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山东省济宁市2019届高三数学第一次模拟考试试题理

2018—2019 学年度济宁市高考模拟考试

数学(理工类)试题
2019.3 本试卷分第 I 卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.满分 150 分.考试时间 120 分 钟.考试结束后,将本试卷和答题卡一并收回. 注意事项: 1.答第 I 卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号、考试科目用铅笔涂写在答题卡上. 2.每小题选出答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,用橡 皮擦干净后,再选涂其它答案,不能答在试卷上.

第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的.

? ? 1.设集合 A ? x x2 ? 2x ? 3 ? 0 , B ? ?x y ? ln ? x ?1??,则A? B ?

A,[1,3]

B.(1,3]

c.[2,3]

2.若复数 z ? 2 ,其中 i 为虚数单位,则下列结论正确的是 1? i

D.[-l,+∞)

A.z 的虚部为 ?1

B. z ? 2

C. z2 为纯虚数

D.z 的共轭复数为 ?1? i

3.执行如图所示的程序框图,若输入 a 的值为 ?1,则
输出的 S 的值是

A. ? 1 2
C. 7 4

B. 1 2
D. 63 20

?x2 ? y2 ?1

4.若变量

x,

y

满足

? ?

x

?

0

,则z ? 2x ? y 的最大

? ?

y

?

0

值是

A. ? 5

B.1

C.2

D. 5

5.函数 f ? x? 是定义在 R 上的奇函数,且 f ?1? x? ? f ?1? x?,若f ?1? ? 9,则f ?2019? ?

A. ?9

B.9

C. ?3

D.0

6.已知平面? ,直线 m, n ,满足 n ? ? ,则“ m / /n ”是“ m / /? ”的

A.充分不必要条件 C.充分必要条件

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

1 / 10

7.若

sin

x

?

3sin

? ??

x

?

? 2

???,则 cos

x

cos

? ??

x

?

? 2

? ??

?

A. 3 10

B. ? 3 10

c. 3 4

D. ? 3 4

8.下图为某市国庆节 7 天假期的楼房认购量与成交量的折线图,小明同学根据折线图对这

7 天的认购量(单位:套)与成交量(单位:套)作出如下判断:①日成交量的中位数是 16;②

日成交量超过日平均成交量的有 2 天;③认购量与日期正相关;④10 月 7 日认购量的增幅

大于 10 月 7 日成交量的增幅.则上述判断正确的个数为

A.0

B.1

C.2

D.3

9.《九章算术》中,将底面是直角三角形的直三棱柱称之为

“堑堵”.已知某“堑堵”的三视图如图所示,则该“堑堵”

的外接球的体积为

A. 8 2 ? 3

B. 6?

C. 6? D. 8?
10.已知函数 f ? x? ? sin?x ? 3 cos?x?? ? 0? 的零点构成一个公差为 ? 的等差数列,把
2
函数 f ? x? 的图象沿 x 轴向右平移 ? 个单位,得到函数 g ? x? 的图象.关于函数 g ? x? ,下
6
列说法正确的是

A.在

? ??

? 4

,

? 2

? ??

上是增函数

B.其图象关于直线 x ? ? 对称 2

C.函数 g ? x? 是偶函数

D.在区间

? ??

? 6

,

2? 3

? ??

上的值域为

???

3, 2??

11.已知双曲线 C :

x2 a2

?

y2 b2

? 1?a

?

?? b

?

0? 的左、右焦点分别为 F1、F2 ,实轴长为

4,渐

2 / 10

近线方程为

y

?

?

1 2

x,

MF1

?

MF2

? 4 ,点 N 在圆 x2 ? y2 ? 4 y ? 0 上,则 MN

?

MF1



最小值为

A. 2 ? 7

B.5

C.6

D.7

12.已知当 x ??1, ??? 时,关于 x 的方程 x ln x ? ?3? a? x ? a ? 0有唯一实数解,则 a 所在

的区间是 A.(3,4)

B.(4,5)

C.(5,6)

D.(6.7)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.

13.某学校从编号依次为 01,02,…,90 的 90 个学生中用系统抽样(等间距抽样)的方法抽

取一个样本,已知样本中相邻的两个组的编号分别为 14,23,则该样本中来自第四组的学

生的编号为 ▲ .

14 . ?2x ? y?? x ? 2y?5 的 展 开 式 中 , x2 y4 的 系 数 为

▲ .(用数字作答). 15.如图所示,在正方形 OABC 内随机取一点,则此点取 自黑色部分的概率为 ▲ .
uuur uuur uuur 16.在△ABC 中,记 m ? CB ? 3AC, n ? CB.若m ? n .则

sinA 的最大值为 ▲ .

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三、解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步 骤.第 17~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答.第 22、23 题为选考题,考生根据要 求作答. (一)必考题:共 60 分. 17.(本小题满分 12 分)
等差数列?an? 的公差为正数, a1 ? 1,其前 n 项和为 Sn ;数列?bn? 为等比数列, b1 ? 2 ,

且 b2S2 ? 12, b2 ? S3 ? 10 .

(I)求数列?an?与?bn? 的通项公式;

(Ⅱ)设 cn

?

bn

?

1 Sn

,求数列?cn? 的前 n

项和 Tn



18.(本小题满分 12 分)
如图,在四棱锥 P—ABCD 中,底面 ABCD 为平行四边形,PA ?
底面 ABCD, ?ABC ? 60o, AB ? 3, AD ? 2 3, AP ? 3 .
(I)求证:平面 PCA⊥平面 PCD; (Ⅱ)设 E 为侧棱 PC 上的一点,若直线 BE 与底面 ABCD 所成的
角为 45°,求二面角 E ? AB ? D 的余弦值.

19.(本小题满分 12 分) 某学校为了了解全校学生的体重情况,从全校学生中随机抽取了 100 人的体重数据,结果这 100 人的体重全部介于 45 公斤到 75 公斤之间,现将结果按如下方式分为 6 组:第一组[45, 50),第二组[50,55),…,第六组[70,75),得到如下图(1)所示的频率分布直方图,并发 现这 100 人中,其体重低于 55 公斤的有 15 人,这 15 人体重数据的茎叶图如图(2)所示,以 样本的频率作为总体的概率.
(I)求频率分布直方图中 a, b, c 的值;
(Ⅱ)从全校学生中随机抽取 3 名学生,记 X 为体重在[55,65)的人数,求 X 的概率分布列和 数学期望;
? ? (III)由频率分布直方图可以认为,该校学生的体重 ? 近似服从正态分布 N ?,? 2 ,其中
? ? 60,? 2 ? 25.若P?? ? 2? ? ? ? ? ? 2? ? ? 0.9545 , 则 认 为 该 校 学生 的 体重 是 正 常
的.试判断该校学生的体重是否正常?并说明理由.

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20.(本小题满分 12 分)

已知椭圆

C:x a

2 2

?

y2 b2

? 1? a

?b

?

0? 的离心率为

3 3

,且椭圆

C

过点

P

? ???1,

2

3 3

? ???



(I)求椭圆 C 的方程;

(Ⅱ)设椭圆 C 的右焦点为 F,直线 l 与椭圆 C 相切于点 A,与直线 x ? 3 相交于点 B,求证: ?AFB 的大小为定值.

21.(本小题满分 12 分)
已知函数 f ?x? ? x ? aln x ? a ?1?a?R? . (I)讨论 f ? x? 的单调性;
? (Ⅱ)若 x ? ??ea , ?? 时,f ? x? ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围.

(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22、23 题中任选一题作答.如果多做,则按所做的第一 题计分. 22.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程

?

在平面直角坐标系

xOy

中,已知点

M

的直角坐标为(1,0),直线

l

的参数方程为

?? ?

x

?

1

?

2t 2

? ??

y

?

2t 2

(t 为参数);以坐标原点 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C 的极坐标

方程为 p sin2 ? ? 2 cos? .

(I)求直线 l 的普通方程和曲线 C 的直角坐标方程;

(Ⅱ)直线 l 和曲线 C 交于 A,B 两点,求

1 MA 2

?

1 MB 2

的值.

5 / 10

23.(本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲
已知函数 f ? x? ? x ? a ? x ? b ?a ? 0,b ? 0? . (I)当 a ? b ?1时,解不等式 f ? x? ? x ? 2 ; (Ⅱ)若 f ? x? 的值域为[2,+∞),求证: 1 ? 1 ? 1.
a ?1 b?1
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