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湖北省孝感高级中学2013—2014学年度高中一年级上学期期中考试数学试卷


湖北省孝感高级中学 2013—2014 学年度高中一年级上学期期中考试





命题人: 蒋志方 满分 150 分,考试用时 150 分钟。考试时间:2013 年 11 月 16 日 一、选择题(每题的四个选项中,只有一个符合题意,每题 5 分,共 50 分) 1.集合 A ? {( x, y ) y ? x} 和 B ? ?( x, y ) ?

? ? ? ?

? ? 2 x ? y ? 1? ? ,则以下结论中正确的是( ) ? x ? 4 y ? 5? ?
C. (1,1) ? B ) C. D. ?? A

A. 1? A 2. x
3

B. B ? A

? y 3 和 x 2 ? 3xy ? 4 y 2 的公因式为 (
B.

A. x ? 4 y

x ? 4y

x? y

D. x ?

y

? 1 x ?( ) ( x ? 0) 3.已知函数 f ( x) ? ? 2 那么 f ? f ? ?1? ? 的值为( ) ? ? ? x 3 ( x ? 0), ?
A. 8 4.若 x ? x
?1
1 2

B.

1 8
1 2

C. 9

D.

1 9

? 4 ,则 x ? x

?

的值等于(

) C. 6 或 ? 6 D. 6 ) D.9 )

A.2 或-2

B.2

5.已知集合 A ? ?0,1, 2? ,集合 B 满足 A ? B ? A.4 6.已知 B.7

A ,则可能的集合 B 共有(
C.8

Q( x) 是幂函数,则以下结论中正确的一个是(

A. Q( x) 在区间 (0, ??) 上总是增函数. C. Q( x) 的值域一定是实数集 R

B. Q( x) 的图像总过点 (1,1) . D. Q( x) 一定是奇函数或者偶函数 )

7.函数 f ( x) ? log a x ( a ? 0 且 a ? 1) 对任意正实数 m, n 都有( A. f (mn) ? f (m) ? f (n) C. f (m ? n) ? f (m) f (n)
2

B. f (mn) ? f (m) f (n) D. f (m ? n) ? f (m) ? f (n)
2

8.若不等式 mx ? px ? q ? 0 的解集为 (1,3) ,则不等式 px ? qx ? m >0 的解集为( )

A. ( ?

1 ,1) 4

B. (?4,1) D. ( ??, ?

C. (??, ?4) ? (1, ??) 9. 已知 a

1 ) ? (1, ??) 4


? ln 2, b ? log

3

2, c ? log 2 e , e 是自然对数的底数)则它们的大小顺序是( (
C. c ? a ? b
D

A. a ? c ? b

B. c ? b ? a

D. b ? c ? a
C

10.已知线段 AB 的长为 4 ,以 AB 为直径的圆有一内接 梯形 ABCD ,其中 AB ? CD (如图)则这个梯形的周 长的最大值为是( A. 8 ) B.10 C. 4(
A

B

2 ? 1)

D.以上都不对

二、填空题: (本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分) 11.已知幂函数 y ? f (x) 的图象过点 ( ,8) ,则 f (?2) ? 12.定义在实数集 R 上的偶函数 f ( x) 在 [0, ??) 上是单调增函数,则不等式 f (1) ? f (a) 的解 集是_____________. 13.函数 f ( x) 的定义域是 [?4,1] ,则函数 y ?
x a

1 2

f ( x2 ) 的定义域为 x2 ?1

; ;

14.若函数 f ( x) ? a ? ( x ? 1) ( a ? 0 , a ? 1 )的图像恒过点 P ,则点 P 的坐标为 15.由声强 I (单位: w / cm )计算声压级 D (单位: dB )的公式为: D ? 10lg(
2

I ). 10?16

(1)人低声说话的声压级为 30 dB ,则它的声强是

w / cm2 ;
倍(用

(2)音乐会上的声压级约为 100 dB ,那么它的声强约是人低声说话时声强的 数字作答) 三、解答题: (本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 12 分)已知全集 U = R, A ? {x | ?3 ? x ? 6, x ? R} ,

B ? {x | x 2 ? 5 x ? 6 ? 0, x ? R} .求: (1) A ? B ;

(2) ? ?U B? ∩ A

17. (本题满分 12 分)设 f ( x) 是定义在 R 上的函数,且对任意实数 x ,有 f (1 ? x) ? x ? 3x ? 3 .
2

(1) 求函数 f ( x) 的解析式; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? 5 x ?1 在 [m, m ? 1] 上的最小值为 ?2 ,求实数 m 的取值范围.

18. (本题满分 12 分)提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下, 大桥上的车流速度 v ( x ) (单位:千米/小时)是车流密度 x (单位:辆/千米)的函数. 当桥上的车流密度达到 200 辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为 0; 当车流密度不超过 20 辆/千米时,车流速度为 60 千米/小时. 研究表明:当 20 ? x ? 200 时,车流速度 v ( x ) 是车流密度 x 的一次函数. (Ⅰ)当 0 ? x ? 200 时,求函数 v ( x ) 的表达式; (Ⅱ)当车流密度 x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观测点的车辆数,单位:辆/小时) (精确到 1 辆/小时) f (x) ? x ? (x ) 可以达到最大值,并求出这个最大值. v

19. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (1)判断 f ( x) 的奇偶性; (2)若 f (m) ?

3x ? 2 ? x . 3x ? 2 ? x

1 ,试用 m 表示 log 3 8 . 2

20. (本题满分 13 分)已知定义在实数集 R 上的函数 f ( x) ,同时满足以下三个条件: ① f (?1) ? 2 ;② x ? 0 时, f ( x) ? 1 ;③对任意实数 x, y 都有 f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ; (1)求 f (0) , f (?4) 的值; (2)判断函数 f ( x) 的单调性,并求出不等式 f (?4 x 2 )?f (10 x) ≥

1 的解集. 16

21.本题满分 14 分) ( 对于在区间 [ p, q] 上有意义的两个函数 都有

f ( x), g ( x) , 若对于所有的 x ?[ p, q] ,

f ( x) ? g ( x) ? 1,则称 f ( x) 和 g ( x) 在区间 [ p, q] 上是接近的两个函数,否则称它们在

区间 [ p, q] 上是非接近的两个函数。现在给定区间 D ? [a ? 2, a ? 3] ,有两个函数

f ( x) ? log a ( x ? 3a), g ( x) ? log a
(1)若

1 ,其中a ? 0且a ? 1 . x?a

f ( x) 和 g ( x) 在区间 D 上都有意义,求 a 的取值范围. f ( x) 和 g ( x) 在区间 D 上是否为接近的两个函数.

(2)讨论

湖北省孝感高级中学 2013—2014 学年度高中一年级上学期期中考试

数学答案
题号 答案 11. ? 1 B 2 D 3 A 4 D 5 C 13. (?1,1) (2) 10
7

6 B

7 A

8 A

9 C

10 B

1 8

12. (??, ?1) ? (1, ??) 15. (1) 10
?13

14. (0, 0)

16. 解:(1) B={x | -1<x<6}; …………………………..3 分

A ? B ? { x | ?3 ? x ? 6}

……………………………6 分

(2) ?UB ={x | x≤-1 或 x≥6} …………………………………………9 分 ( ?UB )∩A= {x | -3<x≤-1 或 x=6}. …………………………….12 分
17. 解:(1)令 1 ? x ? t 得 f (t ) ? (1 ? t ) ? 3(1 ? t ) ? 3
2

…………………..3 分

化简得 f (t ) ? t ? t ? 1
2

即 f ( x) ? x ? x ? 1, x ? R ,------------------------------------6 分
2

(2) g ( x) ? x ? 4 x ? 2 ? ? x ? 2 ? ? 2 ( m ? x ? m ? 1 )-------------8 分
2 2

因为 m ? x ? m ? 1 , g ( x)min ? ?2

?m ? 2 ? m ? 1
?1 ? m ? 2

………………………….10 分 ………………………….12 分 …………..2 分 …….5 分

18. 解析: (Ⅰ)由题意:当 0 ? x ? 20 时, v?x ? ? 60 ;

? a ? ?1 ? ? 200a ? b ? 0 ? 3 当 20 ? x ? 200 时,设 v?x ? ? ax ? b , ? ,解得 ? ? 20a ? b ? 60 ? b ? 200 ? ? 3
60 0 ? x ? 20 ? ? 故函数 v( x) 的表达式为 v( x) ? ? 1 ? 3 (200 ? x) 20 ? x ? 200 ? 60 x 0 ? x ? 20 ? ? (Ⅱ)依题意并由(Ⅰ)可得 f ( x) ? ? 1 ? 3 x(200 ? x) 20 ? x ? 200 ?

………….6 分

当 0 ? x ? 20 时, f ( x) 为增函数,故当 x ? 20 时,其最大值为 60 ? 20 ? 1200 ;……….9 分

1 200 10000 当 20 ? x ? 200 时, f ( x) ? ? x 2 ? x ? f ( x)min ? f (100) ? 3 3 3 10000 所以,综上当 x ? 100 时, f ( x) 在区间 [0,200] 上取得最大值 ? 3333 .……….12 分 3 即当车流密度为 100 辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为 3333 辆/小时.
19.解: (1) f ( x) ?

3x ? 2 ? x 2 x ? 3 x ? 1 6 x ? 1 ? ? 3x ? 2 ? x 2 x ? 3 x ? 1 6 x ? 1

6? x ? 1 1 ? 6 x 所以 f (? x) ? ? x ? ? ? f ( x), x ? R ,则 f ( x) 是奇函数. .…………6 分 6 ? 1 1 ? 6x
(2) f (m) ?

6x ?1 1 ? ? m ? log 6 3 6x ? 1 2
log 6 (6 ? 3) 1 ? log 6 3 ?3 log 6 3 log 6 3

.…………8 分

log3 8 ? 3log 3 2 ? 3

1 .…………12 分 ? 1) m 20.解: (1) f (?1 ? 0) ? f ? ?1? f (0),? f (0) ? 1 .…………2 分 ? log3 8 ? 3(
f (?2) ? f (?1 ? 1) ? f 2 (?1) ? 4 f (?4) ? f (?2 ? 2) ? f 2 (?2) ? 16
(2) f (0) ? f ( x ? (? x)) ? f ( x) f (? x) ? 1 ? f (? x) ? 任取 x1 ? x2 ,则 .…….…….……4 分

1 f ( x)

f ( x1 ) ? f ( x1 ) f (? x2 ) ? f ( x1 ? x2 ) ? 1 , f ( x2 )
.…… .…………8 分 .…………9 分

故 f ( x1 ) ? f ( x2 ) , f ( x) 在 R 上是单调递减函数 所以 f (4) f (?4) ? 1 ? f (4) ?

1 ,即 f (?4 x 2 ? 10 x) ≥ f (4) 16

又∵ f ( x) 是 R 的减函数,∴ ?4 x2 +10x≤ 4

1 ∴原不等式的解集为 {x | x ≤ 或x ? 2} 2
21.解: (1)? a ? 0且a ? 1,? ? (2)

….………13 分

? x ? 3a ? 0 ? x ? 3a ,? a ? 2 ? 3a,? 0 ? a ? 1 …4 分 ? x?a ?0

f ( x) ? g ( x ) ? log a ( x 2 ? 4ax ? 3a 2 ) ? log a [( x ? 2a ) 2 ? a 2 ] ,
2

当 x ? D 时, ( x ? 2a) 则 h( x)min

? a 2 ? [4 ? 4a,9 ? 6a] ,令 h( x) ? log a ( x 2 ? 4ax ? 3a 2 ) ,

? h(a ? 3) ? log a (9 ? 6a) , h( x)max ? h(a ? 2) ? log a (4 ? 4a) ,…8 分

要使得

f ( x ) ? g ( x ) ? 1,

0 ? a ?1 ? 9 ? 57 ? 则 ?log a (9 ? 6a) ? ?1 ? a ? (0, ], 12 ? log (4 ? 4a) ? 1 a ?
所以当 a ? (0,

………………12 分

9 ? 57 ] 时, f ( x) 和 g ( x) 在区间 D 上是接近的两个函数 12
……14 分

当a?(

9 ? 57 ,1) 时, f ( x) 和 g ( x) 在区间 D 上是非接近的两个函数 12


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