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江苏专用2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.6双曲线教师用书文


9.6 双曲线

1.双曲线定义 平面内到两个定点 F1,F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于 F1F2 的正数)的点的轨迹叫做双 曲线,两个定点 F1,F2 叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 集合 P={M||MF1-MF2|=2a},F1F2=2c,其中 a,c 为常数且 a>0,c>0. (1)当 2a<F1F2 时,P 点的轨迹是双曲线; (2)当 2a=F1F2 时,P 点的轨迹是两条射线; (3)当 2a>F1F2 时,P 点不存在. 2.双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

图形

范围 对称性 顶点 性 质 渐近线 离心率

x≥a 或 x≤-a,y∈R
对称轴:坐标轴

x∈R,y≤-a 或 y≥a
对称中心:原点

A1(-a,0),A2(a,0) b y=± x a

A1(0,-a),A2(0,a) a y=± x b

c e= ,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2 a
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长 A1A2=2a;线段 B1B2 叫做双曲线的

实虚轴

虚轴,它的长 B1B2=2b;a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的虚半 轴长

a、b、c
的关系

c2=a2+b2 (c>a>0,c>b>0)

1

【知识拓展】 巧设双曲线方程 (1)与双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)有共同渐近线的方程可表示为 2- 2=t(t≠0). (2)过已知两个点的双曲线方程可设为 + =1(mn<0).

x2 y2 a b

x2 y2 a b

x2 y2 m n

【思考辨析】 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“?”) (1)平面内到点 F1(0,4),F2(0,-4)距离之差的绝对值等于 8 的点的轨迹是双曲线.( ? ) (2)方程 - =1(mn>0)表示焦点在 x 轴上的双曲线.( ? ) (3)双曲线方程 2- 2=λ (m>0,n>0,λ ≠0)的渐近线方程是 2- 2=0,即 ± =0.( √ ) (4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于 2.( √
2 2 2 2

x2 y2 m n

x2 y2 m n

x2 y2 m n

x y m n

)

x y x y 1 1 (5)若双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与 2- 2=1(a>0,b>0)的离心率分别是 e1,e2,则 2+ 2= a b b a e1 e2
1(此结论中两条双曲线称为共轭双曲线).( √ )

1.(教材改编)若双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双 曲线的离心率为________. 答案 5
2 2 2 2 2

x2 y2 a b

解析 由题意得 b=2a,又 a +b =c ,∴5a =c .

c2 ∴e = 2=5,∴e= 5. a
2

2.若方程 - =1 表示双曲线,则 m 的取值范围是____________. 2+m m+1 答案 (-∞,-2)∪(-1,+∞) 解析 由题意知(2+m)(m+1)>0, 解得 m>-1 或 m<-2. 1 3.(2016?无锡一模)已知焦点在 x 轴上的双曲线的渐近线方程为 y=± x,那么双曲线的离 3 心率为________.

x2

y2

2

答案

10 3 1+? ? =

x2 y2 b 1 c 解析 根据题意,设双曲线的方程为 2- 2=1,则 = ,所以 = a b a 3 a
双曲线的离心率为 10 . 3

b a

2

10 ,即 3

4.(2016?江苏)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 - =1 的焦距是________. 7 3 答案 2 10 解析 由已知,a =7,b =3,则 c =7+3=10,故焦距为 2c=2 10. 5.双曲线 -y =1 的顶点到其渐近线的距离等于________. 4 答案 2 5 5
2 2 2

x2 y2

x2

2

解析 双曲线的一个顶点坐标为(2,0), 1 一条渐近线方程是 y= x,即 x-2y=0, 2 则顶点到渐近线的距离 d= |2-0| 2 5 = . 5 5

题型一 双曲线的定义及标准方程 命题点 1 利用定义求轨迹方程 例 1 已知圆 C1: (x+3) +y =1 和圆 C2: (x-3) +y =9, 动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外切, 则动圆圆心 M 的轨迹方程为____________________. 答案 x - =1(x≤-1) 8 解析 如图所示,设动圆 M 与圆 C1 及圆 C2 分别外切于 A 和 B.
2 2 2 2 2

y2

根据两圆外切的条件, 得 MC1-AC1=MA,MC2-BC2=MB,
3

因为 MA=MB, 所以 MC1-AC1=MC2-BC2, 即 MC2-MC1=BC2-AC1=2, 所以点 M 到两定点 C1、C2 的距离的差是常数且小于 C1C2=6. 又根据双曲线的定义, 得动点 M 的轨迹为双曲线的左支(点 M 与 C2 的距离大, 与 C1 的距离小), 其中 a=1,c=3,则 b =8. 故点 M 的轨迹方程为 x - =1(x≤-1). 8 命题点 2 利用待定系数法求双曲线方程 例 2 根据下列条件,求双曲线的标准方程: 5 (1)虚轴长为 12,离心率为 ; 4 (2)焦距为 26,且经过点 M(0,12); (3)经过两点 P(-3,2 7)和 Q(-6 2,-7). 解 (1)设双曲线的标准方程为
2 2

y2

x2 y2 y2 x2 2- 2=1 或 2- 2=1(a>0,b>0). a b a b c 5 由题意知,2b=12,e= = . a 4
∴b=6,c=10,a=8. ∴双曲线的标准方程为 - =1 或 - =1. 64 36 64 36 (2)∵双曲线经过点 M(0,12),∴M(0,12)为双曲线的一个顶点,故焦点在 y 轴上,且 a=12. 又 2c=26,∴c=13,∴b =c -a =25. ∴双曲线的标准方程为 - =1. 144 25 (3)设双曲线方程为 mx -ny =1(mn>0). 1 ? ?m=-75, 解得? 1 ?n=-25. ?
2 2 2 2 2

x2

y2

y2

x2

y2

x2

? ?9m-28n=1, ∴? ?72m-49n=1, ?

∴双曲线的标准方程为 - =1. 25 75 命题点 3 利用定义解决焦点三角形问题 例 3 已知 F1, F2 为双曲线 C: x -y =2 的左, 右焦点, 点 P 在 C 上, PF1=2PF2, 则 cos∠F1PF2 =________.
2 2

y2

x2

4

答案

3 4

解析 ∵由双曲线的定义有 PF1-PF2 =PF2=2a=2 2, ∴PF1=2PF2=4 2, 则 cos∠F1PF2= 引申探究 1.本例中,若将条件“PF1=2PF2”改为“∠F1PF2=60°”,则△F1PF2 的面积是多少? 解 不妨设点 P 在双曲线的右支上, 则 PF1-PF2=2a=2 2, 在△F1PF2 中,由余弦定理,得
2 2 2 PF1 +PF2-F1F2 1 cos∠F1PF2= = , 2PF1?PF2 2 2 2 2 2 2 2 PF1 +PF2-F1F2 ?4 2? +?2 2? -4 3 = = . 2PF1?PF2 4 2?4 2?2 2

所以 PF1?PF2=8, 1 所以 S△F1PF2 = PF1?PF2?sin 60°=2 3. 2 → → 2.本例中,若将条件“PF1=2PF2”改为“PF1?PF2=0”,则△F1PF2 的面积是多少? 解 不妨设点 P 在双曲线的右支上, 则 PF1-PF2=2a=2 2, → → → → 由于PF1?PF2=0,所以PF1⊥PF2, 所以在△F1PF2 中,有 PF1+PF2=F1F2, 即 PF1+PF2=16, 所以 PF1?PF2=4, 1 所以 S△F1PF2 = PF1?PF2=2. 2 思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线, 进而根据要 求可求出双曲线方程. (2)在“焦点三角形”中,常利用正弦定理、余弦定理,经常结合|PF1-PF2|=2a,运用平方 的方法,建立与 PF1?PF2 的联系. (3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式, 然后再根据 a,b,c,e 及渐近线之间的关系,求出 a,b 的值,如果已知双曲线的渐近线方 程,求双曲线的标准方程,可设有公共渐近线的双曲线方程为 2- 2=λ (λ ≠0),再由条件 求出 λ 的值即可.
5
2 2 2 2 2

x2 y2 a b

(1)已知 F1,F2 为双曲线 - =1 的左,右焦点,P(3,1)为双曲线内一点,点 A 5 4 在双曲线上,则 AP+AF2 的最小值为__________. 1 (2)(2015?课标全国Ⅱ)已知双曲线过点(4, 3),且渐近线方程为 y=± x,则该双曲线的 2 标准方程为________________. 答案 (1) 37-2 5 (2) -y =1 4

x2 y2

x2

2

解析 (1)由题意知,AP+AF2=AP+AF1-2a,要求 AP+AF2 的最小值,只需求 AP+AF1 的最小 值, 当 A,P,F1 三点共线时,取得最小值, 则 AP+AF1=PF1= [3-?-3?] +?1-0? = 37, ∴AP+AF2 的最小值为 AP+AF1-2a= 37-2 5. 1 x 2 (2)由双曲线的渐近线方程为 y=± x,可设该双曲线的标准方程为 -y =λ (λ ≠0),已知 2 4 4 x 2 2 该双曲线过点(4, 3),所以 -( 3) =λ ,即 λ =1,故所求双曲线的标准方程为 -y 4 4 =1. 题型二 双曲线的几何性质
2 2 2 2 2

x2 y2 例 4 (1)(2016?盐城三模)若圆 x +y =r 过双曲线 2- 2=1 的右焦点 F,且圆与双曲线的 a b
2 2 2

渐近线在第一、 四象限的交点分别为 A, B, 当四边形 OAFB 为菱形时, 双曲线的离心率为______.

x2 y2 (2)(2015?山东)在平面直角坐标系 xOy 中,双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)的渐近线与抛 a b
物线 C2: x =2py(p>0)交于点 O, A, B.若△OAB 的垂心为 C2 的焦点, 则 C1 的离心率为________. 3 答案 (1)2 (2) 2
2

c 3 2 2 2 解析 (1)若四边形 OAFB 为菱形,且点 A 在圆 x +y =r 上,则点 A 坐标为( , c),此时 2 2 r=c.
又点 A 在渐近线上,所以 所以 e= 3 b c b c= ? ,即 = 3, 2 a 2 a

1+? ? =2.

b a

2

(2)由题意,不妨设直线 OA 的方程为 y= x,

b a

6

直线 OB 的方程为 y=- x.

b a

b ? ?y= x, 由? a ? ?x2=2py, a a

得 x =2p ? x,

2

b a

2 2pb 2pb ?2pb,2pb ? ∴x= ,y= 2 ,∴A? 2 ?.

2

? a

a ? p?

设抛物线 C2 的焦点为 F,则 F?0, ?, ? 2? - a 2 ∴kAF= . 2pb
2

?

2pb

2

p

a
∵△OAB 的垂心为 F,∴AF⊥OB,∴kAF?kOB=-1, - 2 ? b? b2 5 即 ??- ?=-1,∴ 2= . 2pb a 4 ? a? 2pb
2

p

a2

a c2 a2+b2 5 9 设 C1 的离心率为 e,则 e = 2= 2 =1+ = . a a 4 4
2

3 ∴e= . 2 思维升华 双曲线的几何性质中重点是渐近线方程和离心率,在双曲线 2- 2=1(a>0,b>0) 中,离心率 e 与双曲线的渐近线的斜率 k=± 满足关系式 e =1+k .

x2 y2 a b

b a

2

2

x2 y2 (2016?全国甲卷改编)已知 F1,F2 是双曲线 E: 2- 2=1 的左,右焦点,点 M a b
1 在 E 上,MF1 与 x 轴垂直,sin∠MF2F1= ,则 E 的离心率为________. 3 答案 2

2 2 3 F1F2 F1F2 sin∠F1MF2 解析 离心率 e= , 由正弦定理得 e= = = = 2. MF2-MF1 MF2-MF1 sin∠MF1F2-sin∠MF2F1 1 1- 3 题型三 直线与双曲线的综合问题 例 5 (2016?苏州模拟)已知椭圆 C1 的方程为 +y =1,双曲线 C2 的左,右焦点分别是 C1 4 的左,右顶点,而 C2 的左,右顶点分别是 C1 的左,右焦点.

x2

2

7

(1)求双曲线 C2 的方程; → → (2)若直线 l: y=kx+ 2与双曲线 C2 恒有两个不同的交点 A 和 B, 且OA?OB>2(其中 O 为原点), 求 k 的取值范围. 解 (1)设双曲线 C2 的方程为 2- 2=1(a>0,b>0), 则 a =4-1=3,c =4, 再由 a +b =c ,得 b =1. 故 C2 的方程为 -y =1. 3 (2)将 y=kx+ 2代入 -y =1,得(1-3k )x -6 2kx-9=0. 3 由直线 l 与双曲线 C2 有两个不同的交点,得
2 2 2 2 2 2

x2 y2 a b

x2

2

x2

2

2

2

?1-3k ≠0, ? ?Δ =?-6 2k?2+36?1-3k2?=36?1-k2?>0,
1 2 2 ∴k ≠ 且 k <1. 3 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 6 2k -9 则 x1+x2= 2,x1x2= 2. 1-3k 1-3k ∴x1x2+y1y2=x1x2+(kx1+ 2)(kx2+ 2) 3k +7 2 =(k +1)x1x2+ 2k(x1+x2)+2= 2 . 3k -1 → → 又∵OA?OB>2,得 x1x2+y1y2>2, 3k +7 -3k +9 ∴ 2 >2,即 2 >0, 3k -1 3k -1 1 2 解得 <k <3, 3 1 2 由①②得 <k <1. 3 故 k 的取值范围为(-1,- 3 3 )∪( ,1). 3 3 ②
2 2 2

2



思维升华 (1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法:将直线方程代入双曲线方程,消元, 得关于 x 或 y 的一元二次方程.当二次项系数等于 0 时, 直线与双曲线相交于某支上一点, 这 时直线平行于一条渐近线;当二次项系数不等于 0 时,用判别式 Δ 来判定. (2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验.

8

在平面直角坐标系 xOy 中,已知双曲线 C: - =1.设过点 M(0,1)的直线 l 与 4 3 → → 双曲线 C 交于 A,B 两点.若AM=2MB,则直线 l 的斜率为________. 1 答案 ± 2 解析 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则 - =1, - =1. 4 3 4 3
?-x1=2x2, ? → → → → 又AM=2MB, AM=(-x1,1-y1), MB=(x2, y2-1).所以? ?1-y1=2y2-2, ?

x2 y2

x2 y2 1 1

x2 y2 2 2

即?

?x1=-2x2, ? ?y1=3-2y2, ?

代入双曲线方程联立解得?

? ?x2=-2, ?y2=0 ?

或?

? ?x2=2, ?y2=0, ?

所以 A(4,3),B(-2,0)或 A(-4,3),

B(2,0),故 k=

3-0 1 3-0 1 1 = 或 k= =- ,即直线 l 的斜率为± . 4+2 2 -4-2 2 2

10.直线与圆锥曲线的交点

典例 已知双曲线 x - =1,过点 P(1,1)能否作一条直线 l,与双曲线交于 A,B 两点,且 2 点 P 是线段 AB 的中点? 错解展示

2

y2

9

现场纠错 解 设点 A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,且线段 AB 的中点为(x0,y0), 若直线 l 的斜率不存在,显然不符合题意. 设经过点 P 的直线 l 的方程为 y-1=k(x-1), 即 y=kx+1-k.

y=kx+1-k, ? ? 由? 2 y2 x - =1, ? 2 ?
得(2-k )x -2k(1-k)x-(1-k) -2=0(2-k ≠0). ∴x0=
2 2 2 2



x1+x2 k?1-k? = . 2 2 2-k k?1-k? =1,解得 k=2. 2 2-k
2

由题意,得

当 k=2 时,方程①可化为 2x -4x+3=0. Δ =16-24=-8<0,方程①没有实数解. ∴不能作一条直线 l 与双曲线交于 A,B 两点,且点 P(1,1)是线段 AB 的中点. 纠错心得 (1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题,要考虑变形的条件. (2)“判别式 Δ ≥0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.

10

1.(2015?福建改编)若双曲线 E: - =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线 E 上, 9 16 且 PF1=3,则 PF2=________. 答案 9 解析 由双曲线定义|PF2-PF1|=2a,∵PF1=3,∴P 在左支上,∵a=3,∴PF2-PF1=6, ∴PF2=9. 2.(2016?全国乙卷改编)已知方程

x2

y2

y2 =1 表示双曲线,且该双曲线两焦点间的距 m +n 3m2-n
2

x2



离为 4,则 n 的取值范围是________. 答案 (-1,3) 解析 ∵方程
2

- =1 表示双曲线, m +n 3m2-n
2 2 2 2 2 2 2 2

x2

y2

∴(m +n)?(3m -n)>0,解得-m <n<3m ,由双曲线性质,知 c =(m +n)+(3m -n)=4m (其 中 c 是半焦距), ∴焦距 2c=2?2|m|=4,解得|m|=1,∴-1<n<3. 3.(2016?盐城模拟)已知双曲线 - =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,过 F2 的直线与该双曲 16 9 线的右支交于 A,B 两点,若 AB=5,则△ABF1 的周长为________. 答案 26 解析 由双曲线 - =1,知 a=4. 16 9 由双曲线定义 AF1-AF2=BF1-BF2=2a=8, ∴AF1+BF1=AF2+BF2+16=21, ∴△ABF1 的周长为 AF1+BF1+AB=21+5=26. 4.(2016?常州模拟)已知双曲线 - =1(m>0)的一个焦点在圆 x +y -4x-5=0 上,则双 9 m 曲线的渐近线方程为____________. 4 答案 y=± x 3 解析 由?
? ?y=0, ?x +y -4x-5=0, ?
2 2

x2

y2

x2

y2

x2 y2

2

2

得 x -4x-5=0,

2

解得 x=5 或 x=-1.又 a=3,故 c=5, 4 所以 b=4,双曲线的渐近线方程为 y=± x. 3 5.已知点 F 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左焦点,点 E 是该双曲线的右顶点,过 F 且垂直

x2 y2 a b

11

于 x 轴的直线与双曲线交于 A、B 两点,若△ABE 是锐角三角形,则该双曲线的离心率 e 的取 值范围是____________. 答案 (1,2) 解析 由题意易知点 F 的坐标为(-c,0),A(-c, ),B(-c,- ),E(a,0), → → ∵△ABE 是锐角三角形,∴EA?EB>0,

b2 a

b2 a

b b → → 即EA?EB=(-c-a, )?(-c-a,- )>0, a a
整理得 3e +2e>e ,∴e(e -3e-3+1)<0, ∴e(e+1) (e-2)<0, 解得 e∈(0,2),又 e>1,∴e∈(1,2). 6.(2016?浙江)设双曲线 x - =1 的左, 右焦点分别为 F1, F2, 若点 P 在双曲线上, 且△F1PF2 3 为锐角三角形,则 PF1+PF2 的取值范围是________. 答案 (2 7,8) 解析 如图,由已知可得 a=1,b= 3,c=2,从而 F1F2=4,由对称性不妨设 P 在右支上,
2 2 2 4 3

2

2

y2

设 PF2=m, 则 PF1=m+2a=m+2, 由于△PF1F2 为锐角三角形,
??m+2? <m +4 , ? 结合实际意义需满足? 2 2 2 ? ?4 <?m+2? +m ,
2 2 2

解得-1+ 7<m<3,又 PF1+PF2=2m+2, ∴2 7<2m+2<8. 7.(2016?南京三模)设 F 是双曲线的一个焦点, 点 P 在双曲线上, 且线段 PF 的中点恰为双曲 线虚轴的一个端点,则双曲线的离心率为________. 答案 5

解析 不妨设双曲线方程为 2- 2=1 (a>0,b>0),设 F(-c,0),线段 PF 的中点为(0,b),

x2 y2 a b

c2 则 P(c,2b).由点 P 在双曲线上,得 2-4=1,所以 e= 5. a

12

8.设双曲线 - =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,P 为双曲线上位于第一象限内的一点,且 4 5 △PF1F2 的面积为 6,则点 P 的坐标为____________. 6 5 答案 ( ,2) 5 解析 由双曲线 - =1 的左,右焦点分别为 F1,F2,所以 F1F2=6,设 P(x,y) (x>0,y>0), 4 5 1 1 x y 因为△PF1F2 的面积为 6,所以 F1F2?y= ?6?y=6,解得 y=2,将 y=2 代入 - =1 得 x 2 2 4 5 = 6 5 6 5 .所以 P( ,2). 5 5
2 2

x2 y2

x2 y2

9.(2016?扬州一模)已知 F1,F2 分别是双曲线 2- 2=1 (a>0,b>0)的左,右焦点,过点 F2 与双曲线的一条渐近线平行的直线交双曲线另一条渐近线于点 M,若点 M 在以线段 F1F2 为直 径的圆上,则双曲线的离心率为______. 答案 2 解析 由题意知渐近线 y= x 与直线 y=- (x-c)交于点 M,解得 M( , ).因为点 M 在圆 a a 2 2a

x2 y2 a b

b

b

c bc

c2 b2c2 b2 x2+y2=c2 上,所以 + 2 =c2,解得 2=3,所以 e= 4 4a a x2

1+ 2= 4=2.
2

b2 a

10.(2015?课标全国Ⅰ改编)已知 M(x0,y0)是双曲线 C: -y =1 上的一点,F1,F2 是 C 的两 2 → → 个焦点,若MF1?MF2<0,则 y0 的取值范围是______________. 答案 ?-

? ?

3 3? , ? 3 3?

解析 由题意知 a= 2,b=1,c= 3, ∴F1(- 3,0),F2( 3,0), → → ∴MF1=(- 3-x0,-y0),MF2=( 3-x0,-y0). → → 2 ∵MF1?MF2<0,∴(- 3-x0)( 3-x0)+y0<0, 即 x0-3+y0<0.∵点 M(x0,y0)在双曲线上, ∴ -y0=1,即 x0=2+2y0, 2 ∴2+2y0-3+y0<0,∴-
2 2 2 2

x2 0

2

2

2

3 3 <y0< . 3 3

11.已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点分别为 F1,F2,点 P 在双曲线的右支上,且

x2 y2 a b

13

PF1=4PF2,则此双曲线的离心率 e 的最大值为________.
答案 5 3

解析 由定义,知 PF1-PF2=2a. 8 2 又 PF1=4PF2,∴PF1= a,PF2= a. 3 3 在△PF1F2 中,由余弦定理,得 64 2 4 2 a + a -4c2 9 9 17 9 2 cos∠F1PF2= = - e. 8 2 8 8 2? a? a 3 3 要求 e 的最大值,即求 cos∠F1PF2 的最小值, 5 ∴当 cos∠F1PF2=-1 时,得 e= , 3 5 即 e 的最大值为 . 3 12.设双曲线 C 的中心为点 O,若有且只有一对相交于点 O 且所成的角为 60°的直线 A1B1 和

A2B2,使 A1B1=A2B2,其中 A1、B1 和 A2、B2 分别是这对直线与双曲线 C 的交点,则该双曲线的
离心率的取值范围是____________. 答案 ?

?2 3 ? ,2? ? 3 ?

解析 由双曲线的对称性知, 满足题意的这一对直线也关于 x 轴(或 y 轴)对称.又由题意知有 且只有一对这样的直线, 故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围大于 30°且小于等于

b 1 b c 2 c b 4 2 2 60°,即 tan 30°< ≤tan 60°,∴ < 2≤3.又 e =( ) = 2=1+ 2,∴ <e ≤4, a 3 a a a a 3
∴ 2 3 <e≤2. 3

2

2

2

13.(2016?泰州模拟)已知双曲线 E 的中心为原点,F(3,0)是 E 的焦点,过 F 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且 AB 的中点为 N(-12,-15),求双曲线 E 的方程.

x2 y2 解 设双曲线的标准方程为 2- 2=1(a>0,b>0), a b
由题意知 c=3,a +b =9.设 A(x1,y1),B(x2,y2).
2 2

? ? 则有? x y ? ?a -b =1,
2 2 2 2 2 2

x2 y2 1 1 - =1, a2 b2

14

两式作差,得

y1-y2 b2?x1+x2? -12b2 4b2 = = = , x1-x2 a2?y1+y2? -15a2 5a2
2

-15-0 4b 又 AB 的斜率是 =1,所以 2=1. -12-3 5a 将 4b =5a 代入 a +b =9,得 a =4,b =5. 所以双曲线的标准方程是 - =1. 4 5 14.已知双曲线 C: 2- 2=1(a>0,b>0)的一个焦点是 F2(2,0),且 b= 3a. (1)求双曲线 C 的方程; (2)设经过焦点 F2 的直线 l 的一个法向量为(m,1),当直线 l 与双曲线 C 的右支交于不同的两 点 A,B 时,求实数 m 的取值范围,并证明 AB 中点 M 在曲线 3(x-1) -y =3 上; (3)设(2)中直线 l 与双曲线 C 的右支交于 A, B 两点, 问是否存在实数 m, 使得∠AOB 为锐角? 若存在,请求出 m 的取值范围;若不存在,请说明理由. 解 (1)由已知,得 c=2,c =a +b ,b= 3a, ∴4=a +3a ,∴a =1,b =3, ∴双曲线 C 的方程为 x - =1. 3 (2)由题意,得直线 l:m(x-2)+y=0,
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

x2 y2

x2 y2 a b

y2

y=-mx+2m, ? ? 由? 2 y2 x - =1, ? 3 ?
得(3-m )x +4m x-4m -3=0. 由 Δ >0,得 4m +(3-m )(4m +3)>0, 12m +9-3m >0,即 m +1>0 恒成立. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 4m 4m +3 则 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . m -3 m -3
2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2

? ?x1+x2>0, 又? ?x1?x2>0, ?

? ? ∴? 4m +3 ? ? m -3 >0,
4m >0, m2-3
2 2 2 3

2

∴m >3,∴m∈(-∞,- 3)∪( 3,+∞). ∵

2

x1+x2
2



2m y1+y2 2m 6m , =- 2 +2m=- 2 , 2 m -3 2 m -3 m -3

15

∴AB 的中点 M(
2

2m 6m ,- 2 ), 2 m -3 m -3
2

2

∵3(

2m 36m 2 -1) - 2 2 m2-3 ?m -3?
2 2 2

?m +3? 36m =3? 2 2- 2 2 ?m -3? ?m -3? =3?

m4+6m2+9-12m2 =3, 2 2 ?m -3?
2 2

∴M 在曲线 3(x-1) -y =3 上. (3)设 A(x1,y1),B(x2,y2), → → 假设存在实数 m,使∠AOB 为锐角,则OA?OB>0, ∴x1x2+y1y2>0. ∵y1y2=(-mx1+2m)(-mx2+2m) =m x1x2-2m (x1+x2)+4m , ∴(1+m )x1x2-2m (x1+x2)+4m >0, ∴(1+m )(4m +3)-8m +4m (m -3)>0, 即 7m +3-12m >0,
2 3 ∴m < , 5 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2

与 m >3 矛盾,∴不存在实数 m,使得∠AOB 为锐角.

2

16


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