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数学《解直角三角形》典型例题


《解直角三角形》典型例题
例 1 在 Rt△ABC 中,∠C=90° ,∠B=60° ,a=4,解这个三角形. 分析 本题实际上是要求∠A、b、c 的值.可根据直角三角形中各元素间的 关系解决. 解 (1) (2)由 tan B ?
b ,知 a a a 4 ? ?8 . ,知 c ? c cos B cos 60?

; ;

(3)由 cos B ?

说明 此题还可用其他方法求 b 和 c. 例 2 在 Rt△ABC 中, ∠C=90° ,∠A=30° , b ? 3 ,解这个三角形. 解法一 ∵ 设 ∴ 解法二
a ? b tan30? ? 3 ? 3 ?1 3

∴ 由勾股定理,得 . ∴ .

,则

说明 本题考查含特殊角的直角三角形的解法,它可以用目前所学的解直角 三角形的方法,也可以用以前学的性质解题. 例 3 设 角形 ABC. 中, 于 D,若 ,解三

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分析 “解三角形 ABC”就是求出 的边,所以应先从 Rt 入手.

的全部未知元素.本题 CD 不是

解 在 Rt

中,有:

在 Rt

中,有

说明(1)应熟练使用三角函数基本关系式的变形,如:

(2)平面几何中有关直角三角形的定理也可以结合使用,本例中 “ ”就是利用“对 30° 角的直角边等于斜边的一半”这一定

理.事实上,还可以用面积公式求出 AB 的值:

所以解直角三角形问题,应开阔思路,运用多种工具. 例4 在 中, ,求 .

分析 (1) 求三角形的面积一方面可以根据面积公式求出底和底上的高的长, 也可以根据其中规则面积的和或差; (2) 不是直角三角形,可构造直角三角形求解.

2/4

解 如图所示,作 ,且有

交 CB 的延长线于 H,于是在 Rt△ACH 中,有

; 在 中, ,且 ,

∴ 于是,有



, 则有

说明

还可以这样求:

3/4

例 5 如图,在电线杆上离地面高度 5m 的 C 点处引两根拉线固定电线杆, 一根拉线 AC 和地面成 60° 角, 另一根拉线 BC 和地面成 45° 角. 求两根拉线的总 长度(结果用带根号的数的形式表示). 分析 分别在两个直角三角形 ADC 和 BDC 中,利用正弦函数的定义,求 出 AC 和 BC .

解: 在 Rt△ADC 中, AC ?

DC 5 10 3 ? ? sin 60? 3 3 2

在 Rt△BDC 中, BC ?

DC 5 10 2 ? ? sin 45? 2 2 2

说明 本题考查正弦的定义,对于锐角三角函数的定义,要熟练掌握。

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