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2016年高考新课标1卷(理科数学试卷)

2016 年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学
本试卷共 4 页,24 题(含选做题),全卷满分 150 分,考试用时 120 分钟。

第I卷
一、选择题:本题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。 (1)设集合 A ? {x | x 2 ? 4 x ? 3 ? 0} , B ? {x | 2 x ? 3 ? 0} ,则 A ? B ? ( (A) ( ?3,? ) )

3 2

(B) ( ?3, )

3 2

(C) (1, ) )

3 2

(D) ( ,3)

3 2

(2)设 (1 ? i) x ? 1 ? yi ,其中 x, y 是实数,则 x ? yi ? ( (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 2

(3)已知等差数列 {an } 前 9 项的和为 27, a10 ? 8 ,则 a100 ? ( (A) 100 (B) 99 (C) 98 (D) 97 )



(4)某公司的班车在 7:30,8:00,8:30 发车,小明在 7:50 至 8:30 之间到达发车站乘坐班车,且到达发车 站的时刻是随机的,则他等车时间不超过 10 分钟的概率是( (A)

1 3

(B)

1 2

(C)

2 3

(D)

3 4

x2 y2 ? ? 1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距离为 4,则 n 的取值范围是 (5)已知方程 2 m ? n 3m 2 ? n
( ) (A) (?1,3) (B) (?1, 3) (C) (0,3) (D) (0, 3 )

(6)如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆 中两条互相垂直的半径.若该几何体的体积是 表面积是( (A) 17? (C) 20? ) (B) 18? (D) 28?
x

28? ,则它的 3

(7)函数 y ? 2x 2 ? e 在 [?2,2] 的图像大致为( y 1 (A) -2 O 2 x

) y 1 (B) -2 O 2 x

1

y 1 (C) -2 O 2 x (D) -2 1 O

y

2

x

(8)若 a ? b ? 1 , 0 ? c ? 1 ,则( (A) a ? b
c c

) (B) ab ? ba
c c

开始 输入 x, y, n

(C) a logb c ? b loga c 则输出 x, y 的值满足( (A) y ? 2 x (B) y ? 3x (C) y ? 4 x (D) y ? 5 x

(D) loga c ? logb c

(9)执行右面的程序框图,如果输入的 x ? 0, y ? 1, n ? 1 , )

n ? n ?1

x? x?

n ?1 , y ? ny 2



x 2 ? y 2 ? 36
是 输入 x, y 结束

(10)以抛物线 C 的顶点为圆心的圆交 C 于 A, B 两点,交 C 的准线 于 D, E 两点.已知 AB ? 4 2 , DE ? 2 5 ,则 C 的焦点到准线 的距离为( (A)2 ) (B)4 (C)6 (D)8

(11)平面 ? 过正方体 ABCD? A1B1C1D1 的顶点 A , ? // 平面 CB1 D1 , ? ? 平面 ABCD ? m , ? ? 平 面 ABB 1A 1 ? n ,则 m, n 所成角的正弦值为( (A) )

1 3 (D) 3 3 ? ? ? (12)已知函数 f ( x) ? sin(?x ? ? )(? ? 0, ? ? ) , x ? ? 为 f ( x) 的零点, x ? 为 y ? f ( x) 图像 2 4 4

3 2

(B)

2 2

(C)

的对称轴,且 f ( x) 在 ( (A)11

, ) 单调,则 ? 的最大值为( 18 36
(C)7 (D)5

? 5?



(B)9

第 II 卷
本卷包括必考题和选考题两部分。第(13)~(21)题为必考题,每个试题考生都必须作答。第(22) ~(24)题为选考题,考生根据要求作答。 二、填空题:本题共 4 小题,每小题 5 分。 (13)设向量 a=(m,1),b=(1,2),且|a+b|2 = |a|2+|b|2,则 m= (14) (2 x ? .

x ) 5 的展开式中, x3 的系数是

.(用数字填写答案) .

(15)设等比数列 {an } 满足 a1 ? a3 ? 10 , a2 ? a4 ? 5 ,则 a1a2 ?an 的最大值为

2

(16)某高科技企业生产产品 A 和产品 B 需要甲、乙两种新型材料,生产一件产品 A 需要甲材料 1.5kg, 乙材料 1kg, 用 5 个工时; 生产一件产品 B 需要甲材料 0.5kg, 乙材料 0.3kg, 用 3 个工时, 生产一件产品 A 的利润为 2100 元,生产一件产品 B 的利润为 900 元,该企业现有甲材料 150kg,乙材料 90kg,则在不超 过 600 个工时的条件下,生产产品 A 、产品 B 的利润之和的最大值为 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 元.

?ABC 的内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c , (17) (本小题满分 12 分) 已知 2 cosC (a cos B ? b cos A) ? c .
(I)求 C ; (II)若 c ?

7 , ?ABC 的面积为

3 3 ,求 ?ABC 的周长. 2
C E F A B

(18)(本小题满分 12 分)如图,在以 A, B, C , D, E, F 为顶点
? 的五面体中,面 ABEF 为正方形, AF ? 2 FD , ?AFD ? 90 ,
? 且二面角 D ? AF ? E 和二面角 C ? BE ? F 都是 60 .

D

(I)证明:平面 ABEF ? 平面 EFDC ; (II)求二面角 E ? BC ? A 的余弦值.

(19)(本小题满分 12 分)某公司计划购买 2 台机器,该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零 件,在购进机器时,可以额外购买这种零件作为备件,每个 200 元.在机器使用期间,如果备件不足再购 买,则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件,为此搜集并整理了 100 台这种机器 在三年使用期内更换的易损零件数,得下面柱状图: 频数

40

20

0

8

9

10

11

更换的易损零件数

以这 100 台机器更换的易损零件数的频率代替 1 台机器更换的易损零件数发生的概率, 记 X 表示 2 台 机器三年内共需要更换的易损零件数,n 表示购买两台机器的同时购买的易损零件数. (I)求 X 的分布列; (II)若要求 P(X≤n)≥0.5,确定 n 的最小值; (III)以购买易损零件所需费用的期望值为决策依据,在 n=19 和 n=20 之中选其一,应选用哪个?

3

(20)(本小题满分 12 分)设圆 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 15 ? 0 的圆心为 A ,直线 l 过点 B(1,0) 且与 x 轴不重合,

l 交圆 A 于 C , D 两点,过 B 作 AC 的平行线交 AD 于点 E .
(I)证明 EA ? EB 为定值,并写出点 E 的轨迹方程; (II)设点 E 的轨迹为曲线 C1 ,直线 l 交 C1 于 M , N 两点,过 B 且与 l 垂直的直线与圆 A 交于 P, Q 两 点,求四边形 MPNQ 面积的取值范围.

(21)(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? ( x ? 2)e x ? a( x ? 1) 2 有两个零点. (I)求 a 的取值范围; (II)设 x1 , x 2 是 f ( x) 的两个零点,证明: x1 ? x2 ? 2 .

请考生在第(22)、(23)、(24)题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分。 (22)(本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 ? D C 如图, ?OAB 是等腰三角形, ?AOB ? 120 .以 O 为圆心,

1 OA 为半径作圆. 2 (I)证明直线 AB 与⊙O 相切;
(II)点 C,D 在⊙O 上,且 A,B,C,D 四点共圆, 证明: AB // CD . A

O

B

(23)(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中, 曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? a cost 在以坐标原点为极点, (t 为参数,a ? 0) . ? y ? 1 ? a sin t

x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 4 cos? .
(I)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (II) 直线 C3 的极坐标方程为 ? ? ? 0 , 其中 ? 0 满足 tan? 0 ? 2 , 若曲线 C1 与 C 2 的公共点都在 C3 上, 求a. y (24)(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 已知函数 f ( x) ? x ? 1 ? 2x ? 3 . (I)在答题卡第(24)题图中画出 y ? f ( x) 的图像; (II)求不等式 f ( x) ? 1 的解集. 1 O 1 x

4


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