? ( n ? 1)2 n ? n2 n ?1 (2)

(1)-(2)得

?Tn ? 2 ? 22 ? 23 ? ?? 2n ? n2n?1
Tn ? 2 ? (n ?1)2n?1
19.解析:(Ⅰ)因为 PA ? 平面ABCD, BD ? 平面ABCD, 所以PA ? BD. 又 AC ? BD, PA, AC 是平面 PAC 内的两条相较直线,所以 BD ? 平面 PAC, 而 PC ? 平面 PAC,所以 BD ? PC . (Ⅱ)设 AC 和 BD 相交于点 O,连接 PO,由(Ⅰ)知,BD ? 平面 PAC, 所以 ?DPO 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角,从而 ?DPO ? 30 .
?



22.【答案】解 :(I)当 a ? ?2时,不等式f ( x) <g(x)化为 2x ?1 ? 2x ? 2 ? x ? 3 <0. 设函数 y= 2x ?1 ? 2x ? 2 ? x ? 3 ,则
1 ? ? ?5 x , x ? 2 ? 1 ? y ? ? x ? 2, ? x ? 1, 其图像如图所示 2 ? ?3 x ? 6, x ? 1. ? ?

封 线

由 BD ? 平面 PAC, PO ? 平面 PAC,知 BD ? PO . 在 Rt? POD 中,由 ?DPO ? 30? ,得 PD=2OD. 因为四边形 ABCD 为等腰梯形,AC ? BD , 所以 ? AOD,? BOC 均为等腰直角三角形, 从而梯形 ABCD 的高为
S? 1 ? (4 ? 2) ? 3 ? 9. 2

内 不 得

1 1 1 AD ? BC ? ? (4 ? 2) ? 3, 于是梯形 ABCD 面积 2 2 2



从图像可知,当且仅当 x ? (0, 2) 时,y<0,所以原不等式的解集是 ? x 0 ? x ? 2
2 , AD ? 2 2, 2

?;



在等腰三角形AOD中, OD ?

? a 1 (II)当 x ? ? ? , ? 2 2

? , f ( x) ? 1 ? a.

不等式 f ( x) ≤g(x)化为 1+a≤x+3.

所以 PD ? 2OD ? 4 2, PA ? PD2 ? AD2 ? 4.
1 1 故四棱锥 P ? ABCD 的体积为 V ? ? S ? PA ? ? 9 ? 4 ? 12 . 3 3 【点评】本题考查空间直线垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算. 第一问只要证明 BD ? 平面 PAC 即可, 第二问由 (Ⅰ) 知, BD ? 平面 PAC, 所以 ?DPO 1 是直线 PD 和平面 PAC 所成的角,然后算出梯形的面积和棱锥的高,由 V ? ? S ? PA 3 算得体积. 20.
第 11 页 (共 12 页)

a 4 ? a 1? 所以 x≥a-2 对 x ? ? ? , ? 都成立,故 ? ? a ? 2 ,即 a ? , 3 2 ? 2 2?

4? ? 从而 a 的取值范围是 ? ?1, ? . 3? ?

第 12 页

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