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【优化方案】2014届高考数学二轮复习 专题2第1讲三角函数的图象与性质课件 新人教版


专题 二

三角函数、三角

变换、解三角形、平面向量

第1讲

三角函数的图象与性质

要点知识整合
1.正弦、余弦、正切函数的性质
函数 定义域 值域 奇偶 性 y=sinx R [-1,1] 奇函数 y=cosx R [-1,1] 偶函数 y=tanx

{x|x≠

+kπ, ?
2

k∈Z} R 奇函数

最小正
周期





π

函数

y=sinx
? ?

y=cosx
在[-π+

y=tanx

在[- 2 +2kπ,+ 2 单 调 性
?

2kπ,
?

2kπ](k ∈ Z) 上 递 2kπ](k∈Z) 在(- 2 +kπ, 增.在[-2 +2kπ, 上递



3? 2

2kπ](k∈Z)

增.在
[2kπ,π+ 2kπ](k∈Z) 上递减

? +kπ)(k∈Z)
2

上递减.

上递增

函数

y=sinx

y=cosx

y= tanx

当x=

?
2

+2kπ,

当x=2kπ,k∈Z 时,y取得最大

k∈Z时,y取得

最值

最大值1. 当x= -
?
2

+2kπ,

值1. 当x=π+
2kπ,k∈Z时,y 取得最小值-1

无最值

k∈Z时,y取得

最小值-1





y=sinx 对称中心:

y=cosx 对称中心: ( 2+
?
2

y=tanx

对 称 性

?

(kπ,

kπ,

对称中心: (
k? 2

0)(k∈Z).对 0)(k∈Z).对 称轴:x= 称轴:x= kπ(k∈Z)



0)(k∈Z)

+kπ(k∈Z)

2.函数y=Asin(ωx+φ)的图象 (1)“五点法”作图 设z=ωx+φ,令z=0,,π,,2π,求出x的值与

相应的y的值,描点连线可得.
(2)图象变换

热点突破探究
典例精析 题型一 例1 三角函数的图象变换

π (2009 年高考天津卷)已知函数 f(x)=sin(ωx+ )(x 4

∈R,ω>0)的最小正周期为 π,将 y=f(x)的图象向左平移 |φ|个单位长度, 所得图象关于 y 轴对称, φ 的一个值是 则 ( π A. 2 π C. 4 ) 3π B. 8 π D. 8

2π 【解析】 由已知周期为 π, π= , 即 ∴ω=2, ∴f(x) ω π =sin(2x+ ),将其图象向左平移|φ|个单位长度,得到 4 π y=sin[2(x+|φ|)+ ]的图象,由其图象关于 y 轴对称, 4 π π 故 sin[2(x+|φ|)+ ]=± cos2x, sin(2x+2|φ|+ )=± 即 cos 4 4 π π π kπ 2x,∴2|φ|+ = +kπ,k∈Z,∴|φ|= + ,k∈Z, 4 2 8 2 π π 当 k=0 时,|φ|= ,故 φ 可取 ,故选 D. 8 8

【答案】

D

【题后拓展】

(1)在进行图象变换时,必须注意 ω

对平移单位的影响,即由 y=Asinωx 变化到 y= φ Asin(ωx+φ)时,平移量应是| |;但对 y=Asin(ωx ω +φ)进行伸缩变换时,要注意 φ 是不变的,故本题 常见的错误是将平移后的解析式写为 y=sin(2x+|φ| π + ); 4

(2)任何一个形如y=Asin(ωx+φ)的函数的图象, 经过平移变换之后,都可以变成一个奇函数或

偶函数的图象,即可以变换为y=±Asin ωx或
y=±Acos ωx的图象.

题型二
例2

三角函数的性质

已知向量 a=(sin x,2 3sin x),b=(2cos x,

sin x),定义 f(x)=a· b- 3. (1)求函数 y=f(x),x∈R 的单调递减区间; π (2)若函数 y=f(x+θ)(0<θ< )为偶函数, θ 的值. 求 2 【解】 (1)f(x)=2sin x cos x+2 3sin2x- 3=

1-cos2x sin2x + 2 3 - 3 = sin2x - 3 cos2x = 2 π 2sin(2x- ). 3

π π 3π 令 2kπ+ ≤2x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 3 2 5π 11π 解得 f(x)的单调递减区间是[kπ+ ,kπ+ ],k 12 12 ∈Z. π (2)f(x+θ)=2sin(2x+2θ- ). 3 根据三角函数图象的性质可知 π y=f(x+θ)(0<θ< )在 x=0 处取最值. 2

π 即 sin(2θ- )=± 1, 3 π π kπ 5π ∴2θ- =kπ+ ,θ= + ,k∈Z. 3 2 2 12 π 5π 又 0<θ< ,解得 θ= . 2 12

【思维升华】

求三角函数的周期、单调区间、

最值及判断三角函数的奇偶性时,往往是在定义
域内,先化简三角函数式,尽量化为y=Asin(ωx +φ)+B的形式,然后再求解.

变式训练

1.已知函数 f(x)=a(2sin +sinx)+b. 2 (1)当 a=1 时,求函数 f(x)的单调递减区间; (2)当 a<0 时,f(x)在[0,π]上的值域是[2,3],求 a,b 的值.
解:(1)∵a=1, ∴f(x)=2sin +sinx+b=sinx-cosx+b+1 2 π = 2sin(x- )+1+b. 4
2x

2x

π 3π ∵y=sinx 的单调递减区间为[2kπ+ ,2kπ+ ](k∈ 2 2 Z), π π 3π ∴当 2kπ+ ≤x- ≤2kπ+ ,k∈Z, 2 4 2 3π 7π 即 2kπ+ ≤x≤2kπ+ (k∈Z)时,f(x)是减函数. 4 4 3π 7π ∴f(x)的单调递减区间是[2kπ+ , 2kπ+ ](k∈Z). 4 4

π (2)f(x)= 2asin(x- )+a+b, 4 π π 3π ∵x∈[0,π],∴- ≤x- ≤ , 4 4 4 2 π ∴- ≤sin(x- )≤1. 2 4 π 又∵a<0,∴ 2a≤ 2asin(x- )≤-a, 4 ∴ 2a+a+b≤f(x)≤b. ∵f(x)的值域是[2,3], ∴ 2a+a+b=2,且 b=3, 解得 a=1- 2,b=3.

题型三
例3

三角函数的图象与解析式

(本题满分 12 分)已知函数 f(x)=Asin(ωx+

π π φ),x∈R(其中 A>0,ω>0,- <φ< ),其部分图 2 2 象如图所示. (1)求 f(x)的解析式; π π π (2)求函数 g(x)=f(x+ )· f(x- )在区间[0, ]上的最 4 4 2 大值及相应的 x 值.

【规范解答】

(1)由题图可知,A=1,

T π = ,所以 T=2π,ω=1……2 分 4 2 π π π π 又 f( )=sin( +φ)=1,且- <φ< , 4 4 2 2 π π 所以 φ= ,所以 f(x)=sin(x+ )……4 分 4 4 π (2)由(1)f(x)=sin(x+ ), 4 π π 所以 g(x)=f(x+ )· f(x- ) 4 4

π π π π =sin(x+ + )· sin(x- + ) 4 4 4 4 π =sin(x+ )sinx=cosx· sinx 2 1 = sin2x……9 分 2 π 因为 x∈[0, ],所以 2x∈[0,π],sin2x∈[0,1], 2 1 1 故 sin2x∈[0, ], 2 2 π 1 当 x= 时,g(x)取得最大值 ……12 分 4 2

【题后拓展】

已知图象求函数y=Asin(ωx+

φ)(A>0,ω>0)的解析式时,常用的方法是待定系

数法.由图中的最大、最小值求出A,由周期确
定ω,由适合解析式的点的坐标来确定φ的值.

变式训练

π 2.已知函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,0<φ< ) 2 π 图象关于点 B(- ,0)对称,点 B 到函数 y=f(x)图 4 π π 象的对称轴的最短距离为 ,且 f( )=1. 2 2 (1)求 A,ω,φ 的值; 1 (2)若 0<θ<π,且 f(θ)= ,求 cos2θ 的值. 3

2π π 解:(1)依题意有 =4× =2π,∴ω=1. ω 2 π π 又 f(- )=Asin(- +φ)=0, 4 4 π ∴sin(φ- )=0. 4 π π π π ∵0<φ< ,∴- <φ- < , 2 4 4 4 π π ∴φ- =0,∴φ= . 4 4 π π π 2 又 f( )=Asin( + )= A=1,∴A= 2. 2 2 4 2

π 1 (2)f(θ) = 2 sin(θ + ) = sinθ + cosθ = ? 1 + 4 3 1 2sinθcosθ= , 9 8 2sinθcosθ=- <0, 9 ∵sinθ>0,∴cosθ<0, 17 ∴sinθ-cosθ= 1-2sinθcosθ= , 3 17 ∴cos2θ=(cosθ+sinθ)(cosθ-sinθ)=- . 9

方法突破 例
设关于 θ 的方程 3cosθ+sinθ+a=0 在区

间(0,2π)内有相异的两个实根 α、β. (1)求实数 a 的取值范围; (2)求 α+β 的值.

【解】

π a (1)原方程可化为 sin(θ+ )=- ,作出 3 2

π 函数 y=sin(x+ )(x∈(0,2π))的图象. 3

由图知,方程在(0,2π)内有相异实根 α,β 的充要条 件是 a ? ?-1<-2<1 ? ?-a≠ 3 ? 2 2

.

即-2<a<- 3或- 3<a<2. 3 a (2)由图知:当- 3<a<2,即- ∈(-1, )时,直 2 2 π a 线 y=- 与三角函数 y=sin(x+ )的图象交于 C、 2 3 D 两点,它们中点的

α+β 7π 7 7π 横坐标为 π,∴ = ,∴α+β= . 6 2 6 3 3 a a 当-2<a<- 3, 即- ∈( , 1)时, 直线 y=- 与 2 2 2 π 三角函数 y=sin(x+ )的图象有两交点 A、B, 3 α+β π π 由对称性知, = ,∴α+β= . 2 6 3 π 7 综上所述,α+β= 或 α+β= π. 3 3

【题后拓展】

(1)此题若不用数形结合法,而是

用三角函数有界性求 a 的范围,不仅过程繁琐,而 且很容易漏掉 a≠- 3的限制, 而从图象中可以清 楚地看出当 a=- 3时,方程只有一解.
(2)在解决三角函数的有关问题时,若把三角函数 的性质融于函数的图象之中,将数(量)与图形结 合起来进行分析、研究,可使抽象复杂的数量关

系通过几何图形直观地表现出来,这是解决三角
函数问题的一种有效的思想方法.

高考动态聚焦
考情分析 从近几年高考试题来看,本讲高考命题具有以下

特点:
1.三角函数图象历来是高考命题的常考内容之一, 高考主要以选择题形式考查三角函数图象的画法、图 象的变换、对称轴、对称中心、解析式等问题,题目 难度较小,但图象变换为易错题.

2.三角函数的性质是高考命题的热点内容,常
与图象一起进行考查,全国各地考题均有涉及, 主要考查三角函数的周期性、奇偶性、单调性 等问题,难度中等,多为客观性试题,也常常 以解答题的形式综合考查三角恒等变换,函数 图象与性质.

真题聚焦

1.(2010 年高考四川卷)将函数 y=sinx 的图象上所 π 有的点向右平行移动 个单位长度,再把所得各点 10 的横坐标伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图 象的函数解析式是( π A.y=sin(2x- ) 10 1 π C.y=sin( x- ) 2 10 ) π B.y=sin(2x- ) 5 1 π D.y=sin( x- ) 2 20

? 向右平移 个单位长度 10 解析:选C。函数y=sinx ? ) 横坐标伸长到原来的2倍 y=sin(x10 纵坐标不变 ? 1 y=xin( x) 10 2

2.(2010 年高考重庆卷)已知函数 y=sin(ωx+ π φ)(ω>0,|φ|< )的部分图象如图所示,则( 2 π A.ω=1,φ= 6 π B.ω=1,φ=- 6 π C.ω=2,φ= 6 π D.ω=2,φ=- 6 )

7 π T 2π 解析:选 D.∵ π- = ,∴T=π,∴ω= =2. 12 3 4 T π π 又 ω× +φ= +2kπ(k∈Z), 3 2 π ∴φ=- +2kπ(k∈Z), 6 π π 又|φ|< ,∴φ=- . 2 6

π 3.(2010 年高考浙江卷)函数 f(x)=sin(2x- )- 4 2 2sin2x 的最小正周期是________.

2 2 解析:f(x)= sin2x- cos2x- 2(1-cos2x) 2 2 2 2 π = sin2x+ cos2x- 2=sin(2x+ )- 2, 2 2 4 2π ∴T= =π. 2 答案:π

4. (2010 年高考湖南卷)已知函数 f(x)= 3sin2x- 2sin2x. (1)求函数 f(x)的最大值; (2)求函数 f(x)的零点的集合.
π 解:(1)∵f(x)= 3sin2x-(1-cos2x)=2sin(2x+ ) 6 -1, π π π ∴当 2x+ =2kπ+ ,即 x=kπ+ (k∈Z)时,函数 6 2 6 f(x)取得最大值 1.

π 1 (2)法一:由(1)及 f(x)=0 得 sin(2x+ )= ,所以 6 2 π π π 5π 2x+ =2kπ+ 或 2x+ =2kπ+ ,即 x=kπ 或 x 6 6 6 6 π =kπ+ (k∈Z).故函数 f(x)的零点的集合为{x|x= 3 π kπ 或 x=kπ+ ,k∈Z}. 3

法二: f(x)=0 得 2 3sinxcosx=2sin2x, 由 于是 sinx =0 或 3cosx=sinx,即 tanx= 3. 由 sinx=0 可知 x=kπ(k∈Z); tanx= 3可知 x 由 π =kπ+ (k∈Z).故函数 f(x)的零点的集合为{x|x 3 π =kπ 或 x=kπ+ ,k∈Z}. 3


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